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1、总习题十高等数学同济大学第六本总习题十 1. 填空: (1)第二类曲线积分Pdx+Qdy+Rdz化成第一类曲线积分是_, G其中a、b、g为有向曲线弧G上点(x, y, z)处的_的方向角. G(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds, 切向量. (2)第二类曲面积分Pdydz+Qdzdx+Rdxdy化成第一类曲面积分是_, S 解 其中a、b、g为有向曲面S上点(x, y, z)处的_的方向角. 解 (Pcosa+Qcosb+Rcosg)dS, 法向量. S 2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设曲面S是上半球面: x2+y2+z2=R2(z0), 曲面S1是曲面S在 第一
2、卦限中的部分, 则有_. (A)xdS=4xdS; (B)ydS=4xdS; SS1SS1 (C)zdS=4xdS; (D)xyzdS=4xyzdS. SS1SS1 解 (C). 3. 计算下列曲线积分: (1)Lx2+y2ds, 其中L为圆周x2+y2=ax; 解 L的参数方程为x=a+acosq, y=asinq(0q2p), 故 222 Lx2+y2ds=axds=L42p40ax(q)x2(q)+y2(q)dq a =402p2(1+coqs)dq=a4p02pq|dq |2cos22ppa =|cots|dt=a2(2cotsd-tpcotsd)t=2a2(这里令t=q). 0402
3、2 (2)zds, 其中G为曲线x=tcos t, y=tsin t, z=t(0tt0); G 解 zds=t(cost-tsint)2+(sint+tcost)2+1dt G0t0 =Lt0023(2+t0)-22. 2+tdt=32 (3)(2a-y)dx+xdy, 其中L为摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)上对应t从0到2p的一段弧; 解 2pL(2a-y)dx+xdy=(2a-a+acost)a(1-cost)+a(t-sint)asintdt 02 =aG02ptsintd=t-2pa2. (4)(y2-z2)dx+2yzdy-x2dz, 其中G是曲线x=t,
4、 y=t2, z=t3上由听t1=0到t2=1的一段弧; 解 1G(y2-z2)dx+2yzdy-x2dz=(t4-t6)1+2t2t32t-t23t2dt 0 =(-2t4+3t6)dt=1. 0351 (5)(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy, 其中L为上半圆周(x-a)2+y2=a2, y0, L沿逆时针方向; 解 这里P=exsin y-2y, Q=excos y-2, QPx-=ecosy-excosy+2=2. xy 令L1为x轴上由原点到(2a, 0)点的有向直线段, D为L和L1所围成的区域, 则由格林公式 L+L1(exsiny-2y)dx+(excoys-
5、2)dy=(DQP-)dxd yxyypa2, =2dxd=Dy-2y)dx+(excoys-2)dy=pa2-(exsiny-2y)dx+(excoys-2)dy L(exsinL1 =pa2-0dx=pa2. 02a (6)xyzdz, 其中G是用平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得的截痕, 从z轴的G正向看去, 沿逆时针方向. x2+y2+z2=1 解 曲线G的一般方程为, 其参数方程为 y=zt, y=2sint, z=2sint, t从0变到2p. x=cos22于是 2p2cos2cos2cosxyzd=zcosttttdt G02222p =2sin2tcos2tdt=2p.
6、 4016 4. 计算下列曲面积分: (1)SdS, 其中S是界于平面z=0及z=H之间的圆柱面x2+y2=R2; 22x+y+z2 解 S=S1+S2, 其中 S1:x=R2-y2, Dxy: -RyR, 0zH, dS=Rdydz; 22R-yRdydz, 22R-y S1:x=-R2-y2, Dxy: -RyR, 0zH, dS=于是 dSdSdS=+x2+y2+z2x2+y2+z2x2+y2+z2 SSS12 =2DxtRH1R11dz dydz=2Rdy-RR2-y20R2+z2R2+z2R2-y2 =2parctHan. R (2)(y2-z)dydz+(z2-x)dzdx+(x2
7、-y)dxdy, 其中S为锥面 Sz=x2+y2(0zh) 的外侧; QR+=0. 解 这里P=y2-z, Q=z2-x, R=x2-y, P+xyz 设S1为z=h(x2+y2h2)的上侧, W为由S与S1所围成的空间区域, 则由高斯公式 S+S1P+Q+R)dv=0, 222(y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy=(xyzW而 (y2-z)dyd+z(z2-x)dzd+x(x2-y)dxd=y(x2-y)dxd yS1S1ph4, 22(x-y)dxd=ydq(rcosq-rsinq)dq=00422phS1所以 ph4. 222(y-z)dyd+z(z-x)dzd+x
8、(x-y)dxd=y-4S (3)xdydz+ydzdx+zdxdy, 其中S为半球面z=R2-x2-y2的上侧; S 解 设S1为xOy面上圆域x2+y2R2的下侧, W为由S与S1所围成的空间区域, 则由高斯公式得 S+S1QRxdydz+ydzdx+zdxdy=(P+)dv xyzW =3dv=3(2pR3)=2pR3, 3W而 所以 +zydzd+xzdxd=yxdydzdxd=y0dxd=y0=0, S1S1Dxy33xdyd+zydzd+xzdxd=y2pR-0=2pR. Sxdydz+ydzdx+zdxdy(x-2)2(y-1)2z+ (4), 其中S为曲面1-=(z0)的上侧;
9、 22235169(x+y+z)Syz, 其中r=x2+y2+z2. 解 这里P=x, , R=Q=r3r3r32Q13y2R13z2P13x=-=-=- , , , xr3r5xr3r5xr3r5QR33(x2+y2+z2)33r2P+=-=3-5=0. 5xyzr3rrr(x-2)2(y-1)2+1)的下侧, W是由S和S1所围成的空间区域, 则 设S1为z=0(169由高斯公式 xdydz+ydzdx+zdxdyP+Q+R)dv=0, =(2223xyz(x+y+z)S+S1Wxdyd+zydzd+xzdxdyxdyd+zydzd+xzdxdy=-(x2+y2+z2)3(x2+y2+z2
10、)3 SS10dxd=y0. 223(x+y) =Dxy (5)xyzdxdy, 其中S为球面x2+y2+z2=1(x0, y0)的外侧. S 解 S=S1+S2, 其中 S1是z=1-x2-y2(x2+y21, x0, y0)的上侧; S2是z=-1-x2-y2(x2+y21, x0, y0)的下侧, yxyzdx dxyzdx=dyxyzdx+dSS1S2 =xy1-x2-y2dxdy-xy(-1-x2-y2)dxd yDxyDxyy22dqcoqssinq1-r2r3dr =2xy1-x-ydxd=Dxy0012sin2qdq0022p1 = 5. 证明p1-r2r3dr=2. 15xd
11、x+ydy在整个xOy平面除去y的负半轴及原点的区域G内是某22x+y个二元函数的全微分, 并求出一个这样的二元函数. 解 这里P=x, Q=y. 显然, 区域G是单连通的, P和Q在G内x2+y2x2+y2具有一阶连续偏导数, 并且 -2xyQ P=222=, y(x+y)x所以xdx+ydy在开区域G内是某个二元函数u(x, y)的全微分. x2+y2(x,y)yxdx+ydyx1y1ln(x2+y2)+C. =dx+dy=1x0x2+y22x2+y2 u(x,y)=(1, 0) 6. 设在半平面x0内有力F=-k3(xi+yj)构成力场, 其中k为常数, rr=x2+y2. 证明在此力场
12、中场力所作的功与所取的路径无关. 解 场力沿路径L所作的功为 kydx-dy. W=-kx3Lr3rkyQ=- 令P=-kx, . 因为P和Q在单连通区域x0内具有一阶连续的偏r3r3导数, 并且 Qxy= P=3k, yr5x所以上述曲线积分所路径无关, 即力场所作的功与路径无关. 7. 求均匀曲面z=a2-x2-y2的质心的坐标. 解 这里S:z=a2-x2-y2, (x, y)Dxy=(x, y)|x2+y2a2. 设曲面S的面密度为r=1, 由曲面的对称性可知, x=y=0. 因为 222223zdS=a-x-y1+z+zxydxdy=adxdy=pa, SDxyDxydS=24pa2
13、=2pa2, S13pa=a. 所以 z=222pa因此该曲面的质心为(0, 0, a). 2 8. 设u(x, y)、v(x, y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数, 分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线. 证明: ugrad v)dxdy+vuds; (1)vDudxdy=-(gradLnDD (2)(uDv-vDu)dxdy=(uv-vu)ds, LnnD22其中u、v分别是u、v沿L的外法线向量n的方向导数, 符号D=2+2称nnxy为二维拉普拉斯算子. 证明 设L上的单位切向量为T=(cos a, sin a), 则n=(sin a, -cos a). (1)vuds=v(usina-
14、ucosa)ds=-vucosa+vusinads LnLxLyyx =(vu)-(-vu)dxd yxxyyD2vu+v2u)dxd y =(vu+vu+xxx2yyy2D22vuvuu =(+)dxd+yv(2+u)dxd y2xxyyxyDDdgrauddxd+yvDudxd,y =grav DD所以 uds. vDudxdy=-(grad ugrad v)dxdy+vDDLn (2)(uv-vu)ds=u(vsina-vcosa)-v(usina-ucosa)dxdy LLnnxyxys+(uv-vu)sinadxdy =(-uv+vu)coa Lyyxx =(uv-vu)-(-uv+
15、vu)dxd yxxxyyyD2222uvvvuuuvvvu =(+u2-v2+u2-vu)dxd y2xxxxyyyyxxyyD2222vvu)dxd=y(uDv-vDu)dxd. y =u(2+2)-v(2+u2xyxyDD 9. 求向量A=xi+yj+zk通过闭区域W=(x, y, z)|0x1, 0y1, 0z1的边界曲面流向外侧的通量. 解 设S为区域W的边界曲面的外侧, 则通量为 QR+)dv F=xdydz+ydzdx+zdxdy=(P+xyzSW =3dv=3. W 10. 求力F=yi+zj+xk沿有向闭曲线G所作的功, 其中G为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 从z轴正向看去, 沿顺时针方向. 解 设S为平面x+y+z=1在第一卦部分的下侧, 则力场沿其边界L(顺时针方向)所作的功为 +zdy+xdz W=ydx. L 曲面S的的单位法向量为n=-1(1, 1, 1)=(cosa,cosbcosg), 由斯托克斯公3式有 cosacosbcosgdS W=xyzSyzxp=3. =-1(-1-1-1)dS=3dS=31(2)2sin2323SS
