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1、微积分课后题答案,复旦大学出社第八章 习题8-1 求下列函数的定义域，并画出其示意图： (1)z=1-yxxa22xa22-yb22； (2)z=1ln(x-y)； (3)z=arcsin； (4)z=x-yb22yarccos xa22解：要使函数有意义，必须1-2-0即+yb221， xy 则函数的定义域为(x,y)|2+21，如图8-1阴影所示. ab2图8-1 图8-1 要使函数有意义，必须ln(x-y)0x-y0即x-y1xy， 则函数的定义域为(x,y)|xy且x-y1,如图8-2所示为直线y=x的下方且除去y=x-1的点的阴影部分. yy11-xyxxy-x-1 要使函数有意义，
2、必须x,即， 即或，xx0x0且-xyxU(x,y)|x0,xy-x， 如图8-3阴影所示. 1 图8-3 图8-4 y0x0x- 要使函数有意义，必须y0 即 y02, xy|x2+y2|1x2+y21所以函数的定义域为 (x,y)|x0,y0,x2y,x2+y21, 如图8-4阴影所示. 设函数f(x,y)=x3-2xy+3y2，求 (1) f(-2,3); (2) f 1,2 (3)f(x+y,x-y). xy； 解：f(-2,3)=(-2)3-2(-2)3+332=31; 32 f1211221412,xy=x-2+3xyy=x3-+xyy2; f(x+y,x-y)=(x+y)3-2(
3、x+y)(x-y)+3(x-y)2 =(x+y)3-2(x2-y2)+3(x-y)2. 设F(x,y)=yf，若当y=1时，F(x,1)=x，求f(x)及F(x,y)的表达式解：由F(x,1)=x得x=y-f(x-1) 即 f(x-1)=x-1 令x-1=t则x=(1+t)2代入上式有 f(t)=(1+t)2-1=t(t+2) 所以 f(x)=x(x+2) 2 于是 F(x,y)= =y+f(x-1)=y+(x-1)(x+1)y+x-1指出下列集合A的内点、边界点和聚点： (1)A=(x,y)0x1,0yx；(2)A=(x,y)3x+y=1； (3)Axy； (4)A=(0,2 解：内点(x,
4、y)|0x1,0yx 边界点(x,y)|0x1,y=0U(x,y)|0y1,x=1 U(x,y)|y=x,0x1 聚点A 内点 边界点A 聚点A 内点A 边界点 聚点A 内点 边界点0,2 聚点0,2 习题8-2 讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在： (1) z=xy224x+y； (2) z=x+yx-y 44解：(1)当P(x,y)沿曲线x=ky趋于时，有limf(x,y)=limy0y=kx22ky24y0ky+y=k1+k2这个值随k的不同而不同，所以函数Z=xy224x+y在(0,0)处的极限不存在. (2)当P(x,y)沿直线y=kx(k1)趋于(0,0)时，有 x+kxx
5、-kx1+k1-k (k1)，这个极限值随k的不同而不同，所以函数limf(x,y)=limy0y=kxx0= 3 Z=x+yx-y在(0,0)处的极限不存在. 求下列极限： (1) limsinxyxxyxy+1-1x0y0； (2)lim1-xyx+y22； x0y1(3)limx0y0； (4)limsinxyx+y22 xy解：limx0y0sinxyx1-xyx+yxy2=limyx0y0sin(xy)xy=0 limx0y12=1-010+122=1 limx0y0=limx0y0xy(xy+1+1)xy+1+1)=lim(x0y0xy+1+1)=2 xy+1-1xy+1-1)(1
6、x+y22 当x,y时，是无穷小量，而sinxy是有界函数，所以它们的积为无穷小量,即limxysinxyx+y22=0. 求函数z=yy22+2x-2x的间断点 解:由于y-2x=0时函数无定义，故在抛物线y=2x处函数间断，函数的间断点是(x,y)|y222=2x,xR. 习题8-3 求下列各函数的偏导数： (1) z=(+x)y; (2) z=lntanyxzyx； (3) z=arctanzx； (4) u=yx y-1解：=y(1+x) 4 zy=(1+x)yln(1+x); z=1sec2y-ycotysec2y;xtanyxx2=-yx2xxx z=1sec2y1=1cotyse
7、c2y;ytanyxxxxxxz=1y-yx2-1+yx2=x2+y2; x z=11y2=x1+yxx2+y2; xzu-zyzx=yxlnyx2=-zlnx2yx; uz-1=zyx;yxuzx1lnyz=ylny=yx.zxx已知f(x,y)=e-sinx(x+2y)，求fx(0，1)，fy(0，1) 解：f-sinxx(x,y)=e(-cosx)(x+2y)+e-sinx=e-sinx-cosx(x+2y)+1 fy(x,y)=-esixn=2-2esxi n所以f-sin0x(0,1)=e(-cos0(0+21)+1)=-1 fy(0,1=)-2sien0= 2设z=x+y+(y-1
8、)arcsin3y，求zxxx=1,z1 28y=1yx=y=1解：zx=df(x,1)x=1dx=ddx(x+1)=1 x=1y=122x=12 5 又 zy=1+arcsinx3y+(y-1)1-13(xy)21x3y-23-xy2所以zyx=18y=1=1+arcsin318=1+arcsin12=1+6. 验证z=e11-+xy满足x2zx1+y2zy=2z 解：zx-(1x+1y)=e-1x2-(1x+1y)=x2ezy-(1x+1y)=e-1y2=1y1x22-e11(+)xy所以x2zx+y2zy=x2-(1x+1y)e+y21y2-(1x+1y)e-(-1x+1y) =2e2=
9、2z xy22,x+y02设函数z=x+y4,试判断它在点(0，0)处的偏导数是否存在? 220,x+y=0解：zy(0,0)=lim zx(0,0)=limf(0,0+Dy)-f(0,0)Dy=limDy00-0Dy=0 Dy0f(0+Dx,0)-f(0,0)Dx=limDx00-0Dx=0 Dx0所以函数在处的偏导数存在且zx(0,0)=zy(0,0)=0. 122z=(x+y),求曲线在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角 4y=4122(x+y)zz=解：因为 ，故曲线在点的切线斜率是4x42xy=4z2xx(2,4,5)=1,所以切线与x轴正向所成的倾角a=arctan1=4
10、. 6 求函数z=xy在(2,3)处，当x0.1与y=0.2时的全增量z与全微分dz 解：Qz,zx=yy=x dz=zxdx+zydy 而Dz=(x+Dx)(y+Dy)-xy=xDy+yDx+DxDy 当Dx=0.1,Dy=-0.2,x=2,y=3时， dz=30.1+2(-0.2)=-0.1 Dz=2(-0.2)+30.1+0.1(-0.2)=-0.12. 求下列函数的全微分： (1) 设u=(x)z，求duy(1,1,1)(2) 设z=，求dz yx2+y2解：Q uu-xzx=z(xz-1y)1y,y=z(xy)z-1y2;uz=(xy)lnxy, uux(1,1=,11),y(=1,
11、-1,11 ),u=zz(1,1,1)=0,于是du(1,1,1)x(1,1,1)dx+zy(1,1,1)dy+zz(1,1,1)dz=dx-dy-y2x22 Qz=2x+yxx2+y2=-xy(x2+y2)x2+y2x2+y2-y2y2x2+y22zy=x2+y2=x(x2+y2)x2+y22 dz=zdx+zdy=-xyd+xxdxy y(x2+y2)x2+y2x(+2y2)x+2y2习题8-4 求下列各函数的全导数： (1) z=e2x+3y, x=cost, y=t2; (2) z=tan(3t+2x2+y3), x=1，y=t t 7 解：dzzdxdt=xdt+zyyddt=e2x
12、+3y2(-sint)+e2x+3y32t =2e2x+3y(3t-sint)=2e2cost+3t2(3t-sint) dzffdt=t+xdxfdt+ydydt=sec2(3t+2x2+y3)3+sec2(3t+2x2+y3)4x-1 t2 +sec2(3t+2x2+y3)3y212t3 =(3-4t3+32t)sec2(3t+2t2+t2). 求下列各函数的偏导数： (1) z=x2y-xy2, x=ucosv, y=usinv; (2) z=euv, u=lnx2+y2, v=arctany x解： zzu=xxyu+zyu=(2xy-y2)cosv+(x2-2xy)sinv =2u2
13、sinvcos2v-u2sin2vcosv+u2sinvcos2v-2u2sin2vcosv =3u2sinvcosv(cosv-sinv)zzxzv=xv+yyv=-(2xy-y2)usinv+(x2-2xy)ucosv =-2u3sin2vcosv+u3sin3v+u3cos3v-2u3sinvcos2v =-2u3sinvcosv(sinv+cosv)+u3(sin3v+cos3v)z=zu+zv=veuv12x+ueuv1yxuxvxx2+y22x2+y21+(y-2x2x)x2+y2arctanyx =euvln22(xv-yu)=ex+yx2xarctany-ylnx2+y2)+y
14、2(x 8 z=zu+zv=veuv12y+ueuv11yuyvyx2+y22x2+y21+(yxx)2x2+y2arctanyx =euvln22(yv+xu)=ex+yx2arctany+xlnx2+y2)+y2(xx求下列函数的一阶偏导数，其中f可微： (1) u=f (xy,yz)； (2) z=f(x2+y2)； (3) u=f(x, xy, xyz) 解：u11x=f1y+f20=yf1 uy=f1-xy2+f21z=1zf2-xy2f1 u=f0+f-yz12=yz2z2f2 令u=x2+y2,则z=f(u) z=dfu=f(u)2x=2xf(x2+y2)xdux z=dfuyd
15、uy=f(u)2y=2yf(x2+y2) 令t=x,v=xy,w=xyz,则u=f(t,v,w). u=fdt+fv+fw=ffxtdxvxwx11+f2y+3yz=f1+yf2+yzf3u=fdtytdy+fv+fwvywy=f10+f2x+f3xz=xf2+xzf3 u=fdt+fv+fw=f0+fxy=xyfztdzvzwz120+f33 设z=xy+x2(u),u=y，可导证明： xxz+yzxy=2z 证：Qz=y+2xF(u)+x2F(u)-y=y+2xF(u)-yF(u)xx2z21y=x+xF(u)x=x+xF(u) 9 xzx=yzy=xy+2xF(u)-xyF(u)+xy+
16、xyF(u) 2 =2xy+xF(u)= z利用全微分形式不变性求全微分： (1) z=(x2+y2)sin(2x+y)； (2) u=yf(x-y-z)2222，f可微 v解：令u=x+y,v=sin(2x+y)，则z=u 22dz=zudu+zvdv=vuv-1d(x+y)+ulnudsin(2x+y) 22v=vuvv-1(2xdx+2ydy)+ulnucos(2x+y)d(2x+y)2(xdx+ydy)+lnucos(2x+y)(2dx+dy)2sin(2x+y)22(xdx+ydy)+cos(2x+y)ln(x+y)(2dx+dy)22x+y-1f22v=uvu=(x+y)22sin
17、(2x+y)du=1fdy+ydf=1f2dy-yf2f(x-y-z)d(x-y-z) 222222=1fdy-yf(x-y-z)f122(2xdx-2ydy-2zdz)222=f(x-y-z)222dy-2yf(x-y-z)f(x-y-z)2222(xdx-ydy-zdz)求下列隐函数的导数： (1) 设ex+y+xyz=ex，求zx,zy； (2)设xzx=lnzy，求z,z xy解：设F(x,y,z)=e Fx=e 故zx=-x+yx+y+xyz-ex=0，则 +yz-e,Fy=ex+y+xz,Fz=xy FxFz=e-exx+y-yzxyxzyzzy,zy=-FyFz=-ex+y+xz
18、xy设F(x,y,z)=-ln=0,则 Fx=1z,Fy=-zy2=1y,Fz=-xz2-yz1y=-xz2-1z10 1故zx=-FxFz=-zxz2-1z=zx+z1zy=-FyFz=-yxz2-1z=z2y(x+z)设x+z=yf(x2-z2)，其中f可微，证明：zzzx+yy=x 证：设F(x,y,z)=x+z-yf(x2-z2) 则Fxyf(x2-z2x=1-2) 22Fy=-f(x-z)Fz=1+2yzf(x2-z2)22故z=-Fx=2xyf(x-z)-1xFz1+2yzf(x2-z2)zFyf(x2-y2=-=)yFz1+2yzf(x2-z2)2222从而zzyzf(x-z)-
19、zyf(x-y)x+yzxy=1+2yzf(x2-z2)+1+2yzf(x2-z2)2222=2xyzf(x-z)-z+yf(x-y)1+2yzf(x2-z2)2xyzf(x2-z2 =)-z+x+z1+2yzf(x2-z2) x2yzf(x2-z2=)+1=x1+2yzf(x2-z2)设x=eucosv, y=eusinv, z=uv,求z及z xy解法一：由x=eucosv,y=eusinv得 u=1ln(x2+y2),v=arctany,z=uv2x 故z=zuxux+zvxv-yuvx=x2+y2=(vcosv-usinv)e-u 11 zy=zuuy+zvvyu=yv+xux+y22
20、=(vsinv-ucosv)e-ux=ecosv解法二：设方程组确定了函数u=u(x,y),v=v(x,y),对方程组的两个方程关uy=esinv于x求偏导得 uvuu1=ecosv-esinvxx 0=eusinvu+eucosvvxxu-u=ecosvx解方程组得 v=-e-usinvx又方程组的两个方程关于y求偏导得 uvuu0=ecosv-esinvyy uvu1=eusinv+ecosvyy解方程组得： u-u=esinvy v-u=ecosvy从而zx=zuzuux+zvvx+zv=evy-u(vcosv-usinv) zy=uye=-u(vsivn+ucovs )设u=f(x,y
21、,z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程e解：方程exyxy-y=0和e-xz=0确定，求zdudx -y=0两边对x求导得 exy(y+xdydx)-dydx=0，解得dydx=yexyxy1-xe=y21-xy方程e-xz=0两边对x求导得 z 12 ezdzdx-z-xdzdx=0 解得 dzdx=2ze-xz=zxz-x从而du=fdy+fz=fyfy+zfzdxx+fydxzddxx+1-xyxz-x 习题8-5 求下列函数的二阶偏导数： (1) z=x4+y4-4x2y2； (2) z=arctany； x(3) z=yx； (4) z=xln(xy) 解：z32z
22、22x=4x-8xy2, x2=12x-8y; z2=4y3-8x2y, z=12y2-8x2;yy22z=-16xy2x2yz=1-y=-yx1+(y2x2x2+y2, x)z=11=xy1+(yxx2+y2,x)22z-y x2=(x2+y2)2(2x)=2xy(x2+y2)2,2z-x-2xyy2=(x2+y2)22y=(x2+y2)22z22=-(x+y)-y2y=y2-x2xy(x2+y2)2(x2+y2)2zxzx-1x=ylny, y=xy, 2z2x22=ylny, z xy2=x(x-1)yx-2,2z=xyx-1lny+yx1=yx-1(1+xlny)xyy 13 zx=l
23、n(xy)+x1xyy=1+ln(xy), 2zx2=1y=1,xyxz=x1x=x,yxyy2zx =-y2y22z=1x=1.xyxyy求下列函数的二阶偏导数，其中f(u,v)可微： (1) z=f(x2+y2)； (2) z=f(xy,x+2y) 2解：zx=2xf, zx2=2f+2xf2x=2f+4x2f z2y=2yf, zy2=2f+2yf2y=2f+4y2f 2zxy=2xf2y=4xyf zx=yf1+f2, zy=xf1+2f2 2zx2=y(f1y+f11)+f2y+f2121221=yf11+2yf12+f22 2z2y2=x(f11x+f122)+2(f21x+f22
24、2)=xf11+4xf12+4f222z =fxy1+y(f11x+f122)+f21x+f222 =f1+xyf11+(x+2y)f12+2f22求由ez-xyz=0所确定的z=f(x,y)的所有二阶偏导数 解：设F(x,y,z)=ez-xyz=0，则 Fx=-yz,Fy=-xz,Fzz=e-xy 于是z=-Fx=yzxFzez-xy=z,xz-x 14 zy=xze-xyz=zyz-y从而zx22(xz-x)=zx-z(z+x2zx-1)=z-z(z-1+x(z-1)2zz-12)=2z-2z-zx(z-1)2323(xz-x)zy. zy22(yz-y)=-zz(+y2zy-1)z-z(
25、z-1+=y(z-1)2zz-12)=2z-2z-zy(z-1)2233(yz-y). zxy2(xz-x)=zy-z(x2zy)=zy-z2y(z-1)2(xz-x)x(z-1)=z(z-1)-zxy(z-1)32=-zxy(z-1)3. 习题8-6 求z=x+y在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2，2+3)的方向的方向导数 解：设po(1,2),p(2,2+uuuuv3)，则射线l的方向就是向量pop=(1,uuuur3)的方向，将pop单位uuuurpop13r=(,化得：uuuu), 22|pop|1232于是cosa=,cosb=, 又fx=2x,fy=2y, 于是fx=2,(1
26、,2)fy(1,2)=4, 所以fl=2(1,2)12+324=1+23. 设u=xyz+x+y+z,求u在点(1，1，1)处沿该点到点(2，2，2)的方向的方向导数 uuuuruuuur解：设p0(1,1,1),p(2,2,2),则射线l的方向就是向量p0p=(1,1,1)的方向，将p0p单位化得 uuuur3p0p33uuuur=,，于是cosa=33|p0p|3fxfyfz333333,cosb=,cosg=, 又=yz+1,=xz+1,xy+1，于是fx(1,1,1)=2,fy(1,1,1)=2,fz(1,1,1)=2, 15 所以fl(1,1,1)=233+233+233=23. 求
27、函数z=x-xy+y在点处沿与Ox轴的正方向所成角为a的方向l上的方向导数问在什么情况下，此方向导数取得最大值?最小值?等于零? 解：Qfx=2x-y,fy=-x+2y, fx(1,1)=1,fy(1,1)=1 fl(1=1coas,1)+1sain=42asin+( 4)当sin(a+当sin(a+当sin(a+ 444)=1，时，即a=)=-1时，即a=)=0时，即a=时，此方向导数有最大值2; 时，此方向导数有最小值-2; 745443或时，此方向导数为0. 习题8-7 求下列函数的极值： (1) z=x-4x2+2xy-y2+3； (2) z=e2x(x+2y+y2)； (3) z=x
28、y(a-x-y)， a0 解：由方程组： z=3x2-8x+2y=0x z=2x-2y=0y得驻点， 又zxx=6x-8,zxy=2,zyy=-2, 在点处，B-AC=-120,又A=-80,该点不是极值点. 由方程组 z=e2x(2x+2y2+4y+1)=0x 2xz=e(2y+2)=0y22得驻点(,-1). 2=e(4x+4y+8y+4),zxy=e(4y+4),zyy=2e又zxx2x22x2x1， 在点(12,-1)处B2-AC=0-2e2e=-4e220,所以函数取得极小值 16 f(12,-1)=-12e. 由方程组 z=y(a-2x-y)=0x z=x(a-2y-x)=0ya3
29、a 3,(,),0),a,得四个驻点，0a.又zxx=-2y,zxy=a-2x-2y,zyy=-2x. 在点处，B-AC=a0,该点不是极值点. 在点(0,a)处，B-AC=a0,该点不是极值点. 在点(a,0)处，B-AC=a0,该点不是极值点. aaa20时，(A0)，函数有极大值a327a3, 当a0)，函数有极小值27. 求函数z=x3-4x2+2xy-y2在闭区域D：-1x4,-1y1上的最大值和最小值 分析由f(x,y)在D上连续，所以必有最大最小值，又由于f(x,y)在D内可导，所以由f(x,y)在D内部驻点上值与边界上函f(x,y)的最值在D的内部驻点或在D的边界上，数比较可求
30、出f(x,y)的最大和最小值. z=3x2-8x+2y=0x解：由方程得驻点， z=2x-2y=0yD应该舍去，f(0,0)=0. D的边界可分为四部分： 17 L1:x=-1,-1y1; L2:y=-1,-1x4; L3:x=4,-1y1; L4:y=1,-1x4. 在L1上，f(-1,y)=-5-2y-y=j(y),-1y1. 因为j(y)=-2(y+1)0,所以j(y)单调递减，因而j(-1)=-4最大，j(1)=-8最小. 在L2上，f(x,-1)=x-4x-2x-1=g(x),-1x4 4-3224+322322令g(x)=0得x1=,x2=. 而ming(-1),g(x1),g(x
31、2),g(4)=g(x2)=-4422-22727, -(1g)x,1(gx)2,g( maxg)=,g(x4)=144(22-)27227分别是f(x,y)在L2上的最小值与最大值. 类似讨论可得：在L3上f(4,1)=7,f(4,-1)=-9，分别是f(x,y)的最大值与最小值;在L4上f(4,1)=7,f(-1,1)=-8分别是f(x,y)的最大值与最小值. 比较f(x,y)在内部驻点与整个边界上函数值的情况得到f(4,1)=7是函数4+22-44,-1=f(x,y)在D上的最大值，f322-22727-16.1. 求函数z=x+y在条件解：构造拉格朗日函数 1x+1y=1 (x,y)下的条件极值 11F(x,y)=x+y+l+-1 yx解方程组 18 lFx=1-2=0xlF=1-=0 y2y11+=1xy得x=2,y=2,l=4,故得驻点(2,2)。 又dF=dx+dy-lx2dx-ly2dy, d2
