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1、必修5数学不等式典型例题解析不等式 一不等式的性质： 1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a则a+bc,d，cb+d，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若ab0,cd0，则acbd； cd3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若ab0，则anbn或nanb； 11114若ab0，ab，则；若abb，则。如 abab对于实数a,b,c中，给出下列命题： 若ab,则ac2bc2； 若ac2bc2,则ab； 11 若ababb2； 若ab0,则； abba 若ab； 若abb； abab11
2、 若cab0,则； 若ab,，则a0,bc-ac-bab其中正确的命题是_ ； 已知-1x+y1，1x-y3，则3x-y的取值范围是_ ； c已知abc，且a+b+c=0,则的取值范围是_ a12二不等式大小比较的常用方法： 1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2作商； 3分析法； 4平方法； 5分子有理化； 6利用函数的单调性； 7寻找中间量或放缩法 ； 8图象法。其中比较法是最基本的方法。如 1t+1设a0且a1,t0，比较logat和loga的大小 221t+1；当0a2，p=a+，q=2-a+4a-2，试比较p,q的大小 a-2； 比较1+logx3与2log
3、x2(x0且x1)的大小 443三利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如 下列命题中正确的是 1 A、y=x+的最小值是2 xx2+3 B、y=的最小值是2 2x+24 C、y=2-3x-(x0)的最大值是2-43 x4 D、y=2-3x-(x0)的最小值是2-43 x； 若x+2y=1，则2x+4y的最小值是_ ； 正数x,y满足x+2y=1，则11+的最小值为_ xy； 22a+b4.常用不等式有：a+bab2(根据目标不等式左右221+1ab的运算结构选用) ；a、b、cR，a2+b2+c2ab+bc+ca；若ab0,m0，则
4、。如 aa+m如果正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_ 五证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。). 1111111=2=- 常用的放缩技巧有：-nn+1n(n+1)nn(n-1)n-1n111k+1-k=bc，求证：a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2 ； (2) 已知a,b,cR，求证：a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c)； xy11已知a,b,x,yR+，且,xy，求证：； x+ay+bab(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：a+b+bc+ca
5、lg+lg+lga+b+lcg； lglg222已知a,b,cR，求证：a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c)； (6)若nN*，求证：(n+1)2+1-(n+1)n2+1-n； |a|-|b|a|+|b|(7)已知|a|b|，求证：； |a-b|a+b|111求证：1+2+2+L+22。 23n六简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如 解不等式(x-1)(x+2)20。
6、 ； 不等式(x-2)x2-2x-30的解集是_ ； 设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)0的解集为x|1x0的解集为_ ； 要使满足关于x的不等式2x2-9x+a0的每一个x的值至少满足不等式x2-4x+30和x2-6x+80中的一个，则实数a的取值范围是_. 818七分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 5-x解不等式20的解集为(1,+)，则关于x的不等式ax+b0的解集为_ x-2. 八绝对值不等式的
7、解法： 311分段讨论法：如解不等式|2-x|2-|x+| 42； 利用绝对值的定义； 数形结合；如解不等式|x|+|x-1|3 两边平方：如 若不等式|3x+2|2x+a|对xR恒成立，则实数a的取值范围为_。 43九含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如 2若logax(aR) 解不等式ax-111提醒：解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的
8、端点值。x-2如关于x的不等式ax-b0 的解集为(-,1)，则不等式0的解集为ax+b_） 十一含绝对值不等式的性质： a、b同号或有0|a+b|=|a|+|b|a|-|b|=|a-b|； a、b异号或有0|a-b|=|a|+|b|a|-|b|=|a+b|. 如设f(x)=x2-x+13，实数a满足|x-a|1，求证：|f(x)-f(a)|A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)minA 若不等式f(x)B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)maxa对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_ ； 若不等式2x-1m(x2-1)对满足m2的所有m都成立，则x的取值范围_ 7-13+1）； 22(-1)n+1若不等式(-1)a0对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围. 122). 能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立,则等价于在区间D上nf(x)maxA； 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立,则等价于在区间D上的f(x)minB.如 已知不等式x-4+x-3A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f(x)A的解集为D； 若不等式f(x)B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f(x)B的解集为D.
