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1、微分方程习题习题12 一填空题 1 微分方程2 微分方程满足初始条件的通解为 的特解是 3 微分方程的特解是 4 方程满足初始条件的特解是 5 底半径为的圆柱形水桶，水面高为因桶底有裂缝而漏水，漏出水的流量与水面的高度成正比，1小时后漏出的水是原有水的后，桶中所剩之水为 %，则小时6方程时，作变换称为可化为 方程，其中若代入方程后，确定出 ；变成含参量齐次方程；若 时，作变换 可化成 的方程. 7的通解= 8微分方程的通解为 9求方程满足的特解是 10的通解为 11方程之通解为 12称为 阶 次微分方程 13微分方程 14已知为方程满足初始条件的特解为之一解，则其通解为 15一个重50克的物体
2、，悬挂在一竖直的弹簧一端，弹簧伸长5厘米，拉下3厘米，然取此时的重物为坐标原点，并取轴向下，如果再将后放手让其自由振动，则振动的振幅为 16微分方程的通解为 17微分方程的通解为 18微分方程其解为 满足初始条件并在处连续，19方程组 之通解为 20方程组 的特解为 21微分方程的通解为 . 22微分方程的通解是 . 23微分方程的通解为 . 24的通解为 . 25微分方程的通解为 . 26的通解为 . 27微分方程的通解为 . 28微分方程二单项选择题 1微分方程的通解是 . 是 线形微分方程 可分离变量方程 齐次微分方程 一阶线形非齐次方程 2设有微分方程 ； ； 则 方程是线形微分方程；
3、 方程是线形微分方程； 方程是线形微分方程； 它们都不是线形微分方程. 3方程是 齐次方程； 可分离变量方程； 贝努力方程； 线形非齐次方程. 4某种气体的气压对于温度的变化率与气压成正比与温度的平方成反比，将此问题用微分方程可表示为 ； ； ； . 5设曲线上的任意点该曲线的方程是 处的切线斜率为，且曲线经过点，则； ； ； . 6微分方程的通解为 ； ； ； . 7微分方程的通解是 ； ； ； . 8已知函数时，满足微分方程，且在时，则当； ； ； . 9方程是 可分离变量方程； 齐次方程； 可分离变量方程； 一阶线形非齐次方程. 10方程是 齐次方程； 可分离变量方程； 可分离变量方程；
4、 线形非齐次方程. 11方程是 可分离变量方程； 线性方程； 全微分方程； 贝努力方程。 12设函数 时满足微分方程 ，且当时，则当； ； ； . 13微分方程的通解是 ； ； ； . 14函数时，满足微分方程 .且在时，则在； ； ； . 15一阶线性方程的积分因子为 ； ； ； . 16微分方程的通解是 ； ； ； . 17微分方程的通解是 ； ； ； . 18方程的通解是 ； ； 19微分方程； . 的通解是 ； ； ； . 20若微分方程有积分因子，则满足 ； ； ； . 21微分方程的特解的形式为 ； ； ； . 22求方程的通解时，可 令，则； 令，则； 令，则； 令，则. 23设
5、函数都是线形非齐次方程的特解，其中则对于任意常数 是所给微分方程的通解； 不是所给微分方程的通解； 是所给微分方程的特解； ，函数都是已知函数， 可能是所给微分方程的通解，也可能不是通解，但肯定不是特解. 24方程的通解是 ； ； ； . 25若解，则当为为任意常数时，的个特 一定是方程的通解； 一定不是方程的通解； 当为线形无关时，才是方程的通解； 当线形相关时，才是方程的通解； 26设是方程，则为任意常数）是该方程的通解. 两个特解； 任意两个解； 两个线形无关的解； 两个线形相关的解. 27设二阶常系数线形齐次方程相等 实根，则方程的通解是 ，它的特征方程有两个不； ； ； . 28微分
6、方程的通解是 ； ； ； . 29微分方程的通解是 ； ； ； . 30微分方程的通解是 ； ； ； . 31已知 的解，则是方程的通解； 是方程的解，但不是通解； 是方程的一个特解； 不一定是方程的解. 32方程的待定特解为 ； ； ； . 33方程的特解形式为 ； ； ； . 34满足微分方程的一个特解是 ； ； ； . 35设方程有特解，则它的通解为 ； ； ； . 36 的特解的形式为 ； ； ； 37已知曲线，而是. 经过原点，且在原点处的切线平行于直线满足微分方程，则此曲线的方程； ； . 38已知方程的一个特解为，于是方程的通解为 ； ； ； . 39一阶线形非齐次微分方程的通解
7、是 ； ； ； . 40微分方程可化为 ； ； ； . 41方程的通解是 ； ； . 42已知函数满足微分方程且时，则当时 ； ； ； . 43已知方程关的特解为 的一个特解为，则另一个与它线形无； ； ； . 44微分方程的通解是 ； ； ； . 45二阶常系数线形非齐次方程要求 已知的函数； 是的一元函数； ； 是的函数且. 46函数方程的图形上点的切线为，且满足微分，则此函数为 . 47若是二阶齐次线形方程的两个特解，则是该方程的通解； 是该方程的解； 是该方程的特解； 不一定是方程的解. 48已知级数解，则，的和函数是微分方程的； ； 三解答题 ； . 1 求下列变量可分离的微分方程的
8、通解： ； ； ； 求满足，的连续解. 2 求下列微分方程满足给定初始条件的特解： ； . 3 点贴着平面被一长度为的细绳牵引着，如果点从原点出发沿着轴正向运动，点开始的位置在点 处，问点的运动轨迹的方程是什么？假设点与平面间摩檫可以忽略不记. 图1 4 有一原子弹以后仍有速度的速度射入厚度为的木板，穿过木板.假设木板对子弹的阻力与其速度的平方成正比，求子弹通过木板所需要的时间. 5 设连续可微，且，现已知曲线，点，在轴上过点与点的垂线所围成的图形的面积值与曲线上的一段弧长值相等，求. 6 已知曲线上任意两点之间的弧长与该两点到一定点的距离之差的绝对值成正比，试求此曲线方程. 7 在过原点和点
9、的单调光滑曲线上任取一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与轴及曲线围成的面积是另一平行线与轴及曲线围成面积的2倍，求此曲线方程. 8 设已知跳伞运动员打开降落伞时，其速度是，假设空气阻力是，试求降落伞打开后时的运动速度以及其极限速度. 9 求下列齐次微分方程的通解： ； ； ； . 10 求下列形如的微分方程的通解：、 ； ； ； . 11 求下列一阶线形微分方程的通解： ； ； ； ； . 12 求下列微分方程满足给定初始条件的特解： ； ； . 13 求下列贝努力微分方程的通解： ； ()； ； . 用积分因子法求下列微分方程的通解： ； 满足的特解； 求微分方程满足初始条件的特解；
10、； ； ； 已知微分方程因子，求，并求微分方程的通解； 具有形式的积分设有形如的积分因子，求函数的一般形式. 15用变量置换法求下列微分方程的通解： ； ； ； ； . 16火车沿水平轨道运动，重量为，机车的牵引力为运动时的阻力， 设火车由静止开始运动，求火车的运动方程. 17有连接两点的一条曲线，它位于弦之间的面积为为常数，是的上方，为曲线上的任意一点，已知曲线与弦，求曲线的方程. 18把正弦交流电的变化 律. 加在电路上，求闭合开关时电容器上的电压19初始质量为空气 ，在空气中自由落下的雨点均匀的蒸发着，设每秒蒸发，阻力与雨点的速度成正比。如果开始雨点速度为零，试求雨点运动的速度和时间的关
11、系. 20求下列微分方程的通解： ； ； ； . 21求下列方程的解： ，； ，； ，. 22 已知某曲线在第一卦限内且过坐标原点，其上任一点纵坐标，轴所成的三角形的切线，的的面积与曲边三角形的面积之比恒为常数，又知道点处的导数总为正，试求该曲线的方程. 23 位于坐标原点的我舰向位于远对准敌舰，设敌舰以最大速度速率大小是便于计算，设轴上点处的敌舰发射制导鱼雷，使鱼雷永沿平行于轴的直线行驶，又设鱼雷的，求鱼雷的航迹曲线的方程，又敌舰行多远时被击中？. 24长的链条自桌面上无摩檫的向下滑动，假定在运动起始时，链条自桌上垂下部分已有一半长，试问需要多长时间链条才全部滑过桌面. 25点沿一直线由南向
12、北作匀速运动，而点沿一曲线追赶，在开始时刻在正东，距离两个单位，在追赶过程中，点运动的方向始终朝向，又已知点速率与点速率之比为运动的轨迹方程. 26已知方程是齐次线性方程的通解. 的一个解，求非齐次线性，试选择适当坐标系，求出点27求下列微分方程的通解： ； ； ； ； . 28求下列微分方程满足所给初始条件的特解： ； ； ； 29解下列微分方程： ； . ； ； ； ； ； ； ； ； . 30求下列微分方程满足已给初始条件的特解： ； ； . 31一质量为的物体，在粘性液体中由静止自由下落，假设液体阻力与运动速度成正比，试求物体运动的规律. 32求下列微分方程组的解： 33设函数求. 具
13、有二阶连续导数，而满足方程，34设函数具有二阶连续导数且为一阶全微分方程，求及此全微分方程的通解. 35求微分方程的通解. 36求微分方程的通解. 37已知的三个解，求此微分方程. 38求微分方程的通解，其中常数是某二阶线形微分方程. 39设是微分方程的特解. 的一个解，求此微分方程满足条件40利用代换程的通解. 将方程化简，并求出原方41求初值问题的解. 42已知连续函数满足条件，求. 43求微分方程的通解. 44设函数在上连续，且满足方程，求. 45设函数在上连续，若由曲线，直线，与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积为，试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解. 46设
14、有微分方程连续函数. ，使之在，其中和 试求在内的内都满足所给方程，且满足条件47设为连续函数， 求初值问题的解，其中是正常数； 若，证明：当时有. 48从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度与下沉速度之间的关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受阻力和浮力的作用，设仪器的质量为，体积为，海水比重为，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为，试建立与所满足的微分方程，并求出函数的关系式. 49一质点被吸向固点，吸引力反比于该时刻质点与点的距离，若质点是静止松开的，求它到达点所需的时间. 1 一单位质量的质点沿轴运动，所受之力为置为原点，初速并求出此极限位置. ，若质点的最初位时，质点趋近于一个极限位置，证明：时间
