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1、指数函数和对数函数的重点知识指数函数和对数函数的重点知识 重点、难点： 1、指数函数： 定义：函数y=ax重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y=ax，y=logax在a1及0a0且a1)叫指数函数。 x定义域为R，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y=a中的a必须a0且a1。 x因为若a0且a1。 1x1、对三个指数函数y=2，y=，y=102xx的图象的认识。 图象特征 图象都位于x轴上方； 图象都经过点； y=2，y=10在第一象限内的纵坐xx图象特征与函数性质： 函数性质 x取任何实数值时，都有a
2、0； 无论a取任何正数，x=0时，y=1； xxx0，则a1当a1时， x标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，x0，则a0，则a1y=的图象正好相反； 当0a1时， 2xx1y=2，y=10的图象自左到右逐渐当a1时，y=a是增函数， xxx1上升，y=的图象逐渐下降。 2x当0a0时，y=10的图象在y=2的图象的上方，当x22及xx10-20且a1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作b=logaN由于N=a0故logaN中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： bbxx求 分析：对于初学
3、者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log0.3252=x，4再改写为指数式就比较好办。 52解：设log0.32=x 4则0.32x=x524-1288即=2525x=-12521即log0.32=-24x评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因对数恒等式： 由a=Nb此必须因题而异。如求3=5中的x，化为对数式x=log35即成。 (1)b=logaN(2) logaN将代入得a=N 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 3、对数函数： 定义：指数函数y=a(a0且a1)的反函1、对三个对数函
4、数y=log2x，y=log1x， 2计算：()3-log1233解：原式=31-log1221=3log132=2。 对数的性质： 负数和零没有对数； 1的对数是零； 底数的对数等于1。 对数的运算法则： loga(MN)=logaM+logaNlogalogalogaaa(M，NR) M=logM-logN(M，NR) N(N)=nlogN(NR) 1N=logN(NR) n+n+an+ax数y=logaxx(0,+)叫做对数函数。 y=lgx的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 图象都位于 y轴右侧； 图象都过点； +函数性质 定义域：R，值或：R； x=1时，y=0。即log
5、a1=0； y=log2x，y=lgx当x1时，图象当a1时，若x1，则y0，若在x轴上方，当0x0时，图象在x轴下0x1，则y0； 方，y=log1x与上述情况刚好相反； 当0a0，则y0，若20x0； 0a1时，y=logax是增函数； 升，而y=log1x从左向右图象是下降。 2对图象的进一步的认识： 所有对数函数的图象都过点，但是y=log2x与y=lgx在点曲线是交叉的，即当x0时，y=log2x的图象在y=lgx的图象上方；而0xlg15.；log201.0时，在y=lgx的上方，而位于y=log2x的下方，0x1时，刚好相反，则对称性，可知y=log1x的示意图。 3因而通过课本
6、上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式： logbN=logaNlogabLnN=logeN(其中e=2.71828)称为N的自然对数 LgN=log10N称为常数对数由换底公式可得： LnN=lgNlgN=2.303lgN lge0.4343由换底公式推出一些常用的结论： 1或logablogba=1 logbammloganb=logab nnloganb=logab logab= 5、指数方程与对数方程* 定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。 指数方程的题型与解法： 名称 基本型 同底数型 题型 af(x)=b 解法 取以a为底的对数f(x)=logab 取以a为底的对数f(x)=j(x) af(x)=aj(x) 不同底数型 需代换型 af(x)=bj(x) Fax=0 取同底的对数化为f(x)lga=j(x)lgb 换元令t=a转化为t的代数方程 x()对数方程的题型与解法： 名称 基本题 同底数型 需代换型 题型 解法 对数式转化为指数式f(x)=a blogaf(x)=b logaf(x)=logaj(x) F(logax)=0 转化为f(x)=j(x) 换元令t=logax转化为代数方程
