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1、拉格朗日中值定理的证明1拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定 罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的 去。 罗尔定理：函数 满足在a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点，使f()=o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在a，b上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ，使图2). (如比较定理条件，
2、罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令(1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点，使f( t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta(2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在a.b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点，使F。()=O。也就是f()-t=O，也即f( )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数 我们知道其导数为且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在a，b是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点，使F 从而有结论成立.
