振动物理力学答案.docx

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1、振动物理力学答案第九章 振动 思考题 9.1 什么叫作简谐振动？如某物理量x的变化规律满足x=Acos(pt+q)，A、p、q均为常数，能否说x作简谐振动？ 答：物体在线性回复力或线性回复力矩作用下，围绕平衡位置的往复运动叫作简谐振动。可由动力学方程或运动学方程加上一定的附加条件来定义： d2x2+w若物体相对平衡位置的位移x满足动力学方程 0x=0，且w0由2dt振动系统本身性质决定时，则物体作简谐振动； 若物体相对平衡位置的位移x满足运动学方程 x=Acosw(0t+a)，且w0由振动系统本身性质决定，A、j由初始条件决定的常数时，则物体作简谐振动。以x0和v0x分别表示t=0时物体的初始

2、位移和初始速度，则式中 A=x+cosa=202v0xw20；a可由 x0vv、sina=-0x和tga=-0x三式中的任意两个来决定。 Aw0Aw0x0上述运动学方程是动力学方程的解，A、j是求解时的待定积分常数。三个定义在力学范围内是等价的，动力学方程更具普遍性。可用三个定义中的任何一个来判断物体的运动是否简谐振动。 如某物理量x的变化规律满足x=Acos(pt+q)，A、p、q均为常数，不能说x作简谐振动。因为常数p必须是由振动系统本身性质决定的固有频率，并且A、q是由系统初始条件决定的常数时，才可以说x作简谐振动。 9.2 如果单摆的摆角很大，以致不能认为sinq=q，为什么它的摆动不

3、是简谐振动？ 答：对质量为m 的摆球，当摆角q很大时，sinqq，其切向力ft=-mgsinq-mgq，不是角位移q的线性回复力。由牛顿定律得： d2(lq)m=-mgsinq dt2d2qg+sinq=0 即 2ldtd2qg2+wsinq=0 令w=，有 02ldt20因此，动力学方程是非线性微分方程，其解不再为余弦函数，不满足简谐振动的定义。 9.3 在宇宙飞船中，你如何测量一物体的质量？你手中仅有一已知其劲度系数的弹簧。 答：将被测物与弹簧连接构成一弹簧振子，用手表测出一定时间Dt内的振动次数N，确定振动频率f=2又w0=N，从而确定w0=2pf； Dt2kkk，则可间接测量出物体的质

4、量：m=2=mw04p2f。 9.4 将弹簧振子的弹簧剪掉一半，其振动频率将如何变化？ 答：设弹簧原长l0，质量m不变，竖直放置弹簧振子，平衡时，弹簧伸长Dl，则F=mg=kDl。 由胡克定律 Fn=当弹簧剪掉一半时，l=YSYS。 Dl，对比可得其劲度系数k=l0l01l0，即k=2k。 2设原弹簧振子频率为f1，剪后为f2，则 f2w22kk=:=2=1.41 f1w1mm所以f2=2f1，频率增大为原来的2倍。 9.5 将汽车车厢和下面的弹簧视为一沿竖直方向运动的弹簧振子，当有乘客时，其固有频率会有怎样的变化？ 答：由w0=k可知，当有乘客时，w0=mk。 m+m1所以，当有乘客时，其固

5、有频率会减小。 9.6 一弹簧振子可不考虑弹簧质量。弹簧的劲度系数和滑块的质量都是未知的。现给你一根米尺，又允许你把滑块取下来，还可以把弹簧摘下来，你用什么方法能够知道弹簧振子的固有频率？ 答：用米尺量出振子尺寸，计算体积，由材料密度可计算出振子质量m； 测出弹簧原长l0，竖直放置弹簧振子，挂物后平衡时测出弹簧长度l，计算出弹簧伸长量Dl=l-l0。在平衡位置，mg=kDl，即可确定劲度系数k=计算出固有频率w0=mg； Dlk。 m9.7 两互相垂直的简谐振动的运动学方程为 x=A1cos(w0t+a1)， y=A2cos(w0t+a2)。若质点同时参与上述二振动，且 a2-a1=的轨道怎样

6、运动？ p2，质点将沿什么样x2y2答：合振动的轨道方程为：2+2=1。轨道为以x和y为轴的椭圆。由于A1A2a2-a1=p2，故y方向的振动比x方向的振动超前p，质点沿椭圆顺时针方向运动。 29.8 “受迫振动达到稳态时，其运动学方程可写作x=Acos(wt+j)，其中A和j由初条件决定，w即策动力的频率。”这句话对不对？ 答：不对。A和j并非由初条件决定，而是依赖于振动系统本身的性质、阻尼的大小和驱动力的特性。 9.9 “策动力与固有频率相等，则发生共振。”这句话是否准确？ 答：不准确。共振有位移共振和速度共振之分。常说的位移共振条件为w=w02-2b2，即位移共振频率w一般不等于振动系统

7、的固有频率w0；仅当无阻尼或阻尼无限小时，共振频率无限接近于固有频率，但这时振幅将趋于无限大。而速度共振的条件是w=w0，即策动力的频率等于振动系统的固有频率。 习题 9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。 解：设刚体静止时，OC沿竖直方向，振动系统处于平衡位置。若将刚体偏离平衡位置，使OC与竖直方向夹一小角j，然后将刚体由静止释放，刚体就围绕平衡位置作微小摆动。 以j表示OC的角坐标或相对于平衡位置的角位移，以tz表示重力矩，则 tz=-hmg

8、sinj-hmgj 重力矩tz与角位移j成线性关系，并与角位移符号相反，为线性回复力矩，刚体在线性回复力矩作用下围绕平衡位置的微小摆动是简谐振动。 d2j=-hmgj 由转动定律得：I2dtd2jhmg2+wj=0 令w=，则 02Idt20所以，刚体简谐振动的固有频率w0=hmg。 I9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，弹簧的劲度系数为k1和k2，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率。 解：设物m处于平衡位置时，k1弹簧伸长l1； k2弹簧伸长l2，则k1l1=k2l2。 取平衡位置为坐标原点O，建立OX坐标系。 当物m受扰动向X轴正向位移x时，物m受力： F=F1+F

9、2=-k1(x+l1)+k2(l2-x) 所以， F=-(k1+k2)x=-kx d2x由牛顿定律 F=m2得 dtd2xm2=-(k1+k2)x dt令 w02=k1+k2，则弹簧的振动微分方程可表示为： md2x2+wx=0 02dt所以，固有频率 w0=k1+k2。 m9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k1，若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是 k1的多少倍？ 解：k1弹簧振子的频率：w1=若使k1串k2弹簧振子的频率： k1 mk111k1w2=w1=22m4mk14=k mmk1时，可满足要求。 4故

10、k1串k2后的等效劲度系数为k=取振子m静止时为坐标原点O，建立OX坐标系。 在平衡位置时，k1弹簧伸长l1；k2弹簧伸长l2，且 k1l1=k2l2=mg。 当振子m位移x时，k1弹簧伸长；k2弹簧伸长。 设 x1+x2=x。 则振子m受的弹力可表示为 f=-k2(l2+x2)=-k1(l1+x1)。 k2x2=k1x1 因此，振子m所受合力：F=mg-k2(l2+x2)=-k2x2=-kx 联立得k=k1k2k1+k2取k=k1kkkk，则12=1，解得 k2=1。 34k1+k249.2.4 单摆周期的研究。单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内。单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内

11、。单摆悬挂于以加速度a下降的电梯内。求此三种情况下单摆的周期。摆长为l。 解：以非惯性系车厢为参照系，建立自然坐标系。以摆球为研究对象，摆球受重力rrrrmg、张力T、惯性力f=-ma。在平衡位置O处： rrr mg+T+f=0 水平方向：Tsina-ma=0 竖直方向：Tcosa-mg=0 由此得摆球在平衡位置时摆线与竖直方向夹角a满足 tga=a。 g当摆球偏离平衡位置的角位移为q时，由牛顿定律得 d2q-mgsin(a+q)+macos(a+q)=ml2 dt由于q很小，取sinqq,cosq1，上式整理为 d2q-g(sina+qcosa)+a(cosa-qsina)=l2 dt又Qt

12、ga=ag，gsina=acosa，sina=ag+a22，cosa=gg+a22， 在切向的牛顿定律可表示为： g2+a2d2q+q=0 ldt2令 w02=g2+a2， 则单摆的振动微分方程可表示为： ld2q2+w0q=0。 2dt所以，周期 T=2pw0=2plg+a22。 rr以加速度a上升的电梯为参照系，摆球受重力mg、张力T、向下的惯性力rrf=-ma。在平衡位置O处，摆线在竖直方向，有 rrrmg+T+f=0。 当摆球偏离平衡位置的角位移为q时，由牛顿定律得 d2q-mgsinq+macosq=ml2 dt由于q很小，取sinqq，上式整理为： d2qg+a+q=0 ldt22

13、令 w0=g+a，所以，周期 lT=2pw0=2pl。 g+a同理可求出加速度a下降的电梯内单摆的振动周期为 T=2pl。 g-a139.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为10/s。设想各原子间彼此以弹簧连接。、一摩尔银的质量为108g且包含6.0210个原子。现仅考虑一例原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。 解：设一列原子中的某个原子质量为m，且m=立 OX坐标系，考察该列原子水平方向的振动。 当该原子偏离平衡位置位移为x时，在x方向受力： -2kx 230.108，其平衡位置为O，建236.0210d2x由牛顿定律得 m2=-

14、2kx dtd2x2k2kx=0， 振动频率w02=即m2+ mmdt由题意f=所以k=w01=103/s，而f=2p2p2k m10.108(2pf)2m=2p21026354N/m 2326.02109.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m，物体质量为20g，现将弹簧自平衡位置拉长22cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s，求该振子的运动学方程。 解： w0=k9.8=7.0rads-1 m0.2202v0-22(7.010-2)2=3.010-2m 振幅 A=x+2=(2210)+2w07.0v07.010-2-10)=tg-=-19.47=-0.34r

15、ad 初相 a=tg(-2w0x07.0(2210)-1所以，振动方程为 x=Acos(w0t+a)=3.010-2cos(7t-0.34)SI 9.2.7 质量为1.0103g的物体悬挂在劲度系数为1.0106dyn/cm的弹簧下面。求其振动的周期。在t=0时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm，速度为+15cm/s求运动学方程。 解：T=2pm12p=2p=0.199s k100031.62t=0时x0=+0.5=+5103m； v0=+15/s=+0.15m/s 设振动方程为 x=Acos(w0t+a) t=0时，x0=Acosa，v0=-w0Asina 2式中 w0=k=1000 m2

16、02v0-320.152=6.8910-3m 由振幅公式 A=x+2=(510)+1000w0初相 a=tg-1(-v00.150)=tg-1-=-43.49=-0.242p -3w0x031.62(510)所以 x=0.680cos(31.6t-0.242p)。 9.2.8 (1)一简谐振动的运动规律为x=5cos(8t+p4)，若计时起点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？ 一简谐振动的运动学方程为x=8sin(3t-p)，若计时起点推迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？ 画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t=0时旋转矢

17、量的位置。 解：若计时起点提前0.5s，则提前后的时间t和t的关系为t=t+0.5，即t=t-0.5，代入方程得x=5cos(8t-4+p4)，其初相位为a=-4+p4。 设计时起点提前t0可使其初相位为0，则t=t+t0，t=t-t0，即 x=5cos(8t-8t0+再令-8t0+p4) p4=0，得 t0=p32，即计时起点提前t0=p32秒。 用余弦函数表示简谐振动：x=8sin(3t-p)=8cos(3t+p2) 若计时起点推迟1s，则推迟后的时间t=t-1，t=t+1，代入方程得 x=8cos(3t+3+其初相位为a=3-p3)或x=8cos(3t+3-p) 223pp或a=3+ 2

18、2设计时起点提前t0可使其初相位为0，则t=t+t0，t=t-t0，即 x=8cos(3t-3t0+再令 -3t0+或令 -3t0-p3)或x=8cos(3t-3t0-p) 22，提前t0=p2=0，得 t0=p6p6秒； 3ppp=0，得 t0=-，推迟秒。 2223）x=5cos(8t+p4)，若计时起点提前0.5s，则x=5cos8(t-8t0+p4)，a=-4+p4=-1840； x=8sin(3t-p)=8cos(3t+p3)，若计时起点推迟1s，则x=8cos(3t-3t0-p)，22a=3-p=-980。 9.2.9 画出某种简谐振动的位移时间曲线，其运动规律为x=2cos2p(

19、t+)。 解：x=2cos2p(t+)=2cos(2pt+曲线： 321414p2)，借助参考圆画出该简谐振动的位移时间9.2.10 半径为R的薄圆环静止于刀口O上，令其在自身平面内作微小的摆动。求其振动的周期。求与其振动周期相等的单摆的长度。将圆环去掉余圆弧的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比。 解：视薄圆环为刚体，质量为m，静止时重心C与刀口O连线位于竖直位置，振动系统处于平衡位置。若OC与竖直方向成一小角j，则重力矩使其回到平衡位置，由于2而刀口支于剩3j 惯性，薄圆环作微小摆动。则重力矩 tz=-RmgsinjRmg由平行轴定理，薄圆环对过O点垂直于环面的轴的转动惯量为 I0=mR2+

20、mR2=2mR2 d2j=-Rmgj 由转动定理 I0dt2d2jg+j=0 整理得 dt22R所以，振动频率w0=g2p2R，周期T= =2p2Rw0gl，l为摆长。由题意，TH=TD，得l=2R。 g单摆的振动周期T=2p即单摆的摆长为l=2R时，其振动周期与圆环振动周期相等。 视11圆环质量为m 33112I0/=IC+(m)xc=mR2 331111222I0=IC+(m)co2=(mR2-mxc)+m(R-xc)2=mR2-mRxc 333333由xcxdm33=R 2pdm233mR2(1-) 32p则I0=233mR2(1-)I02R32p根据复摆周期：T=2p =2p=2p1g

21、133(m)g(R-xc)mg(R-R)332pT:T1=1:1 39.2.11 1m长的杆绕过其一端的水平轴作微小的摆动而成为物理摆。另一线度极小的物体与杆的质量相等。固定于杆上离转轴为h的地方。用T0表示未加小物体时杆子的周期，用T表示加上小物体以后的周期。求当h=50cm和h=100cm时的比值T。是否存T0在某一h值，可令T=T0，若有可能，求出h值并解释为什么h取此值时周期不变。 l解：将小物体视为质点m，当其固定在米尺上距轴h处时，系统对轴的转动惯量为I0，则 I0=12ml+mh2 3tz=-mgsinj+mghsinj=-mg+mghj=-kj 12l+h2I0=2p3周期 T

22、=2p lk(+h)g2当l=1m，h=0.5m=l2l2l7l时，T1=2p 212g12l2l3=2p而米尺单独振动时，h=0，周期T0=2p l3gg2所以，T1=T070.93 88l， 9g当h=1m时，T2=2p所以，T28=1.16 T0612l+h22l=2p当T=T0时，即2p3 l3g(+h)g2由此解得，h1=0，h2=2l。 3h=0表示小物体固定在支点上，所以对米尺的振动周期无影响；由T0=2p2l可知，3g2l为米尺的等效摆长，即可把米尺的质量视为集中于32l处的一点。因此，小物体固定在该点时，同样不影3响摆得周期。 9.2.12 天花板下以0.9m长的轻线悬挂一个

23、质量为0.9kg的小球。最初小球静止，后另有一质量为0.1kg的小球沿水平方向以1.0m/s的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的运动学方程。 解：运动过程分为两个阶段：小球m与悬球M完全非弹性碰撞、二者一起作单摆运动。以地面为参照系，以悬球静止时的位置为坐标原点，建立OX坐标系。两球完全非弹性碰撞，沿OX动量守恒，故 mv0=(m+M)v0x v0x=m0.1v0=1.0=0.10m/s m+M0.1+0.9设两小球碰后的运动学方程为 x=Acosw(0t+a)， w0由振动系统本身性质决定： w0=g9.8=3.3rads-1 l0.9A和a由初始条件决定：以悬球碰后在原点刚获得速度

24、时为计时起点，则 t=0时，x0=0，v0x=0.1ms-1 由振幅公式 A=x+202v0xw02=0.12=0.03m 3.32Qt=0时， x0=Acosa=0，v0x=-w0Asina 故 cosa=x0v=0，sina=-0x0。 Aw0A。 a=-p2运动学方程为 x=0.03cos(3.3t-p2)。 9.2.13 求第四章习题4.6.5题中铅块落入框架后的运动学方程。 解：运动过程分为三个阶段：铅块自由下落、铅块与框架完全非弹性碰撞、框架与铅块一起作简谐振动。以地面为参照系，以铅块落入框架后框架底部静止时的位置为坐标原点，竖直向下为正向建立OX坐标系。 铅块m由h高度自由下落与

25、框架作非弹性碰撞，动量守恒。设碰后速度为v0x，则 m2gh=(M+m)v0x 且M=m，则v0x=112gh=29.80.3=1.21ms-1 22设碰后框架与铅块的运动学方程为 x=Acos(w0t+a)，w0由振动系统本身性质决定。由题意，铅块落入前框架静止时有 mg=kl1，则k=mgl1=0.2g=2g=19.6N/m 0.1w0=k19.6=49=7.0rads-1 M+m0.2+0.2A和a由初始条件决定：以框架与铅块获共同速度时为计时起点，则 t=0时，x0=-(l2-l1)m，v0x=1.21ms-1 在平衡位置O处， (m+M)g=kl2 故l2=2mg=0.2m，而l1=

26、0.1m，所以x0=-0.1m。 k振幅 A=1.212x+2=(-0.1)+2=0.2m w072022v0初相 a=tg-1(-v0x1.212p0 )=tg-1-=-120=-w0x037(-0.1)2p)。 3(t-所以，运动学方程为 x=0.2cos79.2.14 第四章习题4.6.5题中的框架若与一个由框架下方沿铅垂方向飞来的小球发生完全弹性碰撞，碰后框架的运动学方程是怎样的？已知小球20g，碰框架前速度为10m/s。 解：运动过程分为两个阶段：小球与框架完全弹性碰撞；框架作上下振动。 以地球为参照系，以框架底部静止时的位置为原点，竖直向下为正向建立OX坐标系，如图所示。 先以小球

27、与框架为研究系统。小球与框架完全弹性碰撞， 动量守恒 m1v0x=m1v1x+m2vx 机械能能守恒 111222m1v0=mv+m2vx x11x222消去v1x，代入m1=0.02kg, m2=0.2kg, v0x=-10ms-1,求出框架碰后速度vx=-20ms-1。 11m2g=kl1，再以框架为研究对象，在弹簧振子平衡位置O点，所以 k=m2gl1=0.2g=2g 0.1设框架的运动学方程为 x=Acos(w0t+a) w0由振动系统本身性质决定，w0=A和a由初始条件决定： k19.6=9.9rads-1 m20.2t=0 时，x0=0，v0=-202020ms-1 1120vv2

28、=0=11=0.184m 由振幅公式 A=x0+w09.9wQt=0时x0=Acosa=0，v0=-w0Asina0 a=p2(.9t+框架的运动学方程为 x=0.184cos9p2)。 9.2.15 质量为m物体自倾角为q的光滑斜面顶点处由静止而滑下，滑行了l远后与一质量为m的物体发生完全非弹性碰撞。m与劲度系数为k的轻弹簧相连。碰撞前m静止于斜面上，如图所示。问两物体碰撞后作何种运动，并解出其运动学方程。已知m=m=5kg， 0k=490N/m ，q=30，l=0.2m。 解：判断两物体碰撞后作何种运动。 运动过程分为三个阶段：m自开始下滑到与m相碰；m与m发生完全非弹性碰撞；m与m一起作

29、简谐振动。 m在光滑斜面滑行了l远后速度为 vx=2glsinq=29.80.20.5=1.4ms-1 m与m发生完全非弹性碰撞，动量守恒，其共同速度为 v0x=m5vx=1.4=0.7ms-1 m+m5+5rr再以m+m为研究对象并视为质点，在平衡位置O处，受重力(m+m)g，支持力N，r弹性力f。此时弹簧压缩Ds。以O为原点沿斜面建立OX坐标系，则 (m+m)gsinq-kDs=0。 位移x时，沿x轴的合力为 (m+m)gsinq-k(Ds+x)=-kx 该合力是线性回复力，因此质点作简谐振动。 求运动学方程。设质点m+m的运动学方程为 x=Acos(w0t+a)。 选择m与m发生完全非弹

30、性碰撞获得共同速度时为计时起点。则t=0时，弹簧压缩x0，故 kx0=mgsinq 在OX坐标系中，x0=-mgsinq59.80.5=-=-0.05m。 k490w0=k490=7rads-1 m+m5+5x+202v0x由此得A=w020.72=(-0.05)+20.1118m 72a=tg-1(-v0x0.7)=tg-1-=-116.60=1.35p w0x07(-0.05)所以，运动学方程为x=0.1118cos(7t+1.35p)。 本题还可以恰当选取计时起点，选弹簧压缩最甚时为计时起点，t=0时，x0=A，cosa=1，故 a=0，只需要求出振幅A即可。 m+m、弹簧、地球系统机械

31、能守恒，选原点O势能零点，与合力相关的势能表示为12kx。 2两物体碰撞后获共同速度时的机械能为 E0=弹簧压缩最甚时的机械能为 E=由机械能守恒定律得 1122(m+m)v0+kx0 x2212kA 2121122kA=(m+m)v0+kx0 x2222(m+m)v0(5+5)0.722xA=+x0=+(-0.05)2=0.1118m k490w0=k=7rads-1 m+m所以，运动学方程为x=0.1118cos7t。 9.3.1 XX年傅科做证明地球自转的实验，摆长69m，下悬重球28kg。设其振幅为5.0，求其周期和振动的总能量，重球最低处势能为零。 解：将傅科摆视为单摆，作简谐振动，

32、振动周期 oT=2pl69=2p=16.67s g9.80单摆作简谐振动，机械能守恒。当摆角q=5.0最大时，v=0， 其重力势能为单摆的总能量 E=mgh=mgl(1-cosq)=289.869(1-cos50)=72.05J 9.3.2 弹簧下面悬挂质量为50g的物体，物体沿竖直方向的运动学方程为x=2sin10t，平衡位置为势能零点。求弹簧的劲度系数，求最大动能，求总能。 解：运动学方程为x=2sin10t=2cos(10t-由此，A=2cm；w0=10rads-1；a=-p2) p22由w0=k2，得 k=mw0=0.05102=5.00Ns-1 mv=dxp=-210sin(10t-

33、) vm=0.2ms-1 dt2112mvm=0.050.22=10-3J 22最大动能Ekm=总能量E=Ekm=10-3J 9.3.3 若单摆的振幅为q0，试证明悬线所受的最大拉力等于mg(3-2cosq0)。 解：单摆在平衡位置时悬线拉力最大。由牛顿定律得 2vmTm-mg=m l设摆球在最低点处的重力势能为0，则最大摆角q0处的机械能为 E1=mgh=mgl(1-cosq0)， 最低点处的机械能为 E2=由单摆机械能守恒定律得 12mvm 212mvm=mgl(1-cosq0) 2联立得 Tm=mg+2mg(1-cosq0)=mg(3-2cosq0) 9.4.1 在电子示波器中，由于互相

34、垂直的电场的作用，使电子在荧光屏上的位移为 x=Acoswt，y=Acos(wt+a)。求出a=0,pp,时的轨迹方程并画图表示。 32解：当a=0时：x=Acoswt，y=Acoswt y=x，轨迹方程为一直线方程。 当a=p3时：x=Acoswt，y=Acos(wt+p3) y=Acos(wt+又 coswt=p3)=A(coswtcosppA3-sinwtsin)=coswt-Asinwt 3322x1,sinwt=1-cos2wt=A2-x2 AAy=x3-22A2-x2 22即轨迹方程为x+y-xy=32A，轨迹为椭圆，可以化为椭圆标准方程： 42x22y2+2+1。 23AA当a=

35、p2时：x=Acoswt，y=Acos(wt+p2)=-Asinwt x2+y2=A2， 轨迹为圆周。 9.6.1 某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的率少几分之几？ 解：弱阻尼振动的运动方程为 1，问振动频率比振动系统的固有频3x=Ae-btcos(wt+a) w=w02-b2 T=2p2p= 22ww0-bb为阻尼系数。 设振幅衰变关系为A=A0e-bt，由题意 即bT=ln3，b=1A0=A0e-bT 3ln3ln3=w02-b2，从而 T2pb=1+所以 2w02 24p(ln3)2w0-ww=1-w0w0=1-=1-1w01w02-b2w-1+120w0w024p2(ln3)22=

36、1-2p(ln3)2+4p1.49%9.6.2 阻尼振动起初振幅A0=3，经过t=10s后振幅变为A1=1，问经过多长时间，振幅将变为A2=0.3？ 解：弱阻尼振动的运动方程为 x=Ae-btcos(wt+a) 振幅衰变规律为 A=A0e-bt -b10=1，即b=由题意 t=10s后，3e1ln3 10设经过t秒后振幅变为A2=0.3，则 3e-bt=0.3 所求 t=ln10b=10ln10=20.96s ln39.7.1某受迫振动与驱动力同位相，求驱动力的频率。 解：设受迫振动的动力学方程为 d2xdx2+2b+w0x=f0coswt 2dtdt稳定状态下的解为x=A0(wt+j)，w为驱动力频率。 当受迫振动与驱动力同相位即j0时，x=A0coswt。 将x=A0(wt+j)代入方程求出w即为驱动力频率。 d2xdx2=-wA0sinwt， =-wA0coswt代入方程，得 即将2dtdt2-w2A0coswt-2bwA0sinwt+w0A0coswt=f0coswt 等式两侧对比系数，即 2(w0-w2)A0=f0 2bwA0=0 所以当w0时，受迫振动与驱动力同相位，此时振幅为 A0=f0f0 222w0-ww0