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1、1,12 能量法,12.1 应变能与余能,12.2 卡氏定理,12.3 最小势能原理,12.4 瑞利-里兹法,2,12.1 应变能与余能,一、应变能,(a)轴向拉（压）杆,1.线弹性体,（1）基本变形形式,利用应变能 在数值上等于外力功W，可得,3,(b)扭转,12.1 应变能与余能,4,(c)弯曲,纯弯曲,横力弯曲,12.1 应变能与余能,5,可以把应变能统一写成,式中，P为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。,12.1 应变能与余能,6,（2）组合变形（用内力形式表示的应变能）,M(x)只产生弯曲转角
2、,小变形时不计FQ 产生的应变能，,N(x)只产生轴向线位移,M t(x)只产生扭转角,12.1 应变能与余能,7,对于dx 微段，N(x),Mt(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为,杆的应变能为,12.1 应变能与余能,8,因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即，但必须注意 以及 的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。,（1）轴向拉伸与压缩,2.非线性弹性体,应变能为,应变能密度为,12.1 应变能与余能,9,以上两式中，分别是以D和e 为自变量，。所以 为位移状态的函数。,因为，为非线性关系，上两式积分后得不到1/2的系数，只能根据 或 的函数关系
3、进行积分。,应变能密度,式中，为扭转力偶矩，为扭转角，为扭转切应力，为 切应变。,注意：,（2）扭转,应变能,12.1 应变能与余能,10,式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，为线应变。,应变能密度,应变能和应变能密度之间的关系为,式中，V 为体积。,（3）梁,应变能,12.1 应变能与余能,11,二、余能,图 a为非线性体弹性体的受拉杆，其P D和se关系如图b,c 所示。,（1）余功的定义为,12.1 应变能与余能,12,其大小为曲面OP1a的面积如图d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量纲，且Wc 为矩形OP1aD1 的面积与曲面OaD1 的面积（W）之差（图d）,故称Wc 为余功。
4、Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc。,12.1 应变能与余能,13,由上述，D=f(P),e=f(s)。所以Vc=f(P)为受力状态的函数。,（3）线弹性体（图e）,U和 Uc 数值相等，但概念和计算方法不同，即 U=f(D),Uc=f(P)。,（2）余能,12.1 应变能与余能,14,B,D,例1 已知两杆的长度均为l、横截面面积均为A、材料单轴拉伸时的-曲线如图所示。求：荷载 P1作用下的余能 Uc,12.1 应变能与余能,15,B,D,1,P,解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。,12.1 应变能与余能,16,由于轴向拉伸杆内各点的应力状态
5、相同，因此,B,D,1,P,12.1 应变能与余能,17,12.2 卡氏定理,图示梁的材料为非线性弹性体，Pi 为广义力，di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。,各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为,为位移状态函数。,1.卡氏第一定理,18,假设与第 i个荷载Pi相应的位移di有一微小位移增量ddi，而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和 应变能的增量分别为,（ddi不是由Pi产生的，Pi ddi为常力做的功）,（a）,(b),式中，为应变能对位移 的变化率。,12.2 卡氏定理,19,上式为卡氏第一定理
6、。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故卡氏第一定理适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把U写成给定位移的函数形式。,令,12.2 卡氏定理,则,20,2.卡氏第二定理,图示为非线性弹性杆，Pi为广义力，di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。,梁的余能为,表明,(1)余能定理,12.2 卡氏定理,21,令,上式称为余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Pi相应的位移。,设第 i个力Pi有一个增量dPi，其余各力均保持不变，各位移均不变。余功和余能的改变量分别是,12.2 卡氏定理,22,(2)卡氏
7、第一定理和余能定理的比较,didi+ddi，其他位移均不变，所有的力均不变。,PiPi+dPi，其他力均不变，所有的位移均不变。,12.2 卡氏定理,23,续表,(平衡方程),（变形的几何关系）,12.2 卡氏定理,24,(3)卡氏第二定理,当结构为线弹性体时，由于力P和位移d成正比，Uc在数值上等于应变能U（如图）。若把 用力表示，即,余能定理可以写成,上式称为卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体，它将是研究的重点。,12.2 卡氏定理,25,它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。,注意:,组合变形（不计剪力的影响
8、）时,也可以写成,用该式计算时，可减少计算工作量。,12.2 卡氏定理,26,例2 图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量d。不计剪力和轴力的影响。,12.2 卡氏定理,27,圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即,（）,用 角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对P 的偏导数分别为,解：,，,12.2 卡氏定理,28,结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。,利用对称性，由卡氏第二定理，得,12.2 卡氏定理,29,例3 三杆的材料相同，s=Ke1/n(n 1)，横截面面积均为A，1,2
9、两杆长度为 l。用余能定理求各杆的轴力。,12.2 卡氏定理,30,解：以铰链 D 的支反力X 为多余未知力，基本静定系如图b 所示，F，X 看作基本静定系上独立的外力，,所以 Uc=Uc(P,X)（不能含有其它未知力）,因为铰链 D 处沿铅垂方向的位移为零，应有,由该式求出X 后，再利用平衡方程求各杆的轴力。,12.2 卡氏定理,31,(1),（轴力均用P和 X 表示）,由平衡方程得各杆的轴力分别为,各杆的应力分别为,(2),(3),由 得,12.2 卡氏定理,32,结构的余能为,(4),三杆的余能密度分别为,12.2 卡氏定理,33,（4）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示变形的几何关系
10、。,由，得,将X 值代入（1），得,以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。,12.2 卡氏定理,34,例4 刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。,12.2 卡氏定理,35,解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X 为多余未知力，基本静定系如图b 所示。由于,但是在 中，出现(U也将出现)，必须把,用 q,X 表示。,由，得,12.2 卡氏定理,36,CB,AB段的弯矩方程及其对X 的偏导数分别为,，,由，得,12.2 卡氏定理,37,解得（）和图示方向相反。,（）,（）,（）,由平衡条件得,12.2 卡氏定理,38,例5 半圆环的弯曲刚度
11、为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。,12.2 卡氏定理,39,解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静定系（图b)，多余未知力为轴力X1,弯矩X2,剪力X3。该题为三次超静定。,(a),但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对称的，但X3是反对称的，故X30，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为P，X1，X2的函数，即,12.2 卡氏定理,40,与X1，X2 相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零，即,(b),弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为,12.2 卡氏定理,41,注意到基本静定系为两个1/4圆环，(b)式成为
12、,(d),(e),将(c)式代入(d)和(e)式，可解得,12.2 卡氏定理,42,12.3 最小势能原理,1.势能,取结构在未受力时的状态作为参考状态，势能为,U拉杆变形过程中所积蓄的应变能；,拉杆受力后的变形。,势能的一般表达式：,这一表达式适用于任何弹性结构，为广义力，为相应的广义位移。,43,2.最小势能原理,当任一位移有一个微小增量时，忽略高阶微量，势能的改变量为,由卡氏第一定理 得，,上式是表示结构平衡的充分必要条件，且适用于一切弹性结构。,驻值原理,12.3 最小势能原理,44,结构平衡形态的稳定性可由下述规则判断：,取最小值，稳定的平衡；,取最大值，中稳定的平衡；,取恒定值，中
13、性的或临界的平衡。,对于稳定平衡的弹性结构，,最小势能原理,等价于平衡条件，适用于一切弹性结构。,12.3 最小势能原理,45,12.3 最小势能原理,例6 如图所示超静定杆系中，三杆材料相同且横截面面积均为A，材料为线弹性，弹性模量为E，试求各杆应力。,解：由于对称性，E点只有铅垂位移，设为D。,3杆的应变为,其比能为,3杆的应变能为,46,12.3 最小势能原理,1、2杆的应变为,其比能为,其应变能为,该杆系结构的总应变能为,47,结构的势能为,由最小势能原理,三杆应力分别为,12.3 最小势能原理,48,12.4 瑞利-里兹法,瑞利-里兹法主要思路：,（1）用假设的变形形状近似表示变形的
14、真实形状；,（2）用形状函数表示假设的变形形状，形状函数含有一个或多个不定的位移参数；,（3）将势能表示成上述位移参数的函数；,（4）根据势能驻值原理，令势能对每一位移参数的偏导数为零，得到一组以未知的位移参数表示的联立方程组；,（5）求解方程组，得出各个位移参数，所假设的变形形状即可得到；,（6）求出内力。,49,例7 试确定如图所示阶梯状梁中央处挠度的近似值。,解：取形状函数为,由边界条件：,于是,由对称性条件：,12.4 瑞利-里兹法,50,全梁的弯曲应变能为,将 代入：,该梁总势能为,12.4 瑞利-里兹法,51,应用最小势能原理，得,求得,12.4 瑞利-里兹法,52,例8 试用瑞利
15、-里兹法计算如图所示两端简支阶梯状压杆的临界压力。已知材料的弹性模量为E。,解：在临界压力Pcr作用下，压杆可在微弯状态下维持中性平衡或临界平衡。根据边界条件，可用下式的单参数函数作为其挠曲线近似方程,为杆中点的挠度。,由边界条件：,由对称性条件：,12.4 瑞利-里兹法,53,由于杆的微弯，在其上端有竖向位移。为了求，在挠曲线上取一微段ds，它与其在x轴上投影dx之差为,又,12.4 瑞利-里兹法,54,从而荷载所做的功为,压杆的应变能为,12.4 瑞利-里兹法,55,压杆的总势能为,压杆在临界压力作用下，处于中性平衡状态，由势能驻值原理有,解得,12.4 瑞利-里兹法,56,小结,1.卡氏
16、第一定理、最小势能原理（势能驻值原理）从原理上讲代表结构的静力学平衡条件，卡氏第一定理要求将应变能表示成位移的函数，最小势能原理（势能驻值原理）要求将势能中的应变能表示成位移的函数，而总势能则表示成为位移和荷载的函数。该两原理适用于一切弹性结构（在线弹性和非线弹性结构中应变能的计算不同）。瑞利-里兹法则是应用最小势能原理的近似方法。,57,2.卡氏第二定理、余能定理在原理上表示结构的变形几何条件，要求将卡氏第二定理中的应变能、余能定理中的余能表示成位荷载的函数，余能定理适用于一切弹性结构，而卡氏第二定理则只适用于线弹性结构。,3.卡氏第二定理、最小势能原理和瑞利-里兹法均可用于静定结构和超静定结构。卡氏第二定理应用于静定结构可以避免寻找复杂的几何关系，用于超静定结构，以多余未知力作为基本未知量，并视多余未知力为荷载；瑞利=里兹法可以避开力的平衡、力与位移的关系，直接假设形状函数（须满足边界条件）求位移，对于复杂的结构和超静定问题尤为方便。,
