抽象函数解题 题型大全.docx

《抽象函数解题 题型大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抽象函数解题 题型大全.docx（60页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、抽象函数解题 题型大全重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 高考抽象函数技巧总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 x)=2x+1,求f(x). x+1xuu2-u2-x=u,则x=+1=解：设f(u)=2f(x)= x+11-u1-u1-

2、u1-x例1：已知 f(2.凑合法：在已知f(g(x)=h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知f(x+)=x+1x31，求f(x) 3x2解：f(x+)=(x+)(x-1+1x1x111211)=(x+)(x+)-3)|x+|=|x|+1 又x2xxx|x|f(x)=x(x2-3)=x3-3x，(|x|1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3 已知f(x)二次实函数，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x). 解:设f(x)=ax

3、+bx+c，则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c 22(a+c)=41322a=,b=1,c=2ax+2bx+2(a+c)=x+2x+4比较系数得2a=1222b=2f(x)=123x+x+ 224.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y=f(x)为奇函数,当 x0时,f(x)=lg(x+1),求f(x) 解:f(x)为奇函数，f(x)的定义域关于原点对称，故先求x0,f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x), 1 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION f(x)为奇

4、函数，lg(1-x)=f(-x)=-f(x)当x0时f(x)=-lg(1-x)lg(1+x),x0 f(x)=-lg(1-x),x0例5一已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)=1， 求f(x),g(x). x-1解：f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 1 中的x, x-111f(-x)+g(-x)=即f(x)g(x)=- -x-1x+11x显见+即可消去g(x),求出函数f(x)=2再代入求出g(x)=2 x-1x-1不妨用-x代换f(x)+g(x)=5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x)的表达式 例6

5、：设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求f(x) 解：f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x+1)=f(x)+x+1 f(1)=1,f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3f(n)=f(n-1)+n 以上各式相加，有f(n)=1+2+3+n=二、利用函数性质，解f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶性： 例7 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)0,求证f(x)为偶函数。 证明：令x=0, 则已知等式变为f(y)+f(-y)=2f(0)f(y) 在中令y=0则2f(0)=2f

6、(0) f(0)0f(0)=1f(y)+f(-y)=2f(y)f(-y)=f(y)f(x)为偶函数。 2.确定参数的取值范围 2例8：奇函数f(x)在定义域内递减，求满足f(1-m)+f(1-m)0的实数m的取值范围。 222解：由f(1-m)+f(1-m)0得f(1-m)-f(1-m)，f(x)为函数，f(1-m)f(m-1) n(n+1)1f(x)=x(x+1),xN 22-11-m12又f(x)在内递减，-1m-110mm2-13.解不定式的有关题目 2 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 例9：如果f(x)=ax+bx+c对任意的t有f(2+t)=f2

7、-t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小 解：对任意t有f(2+t)=f2-t)x=2为抛物线y=ax+bx+c的对称轴 又其开口向上f(2)最小，f(1)=f(3)在2，)上，f(x)为增函数 f(3)f(4),f(2)f(1)f(4) 五类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 例1、已知函数f对任意实数x，y，均有fff，且当x0时，f0，f2，求f在区间2，1上的值域。 分析：由题设可知，函数f是究它的单调性。 解：设在条件中，令yx，则，即，当， ，f为增函数。 ，再令xy0，则f2 f， f0， 的抽象函数，因此求函数f的值域，

8、关键在于研22故ff，f为奇函数， ff2，又f2 f4， f的值域为4，2。 例2、已知函数f对任意2，f5，求不等式，满足条件ff2 + f，且当x0时，f的解。 分析：由题设条件可猜测：f是yx2的抽象函数，且f为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，则， 即，f为单调增函数。 ， 又f5，f3。3 ，当， 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 即，解得不等式的解为1 a 0时，0f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思

9、考和解决。 9 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0，求f(2000)的值。 解：由f(2-x)+f(x-2)=0， 以t=代入，有f(-t)=f(t)， x-2 f(x)为奇函数且有f(0)=0 又由f(x+4)=f4-(-x) =f(-x)=-f(x) f(x+8) =-f(x+4)=f(x) 故f(x)是周期为8的周期函数， f(2000)=f(0)=0 例2 已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x0时， f(x)0，f(-1)=-2

10、，求f(x)在-2，1上的值域。 解：设x10， 由条件当x0时，f(x)0 f(x-x)021 又f(x2)=f(x2-x1)+x1 =f(x2-x1)+f(x1)f(x1) f(x)为增函数， 令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x) 又令x=y=0 得f(0)=0 10 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION f(-x)=-f(x)， 故f(x)为奇函数， f(1)=-f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4 f(x)在-2，1上的值域为-4，2 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去

11、掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例3 已知f(x)是定义在上的偶函数，且在上为增函数，满足f(a-2)-f(4-a2)0，试确定a的取值范围。 解：Qf(x)是偶函数，且在上是增函数， f(x)在(-1，0)上是减函数， -1a-21 由得3a5。 2-14-a1 当a=2时， f(a-2)=f(4-a2)=f(0)，不等式不成立。 当3a2时， f(a-2)f(4-a2)-1a-2022 =f(a-4)-1a-4a2-4解之得，3a2 当2a5时， f(a-2)f(4-a) 20a-21=f(a2-4)0a2-41 a-2a2-4 解之得，2a0时，f(

12、x)2，f(3)=5，求不等式f(a2-2a-2)3的解集。 解：设x1、x2R且x10 ， f(x-x)221 即f(x2-x1)-20， f(x2)=f(x2-x1)+x1 =f(x2-x1)+f(x1)-2f(x1) f(x2)f(x1) 故f(x)为增函数， 12 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 又f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=3f(1)-4=5 f(1)=3f(a2-2a-2)3=f(1)，即a-2a-21-1a32 因此不等式f(a2-2a-2)3的解集为a|-1a3。 四. 证明某些问题 例6 设f(x)定义在R上且对任意的

13、x有f(x)=f(x+1)-f(x+2)，求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期。 分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f(x+T)=f(x)则f(x)为周期函数，且周期为T。 证明：Qf(x)=f(x+1)-f(x+2) f(x+1)=f(x+2)-f(x+3) (1)+(2)得f(x)=-f(x+3) 由得f(x+3)=-f(x+6)(1) (2) (3) (4) 由和得f(x)=f(x+6)。 上式对任意xR都成立，因此f(x)是周期函数，且周期为6。 例7 已知f(x)对一切x，y，满足f(0)0，f(x+y)=f(x)f(y)

14、，且当x1，求证：x0时，0f(x)0，则-x1， 而f(0)=f(x)f(-x)=1 f(-x)=11 f(x) 0f(x)1， 13 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 设x1，x2R且x1x2， 则0f(x2-x1)1， f(x2)=f(x2-x1)+x1 =f(x2-x1)f(x1)f(x2)， 即f(x)为减函数。 五. 综合问题求解 抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。 例

15、8 设函数y=f(x)定义在R上，当x0时，f(x)1，且对任意m，n，有f(m+n)=f(m)f(n)，当mn时f(m)f(n)。 证明f(0)=1； 证明：f(x)在R上是增函数； 22 设A=(x，y)|f(x)f(y)f(1)， B=(x，y)|f(ax+by+c)=1，a，b，cR，a0，若AIB=，求a，b，c满足的条件。 解：令m得f， =n00=f0f0 f(0)=0或f(0)=1。 若f(0，这与当m时，f(0时，有fmn)=0，当m(+=0)fmf(0)m)f(n)矛盾， 。 f(0)=1 设x，由已知得f(，因为x10，f(x，若x11)112-11-x，f(-x)1，由

16、f (0)=fxf(-x)10111 14 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 10f(-x1) f(x2)=f(x2-x1)f(x1)f(x1) f(x1)=f(x)在R上为增函数。22 由f(x)f(y)f(1)得x+y11 22 由f得a (ax+by+c)=1x+by+c=022222I= 从、中消去y得(，因为AB a+b)x+2acx+-cb022222 ， D=(2ac)-4(a+b)(cb-)0 即a+b0， 试判断f(x)的奇偶性；判断f(x)的单调性； 求证f+f+f(21511111。 )f2n+31n 分析：这是一道以抽象函数为载体，研

17、究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。 解：对条件中的x，y，令x=y=0，再令y=-x可得 f(0)+f(0)=f(0)f(0)=0，所以f(x)是奇函数。 fx+f(-x)=0f(-x)=-fx 设-，则fx-fx=fx+f(-x)=f(11xx0121212 Q， x-x0，0xx12121 x-x2 )1-xx12x1-x2x-x0，从而有f，即f(，(x)-f(x)0x)f(x)12121-x1x21-x1x2x)在(-1，0)上单调递减，由奇函数性质可知，f(x)在上仍是单调减函数。 故f( Qf(1) 2n+3n+1 15 重 庆 书 之 香 教 育

18、CHONG QING EDUCATION =f(1)(n+1)(n+2)-11-1+ +1n+21-1n+1n+2n=f1+1-1)+fn+1n+211=f-f，n+1n+2111f+f+f(2)511n+3n+1 111111=f-f+f-f+f-f2334n+1n+211=f-f2n+211Q01，ff2n+221111f+f+f(2)f。5112n+3n+1抽象函数问题分类解析 我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1. 求定义域 这类

19、问题只要紧紧抓住：将函数fg(x)中的g(x)看作一个整体，相当于f(x)中的x这一特性，问题就会迎刃而解。 例1. 函数y=f(x的定义域是_。 ，1，则函数y=flog(x-2)的定义域为(-2 分析：因为l，解得 og(2)相当于f(x)中的x，所以log(2)12x-2x-2222x2或-2x-2。 =f(x+a)+f(x-a)(|a|) 例2. 已知f(x)的定义域为(0，1)，则y的定义域是_。 -a+a 分析：因为x及x均相当于f(x)中的x，所以 16 12重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 0x+a1-ax-1a 0x-a1ax+1a1 a0

20、时，则x(-a，1+a)21 (2)当0a时，则x(a，1-a) 2 (1)当- 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f(x)与f(-x)的关系。 例3. 已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y满足fx，求证：f(x)是偶函数。 (y)=fx+fy 分析：在fx中，令x=y=， 1(y)=fx+fy 得f (1)=f(1)+f(1)f(1)=0 令x=，得f y=-1(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0 于是fx (-)=f(-1=x)f(-1)+=f(x)f(x) 故f(x)是偶函数。 例4. 若函数y与y=-=fxf(x0)f(x)的图象关于原点对称，求证

21、：函数 y=f(x)是偶函数。 证明：设y=f(x)图象上任意一点为P Qy=fx与y=-f(x)的图象关于原点对称， 在y=-P(x，y)关于原点的对称点(-x，-y)f(x)的图象上， 0000-y0=-f(-x0) y0=f(-x0) 又yf(x) 0=0 f(-x)=fx(0)0 即对于函数定义域上的任意x都有f(-x)=f(x)，所以y=f(x)是偶函数。 3. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 7，-3上是 例5. 如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且有最小值为5，那么f(x)在区间-17 重 庆 书 之 香 教 育

22、CHONG QING EDUCATION A. 增函数且最小值为-5 C. 减函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。 y 图1 例6. 已知偶函数f(x)在(0，+)上是减函数，问f(x)在 5 O -7 -3 3 7 x (-，0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 -5 分析：如图2所示，易知f(x)在(- ，0)上是增函数，证明如下： 任取xx -x01212 因为f(x)在(0。 ，+)上是减函数，所以f(-x)f(-x)12 又f(x)是偶函数，所以 f， (-x)=f(xf)，(-x)=f(x)1122 从而f(，故f(x)在(-，0)上是增函数。 x)f(x)12