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1、拉格朗日函数拉格朗日函数 求极值 求函数f(x,y,z)在条件(x,y,z)=0下的极值 方法是： 1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+(x,y,z),称拉格朗日乘数 2.求L分别对x,y,z,求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z) 如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,于是最值 可求. 条件极值问题也可以化为无条件极值求解,但有些条件关系比较复杂,代换和运算很繁,而相对来说,“拉格朗日乘数法”不需代换,运算简单一点.这就是优势. 条件(x,y,z)一定是个等式，不妨设为(x,y,z)=m 则再建一个函数g(x,y,z)=(x,y,z)-m g(x,y,z)=0,以g(
2、x,y,z)代替(x,y,z) 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z， 则水箱容积V=xyz 焊制水箱用去的钢板面积为 S=2xz+2yz+xy 这实际上是求函数 S 在 V 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件 微观中的应用 均衡原则 微观经济学研究消费者行为时，所要阐述的核心问题是消费者均衡的原则。所谓消费者均衡指的是一个有理性的消费者所采取的均衡购买行为。进一步说，它是指保证消费者实现效用最大化的均衡
3、购买行为。 但人的需要或欲望是无限的，而满足需要的手段是有限的。所以微观经济学所说的效用最大化只能是一种有限制的效用最大化。而这种限制的因素就是各种商品的价格和消费者的货币收入水平。 首先，我们先引入一些名词解释: 总效用(TU):消费者在一定时间内消费一定数量某种商品或商品组合所得到的总的满足。 边际效用(MU):消费者在所有其它商品的消费水平保持不变时，增加消费一单位某种商品所带来的满足程度的增加，也就是说指增加一单位某种商品所引起的总效用的增加。 商品数量(Q)，商品价格(P), 收入(I) 边际效用的公式表达为:MU=TU/Q 那么如何才能实现在制约条件下效用最大化的商品组合呢？ 就是
4、当消费者把全部收入用于购买各种商品时，他从所购买的每一种商品所得到的边际效用与其价格的比例都相同，这样的商品组合就是最佳的或均衡的商品组合。 假设当消费者选择两种商品x,y时，消费者均衡原则的公式表达为: MUx/Px = MUy/Py(/为分数线） 制约条件的公式表达式为:I=PxQx+PyQy。那么这一结论是如何推导出来的呢？解决这一问题最直接的方法就是拉格朗日乘数法。 上面说到：在利用偏导数求多元函数的极值时，若函数的自变量有附加条件，则称之为条件极值。这时，可用拉格朗日乘数法求条件极值。具体方法如下: 设给定二元函数z=(x,y)和附加条件(x,y)=0，为寻找z=(x,y)在附加条件
5、下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=(x,y)+(x,y)，其中为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即 Lx(x,y)=x(x,y)+x(x,y)=0， Ly(x,y)=y(x,y)+y(x,y)=0， (x,y)=0 套用到微观经济学里面：设效用函数U(Qx,Qy),为使它在制约条件下取得极值，首先建立拉格朗日函数:L=U(Qx,Qy)+( I-PxQx-PyQy)，为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件连立。 即 L/Qx=U/Qx-Px=0 U/Qx=Px (边际效用的公式表达为:MU=TU/Q ) L/Qy=U/Qy-Py=0 U/Qy=Py I-PxQx-PyQy=0 将方程除以方程，得: MUx: MUy=Px: Py 所以，消费者要实现两种商品的效用最大化，边际效用的比率应该等于价格比率。 以上是关于x和y两种商品所说的，是否同样适用于多种商品呢？答案是肯定的。如果消费者在n种商品中做出选择，则消费者均衡的原则可表达为: MU1 MU2 MU3 MUn P1 P2 P3 Pn
