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1、微积分的数值计算方法 第七章 微积分的数值计算方法 7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念 1. 微分计算问题 求函数的导数(微分)，原则上没有问题。当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。 2定积分计算问题 计算函数f在a,b上的定积分 I=f(x)dx ab当被积函数f的原函数能用有限形式F(x)给出时，可用积分基本公式来计算： I=af(x)dx=F(b)-F(a) 然而，问题在于： f的原函数或者很难找到，
2、或者根本不存在；f可能给出一个函数表；仅仅知道f是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。 3数值积分的基本形式 数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式 bf(x)dxAf(x) (7.1.1) akkk=0bn或记成 nf(x)dx=Af(x)+Rf (7.1.2) akknk=0bnI=Akf(xk) 和 Rnf 分别成为a,b上的f的数值求积公式及其k=0*余项(截断误差)，xk和Ak(k=0,1,L,n)分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。 这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。
3、构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点xk及系数Ak(k=0,1,L,n)，估计余项Rnf以及讨论I的算法设计及其数值稳定性。 4插值型求积公式 如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f的Lagrange插值多项式*Ln(x)近似代替f，也即对a,b上指定的n+1个节点1 ax0x12的公式我们不感兴趣。 5 例 7.2.1 用不同的方法计算并比较下列积分： 用传统的方法 0edx=e|0=e-1=1.71828(e=2.71828L) 1xx1用梯形公式 0edx1x12 e+e=1.859140101|RTf|=|-用Simpson公式 112(1-0)e1013h112e=0.22
4、652350edx111x165e+4e2+e=1.7188612 h |RSf|=|- ee=0.00094385902288014. 数值的稳定性 若取f=1，可推出(n1) a1dx=(b-a)Ck1b-a=(b-a)Ck k=0k=0nbn(n)n(n)Ckk=0(n)=1 假设用n阶的Newton-Cotes公式做实际计算，而且f(xk)可能使用近似值f(xk)，这反映到计算上就有误差 nnn(b-a)Ckf(xk)-(b-a)Ckk=0k=0(n)(n)f(xk)=(b-a)Ckf(xk)-f(xk)k=0(n)记 e=max|f(xk)-f(xk)| 则有 0knn|Ckf(xk
5、)-Ckk=0k=0(n)n(n)nf(xk)|Ckk=0(n)|f(xk)-f(xk)e|Ckk=0n(n)| 由此可见 (1) 若 Ck0 (k=0,1,L,n),则 nnn|Ck=0(n)kn|=Ckk=0(n)=1，于是有 |Ckf(xk)-Ckk=0k=0(n)n(n)f(xk)|e 即计算公式是稳定的。 6 (2) 若存在CkCkk=0k=0(n)n(n)=1 这样的话，初始数据误差有可能引起计算结果误差的增大，即计算的数值稳定性得不到保证。 为了方便以后应用，把上面的论证归结为更一般的结果： 定理 7.2.2 插值型求积nAkf(xk)中的求积系数Ak之和为k=0nAk=b-a(
6、7.2.11) k=0n定理 7.2.3 若插值型求积Akf(xk)中的求积系数Ak0(k=0,1,L,n) k=0则该求积公式公式是稳定的。 5. 复化梯形公式/复化Simpson公式 现在，在每个子区间上利用梯形公式，有 -1bnxn-1k+1af(x)dx=f(x)dxh(xk)+f(xk+1) k=0xkk=02fn-1 =h2f(x0)+2f(xk)+f(xn)记为Tn (7.2.12) k=1T2n称为复化梯形公式。其余RTn由(7.2.6)式当fCa,b，有 n-1Rh3Tn=-12f(hk) hkxk,xk+1 k=02n =-(b-a)hf(hk)12k=0n=-(b-a)h
7、2 12f(h) ha,b (7.2.13) 如果在每个区间上利用Simpson公式，有 n-1bn-1f(x)dx=xk+1hak=0xf(x)dx(x(xk+xk+1kk)+4fk=06f2)f(xk+1) -1n-1 =hn6f(x0)+4f(x)+2f(xk)+f(xn)记为Sn k=0k+12k=1 7 其中 xk+12=xk+h2，其余RS由(7.2.7)式当fCa,b，类似地可得 n4RSn(b-a)h4=-f1802(b-a)h28804(4)(h) ha,b (7.2.15a) 或 =-f(4)(h) ha,b (7.2.15b) 6. 复化公式的收敛性 复化求积方法带来新的
8、收敛性问题，即随着子区间越分越细，也即理论上n时，复化公式的值是否越来越接近积分的准确值？ 事实上，只需 12n-1fCa,b,由Tn公式(7.2.12)显然有 nTn=f(xk)h+k=0k=1f(xk)hn12f(x)dx+abbaf(x)dx=baf(x)dx即复化梯形公式Tn的收敛性是有保证的。类似地，复化Simpson公式的收敛性也是有保证的。 定义 7.2.1 如果一种复化求积公式In，当n*(h0)时有渐进关系式 *limnI-Inhp*=C(C0) 则称求积公式In是 对复化梯形公式 limI-Inh2*p阶收敛的。 h0=lim(-h0121ba1n-1f(hk)h) k=0
9、=-12f(x)dx=-112f(b)-f(a) 可知复化梯形公式有2阶收敛性，且在h很小时有误差估计式 I-Tn-112hf(a)-f(b) 2对于复化Simpson公式有4阶收敛性，且在h很小时有误差估计式 I-Sn-h4f(a)-f(b) 18021 8 例 7.2.2 求 f(x)=sinxx在0,1上的积分 I=1sinxx0dx，要求 -3(1) 利用复化梯形公式计算上述积分，要求截断误差不超过(1/2)10 (2) 利用(1)中复化梯形公式所用的节点，改用复化 Simpson公式做积分积分计算，并估计截断误差。 解 (1) 要使用复化梯形公式计算上述积分的截断误差不超过(1/2)
10、10-3，即要求 |Rb-a22TNf|=|-12hf(h)|112h|f(h)|1210-3对此，先估计|f(h)|。注意到 f(x)=sinx1x=0cos(xt)dt 因而有 f(k)(x)=1dk1kkp0dxkcos(xt)dt=0tcos(xt+2)dt 于是可得 |f(k)(x)|=1kkp|dt1k10t|cos(xt+2)0tdtk+1利用此结果得，可知要求 |R11TNf|1212hf(h)|12h22+11210-3只需h0.1342 或 nb-a0.1342=10.1342=7.4516 可知只需取8个等分节点的复化梯形公式计算上述积分： IT8=0.9456911 (2)利用同样的点做复化Simpson公式计算，这时可取h=14，则 IS4=0.9460832 |R14(4)1SNf|2880hf(h)|142880(4)14+10.27110-6 9
