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1、必修二 立体几何复习+经典例题一、判定两线平行的方法 1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、 在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、 判定线面平行的方法 1、 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个 平面平行 3、 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、 平面外的两条平行直线中的一条平行
2、于平面，则另一条也平行于该平面 5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、 如果一条直线
3、和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、 定义：成90角 2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5
4、、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为90 1 2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：0q90 (0,90 2、直线与平面所成的角的取值范围是：0q90 0,90 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：0q90 (0,90 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：0q18
5、0 (0,180 十、三角形的心 内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 重心：中线的交点 垂心：高的交点 例2 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN平面PAD 1、 2、 3、 4、 要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明 证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE 底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点， MACD，MA=E是PD的中点， NECD，NE=1CD. 21CD. 2MANE，且MANE， AE
6、NM是平行四边形， MNAE 又AE平面PAD，MN 平面PAD， MN平面PAD 方法二取CD中点F，连接MF，NF 2 MFAD，NFPD， 平面MNF平面PAD， MN平面PAD 关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法： (1)证明线线平行： ac，bc， a，a b a，b g a，g b ab (2)证明线面平行： a ab ab b，a ab a ab a (3)证明面面平行： a a，b a，b，abA a a，a g ，g 例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，ABAC，求证：A1CBC1 要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经
7、过BC1的平面即可 证明：连接AC1 ABCA1B1C1是直三棱柱， AA1平面ABC， ABAA1 又ABAC， AB平面A1ACC1， A1CAB 又AA1AC， 侧面A1ACC1是正方形， A1CAC1 由，得A1C平面ABC1， A1CBC1 空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABAC”都要将其向“线面垂直”进行转化 3 例4 在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求证：平面PAC平面PBC 要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化 证明： 平
8、面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，且ABBC， BC平面PAB， APBC 又APPB， AP平面PBC， 又AP平面PAC， 平面PAC平面PBC 关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法： (1)证明线线垂直： ac，bc， a b ab (1)证明线面垂直： am，an m，n，mnA ab ab，b ，a ，l a，al a (1)证明面面垂直： a，a a a a 例5 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60，E，F分别是AB1，BC的中点 ()求证：直线EF平面A1ACC1； 4 ()在线段AB上确定一点G，使平面
9、EFG平面ABC，并给出证明 证明：()连接A1C，A1E 侧面A1ABB1是菱形， E是AB1的中点， E也是A1B的中点， 又F是BC的中点，EFA1C A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1， 直线EF平面A1ACC1 (2)解：当BG1=时，平面EFG平面ABC，证明如下： GA3连接EG，FG 侧面A1ABB1是菱形，且A1AB60，A1AB是等边三角形 E是A1B的中点，BG1=，EGAB GA3平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB， EG平面ABC 又EG平面EFG，平面EFG平面ABC 例6 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中点 ()
10、求证：平面BEC1平面ACC1A1；()求证：AB1平面BEC1 本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考 证明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC， BEAA1 ABC是正三角形，E是AC的中点，BEAC，BE平面ACC1A1，又BE平面BEC1， 平面BEC1平面ACC1A1 ()证明：连接B1C，设BC1B1CD BCC1B1是矩形，D是B1C的中点， DEAB1 又DE平面BEC1，AB1平面BEC1， AB1平面BEC1 例7 在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC
11、，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB=2DC=45 5 ()设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD； ()求四棱锥PABCD的体积 本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD 证明：()在ABD中， 由于AD4，BD8，AB=45， 所以AD2BD2AB2 故ADBD 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD， 所以BD平面PAD， 又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD ()解：过P作POAD交AD于O， 由于平面PAD
12、平面ABCD，所以PO平面ABCD 因此PO为四棱锥PABCD的高， 又PAD是边长为4的等边三角形因此PO=在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC， 所以四边形ABCD是梯形，在RtADB中，斜边AB边上的高为梯形ABCD的高， 所以四边形ABCD的面积为S=34=23. 24885，即为=54525+4585=24.故521VP-ABCD=2423=163. 39.如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将DABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥A-BCF,其中BC=2. 2(1) 证明:DE/平面BC
13、F; 6 (2) 证明:CF平面ABF; A(3) 当AD= 2时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG. 3AGEDDGEFC9. (1)在等边三角BF图 4CB图 5形ABC中,AD=AE ADAE=DBEC,在折叠后的三棱锥A-BCF中 也成立,DE/BC ,QDE平面BCF, BC平面BCF,DE/平面BCF; (2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AFBC,BF=CF=12. Q 在三棱锥A-BCF中,BC=22,BC2=BF2+CF2CFBF QBFCF=FCF平面ABF; (3)由(1)可知GE/CF,结合(2)可得GE平面DFG. VF-DEG=VE-DFG11111
14、1313=DGFGGF=33243232332 4. 如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，PAD为等腰直角三角形，APD=90，面PAD面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点 证明：EF面PAD； 证明：面PDC面PAD； 求四棱锥PABCD的体积 4. 如图，连接AC， ABCD为矩形且F是BD的中点， AC必经过F 1分 7 又E是PC的中点， 所以，EFAP 2分 EF在面PAD外，PA在面内，EF面PAD 面PAD面ABCD，CDAD，面PADI面ABCD=AD，CD面PAD， 又AP面PAD，APCD 又APPD，PD和CD是相交直线，AP面PCD 又A
15、D面PAD，所以，面PDC面PAD 取AD中点为O，连接PO， 因为面PAD面ABCD及PAD为等腰直角三角形，所以PO面ABCD， 即PO为四棱锥PABCD的高 AD=2，PO=1，所以四棱锥PABCD的体积V=12POABAD= 3311. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱2AA1的中点 ()证明：平面BDC1平面BDC 平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 1. 由题设知BCCC1,BCAC，CC1AC=C,BC面ACC1A1, 又DC1面ACC1A1，DC1BC, 0由题设知A1DC1=ADC=45,CDC1=90,0C1 A1 B1 即DC1DC, D 又DCBC=C, DC1面BDC, C B DC1面BDC1， 面BDC面BDC1； A 设棱锥B-DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得，V1=由三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1， 11+2111=， 232(V-V1):V1=1:1， 平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 8
