换元积分法与分部积分法.docx

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1、换元积分法与分部积分法数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 8.2 换元积分法与分部积分法 教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法 基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法 教学建议： (1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题 (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法 教学过程： 一、第一类换元法 凑微分法： 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分，如果凑上一个常数因子2，使成为 11cos2xdx=cosx2xdx=cos2xd(2x)22

2、cos2xdx令2x=u则上述右端积分 111cos2xd2x=cosudu=sinu+C()222 然后再代回原来的积分变量x，就求得原不定积分 1cos2xdx=sin2x+C2 更一般的，若函数并且复合运算F(x)是函数f(x)的一个原函数，m=j(x)是可微函数， Fj(x)有意义，根据复合函数求导法则 Fjx=Fj(x)j(x)=fj(x)j(x)() 及不定积分的定义，有 fj(x)j(x)dx=Fj(x)+C 由于 从f(u)du=F(u)+C1 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 而 j(x)j(x)dx=(f(u)du)fu=j(x)综上所述，可得如下结论

3、 定理8.4： 设f(u)是连续函数，F(u)是f(u)的一个原函数。又若u=j(x)fj(x)有意义，则 连续可微，并且复合运算u=j(x)j(x)j(x)dx=(f(u)du)f=Fj(x)+C第一换元积分公式说明如果一个不定积分g(x)dx的被积表达式g(x)dx能够写成fj(x)j(x)dx的形式，可通过变量代换u=j(x)把被积表达式等同于f(u)du，若不定积分 f(u)du=F(u)+C u=j(x)代入，便求出原不定积分 容易求得，那么再将F(u)j(x)+C g(x)dx=F由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式g(x)dx变为 fj(x)j(x)dx=fj(x)dj(

4、x)的形式。也就是把被积函数g(x)分解成两个因子的乘积，其中一个因子与dx凑成某一函数的微分变形后被积表达式j(x)的微分，而另一因子是j(x)fj(x)，且经过这样的函数fj(x)dj(x)变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如。 凑微分法1： f(ax+b)dx=dx=1d(ax+b)a1311f(ax+b)d(ax+b)=f(u)du. aa例、利用(a,bR,a0)，求下列积分 (1)33x+4dx=(3x+4)1d(3x+4)3，令u=3x+4有 3441113

5、31333x+4dx=udu=u+C=u+C3344 再将u=3x+4代入，有 2 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 23413x+4dx=(3x+4)3+C4 (2)dxa-x2=dxxa1-2a=xdax1-2a1(a0)令u=xa，有 再将x=dxa-x22=du1-u2=arcsinu+Cxa代入， 有dxa2-x2=arcsinx+Ca xddxdx1a=(3)22=xxa+xa2(1+2)a1+2aa 令u=xa dx1du1=arctanu+C222a+xa1+ua 再将u=xa代入，有 dx1=arctanx+C22a a+x 如果运算比较熟练，为了简化解

6、题步骤，变量代换就可以了。 凑微分法2、 xk-1f(xk)dx= f(x2)xdx=例、利用 xmdx=1d(axm+1+b)a(m+1)u=j(x)可以不写出来，只需默记在头脑中11f(xk)d(xk)=f(u)du . 特别地, 有 kk11f(x)f(x2)d(x2)=f(u)du 和 dx=2f22x(x)dx. (a,b,mR,a0,m-1)， 求下列积分 3 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 (1)(5x2+7)xdx=(5x2+7)1d(5x2+7)=52 2211112222(5x+7)d(5x+7)=102(5x+7)+C20(5X+7)+C10 11

7、111(2)2exdx=ex(-1)d=-ex+Cxx (3)(4)dxdxdx=2=21+xx(1+x)1+xdxx2()2=2arctanx+C1+x2(x0)解： xdx21+x2=-11d=-x1+x2x1111+2xd1=x1-2121d=2-222x111-11+d1+1+2xxx 12122111=-21+C=-1+C2xx f(x)=例、若被积函数j(x),j(x)f(x)dx=利用j(x)dj(x)dx=j(x)j(x)，有如下公式j(x)dj(x)f(x)dx=dx=lnj(x)+Cj(x)j(x)求下列积分 dxdlnx=lnlnx+Cxlnxlnx sinxdcosxd

8、x=-=-lncosx+C(2)tanxdx=cosxcosx cosxdsinxdx=lnsinx+C(3)cotxdx=sinxsinx 以上例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分(1)的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。 例、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分 4 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 (1)dx111=+dx=22a-x2aa-xa+x d(x-a)11d(x+a)x+a-=ln+C2ax+ax-a2ax-adxx2(2)(1+e)=1+ex-ex(1+e)x2d(1+ex

9、)dxdx=-=1+ex(1+ex)2d(1+ex)1+ex-ex11dx+=dx-+=xxx1+ex1+e1+e1+e 1x-ln(1+ex)+C21+e sin2x1113dx=1-dx=dx-dx()22211+sinxsinx1+1+sinxsin2x cotxdcotx12x+=x+1cotx2+cot2x2cotx1+x+arctan+C222 d凑微分法3： f(sinx)cosxdx=f(sinx)dsinx=f(u)du; f(cosx)sinxdx=-f(cosx)dcosx=-f(u)du; f(tgx)sec2xdx=f(tgx)dtgx=f(u)du. 例、对于nsi

10、nxdx与ncosxdx(nN)1(1-cos2x)2 来降低三角函数的幂，当n是奇数时，变正弦函数的积分为余弦函数的积分。 sin2x=形式的积分，当n是偶数时，可利用三角恒等式 1cos2x=(1+cos2x)2 1121sinxdx=1-cos2xdx=1-2cos2x+cos2x)dx()()(42 4211dx-2cos2xdx+1+cos4xdx=()42 1x1x-sin2x+sin4x+C428 131x-sin2x+sin4x+C428 5 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 (2)cos3xdx=(1-sin2x)cosxdx= 132cosxdx-si

11、nxdsinx=sinx-sinx+C3 例、 对于sinaxsinbxdx,cosaxsinbxdx和cosaxcosbxdx形式的积分，可利用三角函数的积化和差公式 (1)cosxcos2xdx=12cos(1+2)x+cos(1-2x)dx =1()()2sin1+2xsin1- 1+2+2x1-2+C (2)cos2xsin3xdx=12sin(2+3)x-sin(3-2)xdx 12(sin5xdx-sinxdx)=115cosx-5cos5x+C 例、根据 sinx=2sinx2cosx2=2tanxx2cos22 tanx2=1-cosxsinx=cscx-cotx (1)csc

12、xdx=1dx=2tanxx1xxdtan2=2cos22tan2 lntanx2+C=lncscx-cotx+C d(x+p2)secxdx=2=lncscx+p-cotx+psinp22+Cx+2lnsecx+tanx+C例、 arcsinxx(1-x)dx=2arcsinxarcsin1-xdx=2x(d1-x)2x 2arcsinxdarcsinx=(arcsinx)2+C凑微分法4： f(ex)exdx=f(ex)dex=f(u)du. 6 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 例9、 dt. 2-e-tdx=f(lnx)dlnx=f(u)du. x凑微分法5 ：

13、f(lnx)例10、 dx. x(1+2lnx)f(arcsinx)1-x2凑微分法6： dx=f(arcsinx)darcsinx=f(u)du; f(arctgx)dx=f(arctgx)darctgx=f(u)du. 21+x例11、 arctgxt=xarctgxarctgtdx=2dx=2dt= 21+x1+tx(1+x) =2arctgtdarctgt=(arctgt)2+c=(arctgx)2+c. 其他凑法举例: ex-e-xd(ex+e-x)x-xdx=ln(e+e)+c. 例12、 x-xx-xe+ee+e例13、 lnx+1d(xlnx)dx=(xlnx)2=L (xln

14、x)2secx(secx+tgx)sec2x+secxtgxdx=dx= 例14 secxdx=secx+tgxsecx+tgx =例15、 5例16、 d(secx+tgx)=ln|secx+tgx|+c. secx+tgxdx. cosx+sinxsinx-cosxcosx+5sinxdx. sinx+cosx11dx-1+2x2+1x=L xdx=dx=例17、 4121x+12x+2x-+2xx例18、 x-5dx. x2+2x+2 以上例子大都采用了初等数学中的运算技巧将被积函数进行适当的变7 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 形，然后再进行变量带换。因此在作积

15、分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。 习题：P188189 1(24)； 二、第二类换元法 从积分cos2tdt 出发，从两个方向用凑微法计算，即 2x=sint 1-xdx=1-sin2tdsint = cos2tdt = 在式中，如果111(1+cos2t)dt=t+sin2t+c, 224j(x)连续可微且j(x)定号，式(2.1)中左端的不定积分j(x)j(x)dx=F(x)+C f容易求得，并且x=j-1(u)是u=j(x)的反函数，则式右端的不定积分-1f(u)du=Fj(x)+C。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。 第二换元积分法可以确切的叙述如下。 定

16、理8.5:设f(x)是连续函数，j(x)是连续可微函数，且j(x)定号，fj(t)fj(t)j(t)F(t)复合运算有意义。设是的一个原函数，即 j(t)j(t)dt=F(t)+C ff(x)dx=(fj(t)j(t)dt) t=j-1(x)则 其中=-1Fj(x)+Cj-1(x)是j(t)的反函数证明：有定理假设。 定号，故函数j(x)j(t)存在反函数j-1(u)，又 dF(t)=fj(t)j(t)dt dF(t)dtd-1Fj(x)=dxdtdxt=j-1(x)于是1=j(t)j(t)jtf()t=j-1(x)f(j(t)=t=j-1(x)=f(x)可见-1Fj(x)是式左端不定积分的被

17、积函数的一个原函数，所以式成立。 第二换元积分法指出，求式左端不定积分，作变量代换f(x)=fj(t),dx=j(t)dt，于是 x=j(t)，从而 8 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 j(t)j(t)dt f(x)dx=f若上式右端的不定积fj(t)j(t)dt=F(t)+C 分 容易求出，那么再代回原来的变量t=j-1(x)，便求出原不定积分 -1f(x)dx=Fj(x)+C由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换积分容易求出。那么如何选择变换x=j(t)，从而使式的不定x=j(t)呢？这往往与被积函数的形式有关。例如，若被积来去掉根式，从而使被积函

18、数得到简化，不定积函数中有根式，一般选择适当的变换分容易求出。 x=j(t)常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等. 以下我们着重介绍三角代换和无理代换. 1、三角代换 正弦代换：正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令x=asint, (a0), 则 x a2-x2=acost, dx=acostdt, t=arcsin. aa2-x2(a0)的根式施 例19、计算a2-x2dx(a0) px,则t=arcsin,-axa2a，且 解：令x=asint,-p2ta2-x2=acost=acost,dx=aco

19、stdt,从而 2a2a2-x2dxacost.acostdt=acostdt=2=2(1+cos2t)dt a21a2a2t+sin2t+C=t+sintcost+C222 =2 由图2.1知 xsint=a a2-x2cost=a 9 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 所以a2xa2xa2-x2dx2arcsina+2a=a2-x2+Ca= a2xx2arcsin+a-x2+C2a2 正割代换：正割代换简称为“割换”. 是针对型如 x2-a2 (a0)的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式sec2t-1=tg2t, 令x=asect, 有x2-a2

20、=atgt, dx=xsecttgtdt. 变量还愿时, 常用辅助三角形法. 例20、计算dxx-a22(a0) 解“令0tx=asect,当0tp2或p2tp时，x=asect存在反函数t=arcsinxa。这里仅讨论pp2的情况，同法可讨论20ttp的情况。 p由于p2220t0)的根式施行 的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式sec2t-tg2t=1,即1+tg2t=sec2t, x 令 x=atgt, dx=asec2tdt. 此时有 a2+x2=asect, t=arctg. 变量还原时, 常用所a谓辅助三角形法. 10 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学

21、院 例21、计算dxa2+x2x2-a2=asect=asect,解：令x=atant,-pp2t0xx4+x2=2x2x4+x2=2uu2+u= -1 1t2dt2111=-12dt111+t=-(1+t)2+c=-1+12x2+1x2+c=-|x|+c. tt2+t5、万能代换 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参1P261). 令t=tgx2， 2tgx 就有 sinx=2sinxx22cos2=2tsec2x1+t2， 2 cosx=1-t21+t2, tgx=2t1-t2 ， dx=2dt1+t2, x=2arctgt. 13 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院

22、 例29、 dx1+cosx. t=tgx2解法一： ( 用万能代换 ) I=21+t21-t2dt=x1+dt=t+c=tg2+c. 1+t2解法二： ( 用初等化简 ) I=12dx=cos2xsec2x2d(xx2)=tg2+c. 2解法三： ( 用初等化简, 并凑微 ) I=1-cosx1-cos2xdx=csc2xdx-dsinxsin2x= =-ctgx+1sinx+c=cscx-ctgx+c=tgx2+c. 例30、 dq1+sinq+cosq. t=tgx解： I=2121+2t1-t21+t2dt=dtt+1=ln|t+1|+c= 1+t2+1+t2 =ln|tgx2+1|+

23、c. 代换法是一种很灵活的方法. 习题：1P189 1(25)(27)(28)(30) 三、分部积分法 设u(x)与v(x)均为x的连续可微函数。于是，由函数乘积的求导公式，有 u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x) 或 u(x)v(x)=u(x)v(x)-u(x)v(x) 再由不定积分的定义及线性性质，有 u(x)v(x)dx=u(x)v(x)-u(x)v(x)dx= u(x)v(x)dx-u(x)v(x)dx=u(x)v(x)-u(x)v(x)dx即 u(x)v(x)dx=u(x)v(x)-u(x)v(x)dx 14 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 或

24、 u(x)dv(x)=u(x)v(x)-v(x)du(x) 公式或公式称为不定积分的分部积分公式。一般地说，利用分部积分公式求不定积分就是追求被积函数形式的转变，把比较难求甚至无法求出的不定积分容易求的不定积分u(x)v(x)dxu(x)v(x)dx转变成，起到化繁为简的作用。 作分部积分运算，通常要把被积函数f(x)分解为两个因子的对于给定的不定积分f(x)dx乘积，这会有多种选择，对两个因子中哪一个选作u(x)也会有多种选择。选择不同，效果不一样的。例如，在积分xsinxdx中，若选择u(x)=sinx，v(x)=x，则 x2x2x2=sinx-cosxdxxsinxdx=sinxd222

25、 并没有达到简化积分计算的目的。若选择u(x)=x，v(x)=sinx，则 xsinxdx=xd(-cosx)=x(-cosx)-(-cosx)dx=-xcosx+cosxdx=-xcosx+sinx+C由此可见，u(x)与积分技巧。 v(x)的选择对于初学者来讲，只有认真总结规律，才能熟练地运用分部nx一般来说，在使用分部积分法求不定积分时，若被积函数是幂函数与指数函数或三角函nnu(x)=x数的乘积时，应选择；若被积函数是幂函数x与对数函数或反三角函数的乘积时，应nv(x)=x选择。 1、 幂 X 型函数的积分 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简

26、化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一 因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂X” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“X”求导以使其成为代数函数. 例31、计算下列不定积分 2x2x2xxxedx=xde=xe-e2xdx=x2ex-2xdx=x2ex-2(xex-exdx)=x2e(x-2x+2)+C 15 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 2xsinxdx=x111(1-cos2x)dx=xdx-xcos2xdx=222 12111111x-xdsin2x=x2-xsin2x+sin2xdx=4242

27、224 12x1x-sin2x-cos2x+C48 4 lnx111dx=lnxd-=-lnx+dlnx=x2xxx 1dx1-lnx+2=-(lnx+1)+Cxx x arcsinxdx=xarcsinx-xdarcsinx=1d(1-x)xarcsinx-xdx=xarcsinx+=2221-x1-x 121122xarcsinx+2(1-x)+C=xarcsinx+1-x2+C2 23(1+6x)arctanxdx=arctanxd(x+2x)=3x+2x3(x+2x)arctanx-1+x2dx=x2x-(x+2x)arctanx-1+x3dx=2 (x+2x)arctanx-x321

28、+ln(1+x2)+C2 2、建立所求积分的方程求积分 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来. 例32、 exsinxdx. 16 数学分析教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 例33、 求I1=eaxcosbxdx 和I2=eaxsinbxdx, ( a0 ). I=1eaxcosbx+bI2,I1=bsinbx+acosbxax解： 12e+c,aa 解得a+b2I2=1b asinbx-bcosbx axaeaxsinbx-aI1.I

29、2=a2+b2e+c.例34、 a2+x2dx, ( a0 ). 解： I=xa2+x2-xxa2+x2dx= 2 =xa2+x2-a2+x2a2+x2dx+aa2+x2dx= =xa2+x2-I+a2ln(x+a2+x2)+c1, 解得 I=x2a2+x2+a22ln(x+a2+x2)+c. 例35、 cos2xdx=cosxdsinx=cosxsinx+sin2xdx= =cosxsinx+x-cos2xdx， 解得 cos2xdx=x12+4sin2x+c. 例36、 sec3xdx=secxsec2xdx=secxdtgx=secxtgx-tgxsecxtgxdx =secxtgx-(sec2x-1)secxdx=secxtgx-sec3xdx+secxdx= =secxtgx+ln|secx+tgx|-sec3xdx, 解得 sec3xdx=12secxtgx+12ln|secx+tgx|+c. 分部积分法也常用来产生循环现象，然后经过代数运算求出不定积分。 例37、计算下列不定积分 x2+a2dx。 设I=x2+a2dx，则 I=