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1、拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解分离变量法 一 拉普拉斯方程的适用条件 1 空间处处r=0，自由电荷只分布在某些介质表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。 2 在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势为已知。 若所求区域为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势 e0=e。 若所求区域为分区均匀介质，则不同介质交界面上有束缚面电荷。 则区域V中电势可表示为两部分的和 j=j0+j j不满足2j=0，但j使2j=0满足，仍可用拉普拉斯方程求解。但注意，边值关系还要用jS而不能用jS。 二 拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式 2j2j2j1 直角坐标 j=+
2、2+2=0 2xyz2令 j(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) d2X2+aX=0dxd2Y2+bY=0dyd2Z2+gZ=0dz一般令 a=-k12a+b+g=0 b=-k22g=k12+k22=k2 若考虑了某些边界条件X(x)=Aek1x+Be-k1xky-ky Y(y)=Ce2+De2Z(z)=EsinkZ+FcoskZk1,k2,k均与某些正整数有关，它们均可取1，2，通解还要求取和后才行。 d2X222-kX=0a=-kdx若 j=j(x,y) 与 z无关， 22b=kdY-k2Y=02dya+b=0X(x)=Aekx+Be-kx特解 g=0Y(y)=Csinky+Dcosk
3、yd2j=0若 j=j(x)，与 y,z无关。 dx22j=Ax+B 1j12j2j(r)+2+2=0 2 柱坐标 j=2rrrrqz仅讨论 j=j(r,q) 与 z无关。 令 j(r,q)=f(r)g(q) d2g(q)+n2g(q)=02dq 21d(rdf)-nf(r)=0r2rdrdr解： g(q)=a1sinnq+a2cosiq f(r) 有两个线性无关解 rn 和 r-n。 单值性要求 j(0)=j(2p)，n只能取整数，令n=n 通解： j(r,q)=rn(Ansinnq+Bncosnq)+r-n(Cnsinnq+Dncosnq) n=11jj若 j=j(r)，(r)=0，r=C
4、j=A+Blnr。 rrrr3球坐标 j(R,q,F)=bnmm)P(cosq)cosmF nn+1Rnmd+(cnmRn+nm)Pnm(cosq)sinmF n+1Rnm(anmRn+Pnm(cosq)缔合勒让德函数 l 若j不依赖于F，即j具有轴对称性 bn)Pn(cosq) n+1RnPn(cosq)为勒让德函数，P0=1P1(cosq)=cosq 1P2(cosq)=(3cos2q-1) 2通解 j(R,q)=(anR+nl 若j与q,F均无关，即j具有球对称性，则通解为： j(R)=a+三解题步骤 1 选择坐标系和电势参考点 b R坐标系选择主要根据区域中分界面形状 参考点主要根据电
5、荷分布是有限还是无限 2 分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解 3 根据具体条件确定常数 外边界条件： 电荷分布有限 边界条件和边值关系是相对的。 导体边界可视为外边界，jS给定，或给定总电荷Q，或给定s j-E0rcosq=-E0z 内部边值关系：介质分界面上 j1S=j2Se1j1n=e2Sj2n 表面无自由电荷。 V Sz=lO y 四应用实例 1 两无限大平行导体板，相距为l，两板间电势差为V r(与x,y,z无关)，一板接地，求两板间的电势j和E 下板接地 x 解：边界为平面，故应选直角坐标系 jS=0，为参考点 1定性分析：由于在z=l处，j=V常数，可考虑j与x,
6、y无关。 列出方程并给出解：在0zl区域， j=0 2(r=0)d2j=0 方程的解：j=Az+B 2dz定常数： j(z=0)=0B=0 j(z=l)=V(6) 结果：j=Al=VA=V lrdjrVr E=-j=-ez=-ezdzlVzl(0zl) 显然满足2j=0和边界条件 E=V=常数，均匀场 lx y z 2 一对接地半无限大平板，相距为b，左端有一极板 电势为V，求两平行板之间的电势 解：边界为平面，选直角坐标系 上、下两平板接地，为参考点 同样若y0或b,xjx=0 z轴平行于两平板，且x=0,0yb,j=V与z无关，可设j=j(x,y)与z无关。 2j2jj=2+2=0xy2(
7、0x,0yb) j=X(x)Y(y)X(x)=Aekx+Be-kx Y(y)=Csinky+Dcoskyj(x,y)=(Aekx+Be-kx)(Csinky+Dcosky) 确定常数 A，B，C，D，k y=0,j=0D=0。 y=b,j=0sinkb=0kb=npk=npb(n=1,2,3,LL) j与n有关，上面解可写为 sinjn(x,y)=(Anekx+Bne-kx)(Cn通解 j(x,y)=xjn=1npy)b(n=1,2,3LL) n(x,y) j=0An=0 =Cn) (BnCnnp-nbpxjn(x,y)=Cnsinyebnp-nbpxj=Cnsinye bn=1电势和电场。
8、3半径a，带有均匀电荷分布s的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的解：电荷分布在无限远，电势零点应选在有限区域，为简单可选在导体面r = a处。 选柱坐标系： 对称性分析： 导体为圆柱，柱上电荷均匀分布，j一定与q无关。 柱外无电荷，电力线从面上发出后，z 不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿er方向，可认为j与z无o y r x r关，j=j(r) 2j=01ddj(r)=0rdrdrrdj=C drCdj=dr j(r)=Clnr+D rrBrjr1jrjrE=-erj=er+eq+ez rr2qz当r = a时，j(a)=0 则D=-Clna 不选择零点也不影响求场。 j(
9、r)=-Blna+Blnr=Cln 常数C的确定：s=-e0e0BBa1=- r=arar=aaasasrln C=- j(r)=-e0e0adjdn=-e0ra 若选r=aj(a)=j0 则 j(r)=j0-=j0+ ase0lnras=j0-lnr ae0r0rrdjraserer=电场E：E=-j=+ dre0rrsrE(a)=er 在表面上 (r=a)x=0ej=VV=Cnsinn=1两边同乘 sinbmpy 并从0 b积分： bnpy ，由此或定出Cn=？ be0bbmpynpympympynpyVsindy=Csinsindy=Csinsindynn000bbbbbn=1n=1b0sinb0mpynpysindy=bbb/2nmb =dmnsinx n=m2mpybdy=Cndmn=Cmb/2 Vsin0b2n=12bmpy2VbmpCm=Vsindy=sinydyb0bbmp04V 2Vmp=-cosy0=mpmp 04V1mpy-mpx/bj(x,y)=sine pm=1,3,5Lmb令 m=2n+1n=0,1,2,L 1(m+1)py-(2n+1)px/bj(x,y)=sinepm=02n+1b4V0x0yb
