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1、根式,知识点,1整数指数幂的概念,2运算性质,根式的定义,记为：,根指数,被开方数,根式,根式的性质,当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数,记作：,当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）,记作：,3.负数没有偶次方根。,4.0的任何次方根为0。,常用公式,1.,3.根式的基本性质：,无此条件，公式不成立,练习,（1）拆项，配方，绝对值,（2）变为同次根式，再运算。,6,指数-分数指数,正数的正分数指数幂,正数的负分数指数幂和0的分数指数幂,根指数是分母，幂指数是分子,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义,有理指数幂的运算性质,练习,1求值：,解：,2.用
2、分数指数幂的形式表示下列各式：,1).,3.计算下列各式（式中字母都是正数）,4a,要点：分别计算系数和指数,4.计算下列各式：,（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。,（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。,举例,4a,(1),(2),6.,7.,6,讨论：见后,指数函数,指数函数的定义函数 y=ax,(a0,a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。,注意类似与 2ax，ax+3的函数，不能叫指数函数。,例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一
3、半（结果保留1个有效数字）。,经过x年，剩留量,y=0.84x,从图上看出y=0.5只需x4.,例2 比较大小：1.72.5，1.73；0.8-0.1，0.8-0.2；1.70.3，0.93.1,利用函数单调性,y=1.7 x 在R是增函数,y=0.8 x 在R是减函数,y=1.7 x 1,y=0.8 x 1,练习,底数化为正数。,(2).已知下列不等式，试比较m、n的大小,mn,mn,指数函数的应用,例1.求下列函数的定义域、值域：,函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围。,（1）定义域为x|x1；,值域为y|y0且y1,（2）,y1,值域为y|y1,（3）所求函数定义域为R
4、,值域为y|y1,例2.求函数 的单调区间，并证明。,解一（作商法）：设，x1x2,y2/y11，函数单调增,y2/y11，函数单调减,结合图像,解法二.（用复合函数的单调性）,在R内单减,在-,1)内，单减；1,)内，单增。,函数y在上单调递增，在上单调递减。,同增，异减。,单调区间内的值域：边界值。,2x 在R内单增，x1x2：f(x1)f(x2),所以对于a取任意实数，f(x)为增函数。,练习,求下列函数的定义域和值域,1.,2.,a1,0a1,当a1时x0;当0a1时x0,值域为 0y1,x-3,y1,y0,值域为(0,1)(1,+),指数函数3(函数的图象变换),1.y=f(x)y=
5、f(x-a)：左右平移,a0时，向右平移a个单位；a0时，向左平移|a|个单位.,平移变换,2.y=f(x)y=f(x)+b：上下平移,b0时，向上平移b个单位；b0时，向下平移|b|个单位.,对称变换,y=f(x)y=f(-x)：（关于y轴对称）,y=f(x)y=-f(x)：（关于x轴对称）,y=f(x)y=-f(-x)：（关于原点对称）,y=f(x)y=f(|x|)：把y轴右边的图像翻折到y轴左边,绝对值变换,y=f(x),y=f(x)y=|f(x)|：把x轴下方的图像翻折到x轴上方,反函数变换,y=f(x)y=f-1(x)：（关于 y=x 对称）,y=f(x),作图练习,1.在同一坐标系
6、中作y=2x，x=2x+1，y=2x-2的图像,左移1个单位,右移2个单位,把 y 轴右边的图形翻折到 y 轴的左边,3.作出函数 y=2x-1的图像,把 x 轴下方的图形翻折到 x 轴上方,y=2x-1,4.作出函数 y=|x-2|(x1)的图象,分段函数：x2,y=(x-2)(x+1)x2,y=-(x-2)(x+1),x2的部分关于 x 轴对称,y=|x-2|(x1),f(a)=SAACC-SAAB-SBCC,()当a0时，y=ax+b 和 y=bax 的图象只可能是(),y=bax=(ba)x,这是以ba为底的指数函数.观察直线方程可知：在选择B中a0,b1,ba1,C中a0,b1,0b
7、a1,D中a0,0b1,ba1.故选择B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图象不符合.,A,练习题,定义域：xR；值域：0y1,2.求下列函数的单调区间,复合函数：同增，异减,减区间为(-,2;增区间为2,+),解答见后面,2）,分段讨论,增,增,减,减区间为0.5,+)；增区间为(-,0.5,解：2y=2x+2-x,2x 2y=2x 2x+2x 2-x,u=2x:u2-2yu+1=0,xR,0,y0:y1,xR;y1,偶函数,5.函数 y=ax+m-1,(a0)的图像在1，3，4象限，求：a,m 的取值范围,1,图像上下移动，过2，3，4象限,1,向下移动超过1个单位 m-1-1,m0,a
8、1且m0,6.求下列函数的值域,定义域：x+x 0,x0，u0,10u：增函数,值域:(1,+),t=2x,u=t2+6t+10,t0,u10,令：t=ax，01,单增。,单增,结论：01,f(x)单增。,方程 有负实数解，求：a 的取值范围。,对数,底数,幂,指数,知a,x 求 b：乘方,知b,x 求 a：开方,知a,b 求 x：?,定义 一般地，如果a 的b次幂等于N,就是:ab=N 那么数 b叫做 a为底 N的对数,对数符号,底数,真数,以a为底N的对数,对数的值 和底数，真数有关。,例如：,2,-3,探究,负数与零没有对数,（在指数式中 N 0）,常用对数：,我们通常将以10为底的对数
9、叫做常用对数。,记作 lgN,自然对数,在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数叫自然对数,记作 lnN,（6）底数的取值范围,真数的取值范围范围,对数举例,例1.将下列指数式写成对数式,log327=a,例2.将下列对数式写成指数式,27=128,10-2=0.01,e2.303=10,例3.计算,9x=27,32x=33,2x=3,16,-1,3,练习,1.把下列指数式写成对数式,2.把下列对数式写成指数式,3.求下列各式的值,2,-4,2,-2,4,-4,4.求下列各式的值,1,0,2,3,5,2,对数的运算性质,复习重要公式,负数与零没有对数,指数运算法则,对数运算性质,关于公式的几点注意,1.简易语言表达,积的对数=对数的和,商的对数=对数的差,幂的对数=底数的对数与指数的积,2.有时逆向运用公式运,3.真数的取值范围必须是,是不成立的,是不成立的,4.特别注意,应用举例,例1 计算,2,0,19,例3.计算,0,练习,1.求下列各式的值,1,1,0,-1,
