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1、扩散方程扩散方程 研究气体的扩散，液体的渗透，半导体材料中的杂质扩散等问题所满足的微分方程。在考虑扩散问题时，需用到相应的扩散定律和质量守恒定律。 r 扩散定律 扩散物质在单位时间内沿法线方向n流过单位面积的曲面的质量与物质浓度rCC(x,y,z,t)沿法线方向n的方向导数成正比。 nr 由扩散定律，扩散物质在时段dt内沿法线方向n流过面积为dS的曲面的质量dm为： dm=-D(x,y,z)CdSdt n其中D(x,y,z)为扩散系数，出现负号是由于物质总是由浓度高的一侧向浓度低的一侧渗透。 任取一封闭曲面G，它所围区域记为W，则从时刻t1到时刻t2进入此闭曲面的物质质量为 m=D(x,y,z
2、)t1Gt2CdSdt n由高斯公式D(x,y,z)Gt2t1CCCCdS=(D)+(D)+(D)dV， nxxyyzzWCCC(D)+(D)+(D)dVdt xxyyzzm=W同时，物质渗透到区域W内，使得内部的浓度发生变化，在时间间隔t1,t1内，浓度由C(x,y,z,t1)变化为C(x,y,z,t2)，增加的物质质量为 (C(x,y,z,t2)-C(x,y,z,t1)dV=(WWt2t1t2CCdt)dV=(dV)dt t1ttW由质量守恒即有 t2t1t2CCCC(D)+(D)+(D)dVdt=(dV)dt t1xxyyzztWW于是得到扩散方程 CCCC=(D)+(D)+(D) txxyyzz若扩散系数D(x,y,z)为常数，则扩散方程为 C2C2C2C=D(2+2+2) txyz
