控制理论作业二答案.docx

《控制理论作业二答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《控制理论作业二答案.docx（36页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、控制理论作业二答案第三章 3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 GB=36 。 2s+9s+36试求单位阶跃响应的tr , tm ,% , ts的数值？ 解：题意分析这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出wn参数，而后把wn代入性能指标公式中求出tr，tm，d%，ts和N的数值。 wn=36=6(弧度/秒) z=92wn2=0.75=0.6621-zwd=wn1-zq=tg-1=3.97 上升时间 tr tr= 峰值时间tm tm=p-q3.14-0.72=0.61秒 wd3.97p3.14=0.79秒 wd3.9744=0.

2、89秒(2%) 0.7563=0.70秒(5%) 0.756 过度过程时间ts ts=zwn3= ts= 超调量 zwn-=zp1-z2 d%=e 100%=e-0.75p0.66100%=2.8% 3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为 GK(s)=1s(s+1)试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。 解：题意分析这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(z,wn)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。 根据题目给出条件可知闭环传递函数为 GB(s)=Y(s)1 =2X(s)s+s+12wn2与二阶系统传递函数

3、标准形式2相比较可得w=1,2zwn=1，即n2s+2zwns+wnwn=1,z=0.5。由此可知，系统为欠阻尼状态。 故，单位阶跃响应的性能指标为 tm=pwn1-z-pz1-z22=3.63秒d%=ets(2%)=ts(5%)=100%=16.4%=4=8秒0.513=6秒0.514zwn3zwn3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量d%=25%，峰值时间tm=0.5秒，试确定K和的值。 X(s) Y(s) ks(s+1)ts+1 图1 解：题意分析这是一道由性能指标反求参数的题目，关键是找出：K,与z,wn的关系；d%,tm与z,wn的关系；通过z,wn把d%,tm与

4、K,联系起来。 由系统结构图可得闭环传递函数为 GB(s)=Y(s)KK=2 X(s)s(s+1)+K(ts+1)s+(1+Kt)s+K与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得 2 wn=K;2zwn=1+Kt或t=2zwn-12wn由题目给定： d%=e-pz-pz1-z2100%=25% 即 e两边取自然对数可得 -pz1-z2=0.25 1-z2=ln0.25=-1.3863 z=1.3863p+1.386322=0.4 依据给定的峰值时间： tm=pwn1-zp0.51-z22=0.5 所以 wn=故可得 =6.85 2 K=wn=46.9547 0.1 3-4 已知系统的结构图如图2所

5、示，若x(t)=21(t) 时，试求： (1) 当=0时，系统的tr , tm , ts的值。 (2) 当0时，若使=20%，应为多大。 0.5X(s) Y(s) 100 s(s+2) ts 图2 解：题意分析这是一道二阶系统综合练习题。(1)练习输入信号不是单位阶跃信号时，求性能指标。关键是求出 wn,z,q。(2)的求法与例433相似。 (1) 由结构图可知闭环传递函数为 GB(s)=Y(s)50=2 X(s)s+2s+50可得 wn=50=7.07(弧度/秒) z=由于X(s)=22wn=0.14;q=tg-11-z2z=81.95=1.43弧度 2 输出的拉氏变换为 s2w2n Y(s

6、)=2 s+2zwn+w2n则拉氏反变换为 e-zwnty(t)=21-sin(wdt+q)21-z=21-1.01e-0.995sin(7t+81.95)-z1-z2d%=e tr=100%=e2-0.440.99100%=64%p-qwn1-zpwn1-z32=3.14-1.43=0.24秒7.070.99tm=ts=ts=3.14=0.45秒7.070.99zwn4=3=2.78秒(5%)0.147.074=3.71秒(2%)0.147.07zwn(2) 当0时，闭环传递函数 GB(s)=Y(s)50 =2X(s)s+(2+0.5t)s+50wn=50=7.07(弧度/秒) 2wnz=2

7、+0.5t-得t=zp22(zwn-1)0.5由 d%=e-1-z100%=20% zp1-z2e=0.2 两边取自然对数 -zp1-z2=ln0.2=-1.61， 可得 z=1.611.61+p22=0.46 故 t= ts=2(0.467.07-1)=8.73 o.53zwn=3=0.92秒(2%) 0.467.073-5 (1) 什么叫时间响应 答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。 (2) 时间响应由哪几部份组成？各部份的定义是什么？ 答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应是系统受到外加作用后，系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或

8、者动态响应或称过渡过程。稳态响应是系统受到外加作用后，时间趋于无穷大时，系统的输出状态或称稳态。 (3) 系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能？ 答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应反映系统的稳定性，相对稳定性及响应的快速性；稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。 (4) 时域瞬态响应性能指标有哪些？它们反映系统哪些方面的性能？ 答：延迟时间td；上升时间tr；峰值时间tm；调节时间ts；最大超调量d%.td,tr,tm,ts反映系统的快速性，即灵敏度，d%反映系统的相对稳定性。 3-6设系统的特征方程式为 s+6s+12s+11s+6=0 试判别系统的稳定性。 解

9、：特征方程符号相同，又不缺项，故满足稳定的必要条件。列劳斯表判别。 432s41s36 s2121136060(同乘6) (同乘61)s1s06145536由于第一列各数均为正数，故系统稳定。也可将特征方程式因式分解为 (s+2)(s+3)(s+s+1)=0 2根s1=-2, 13s2=-3,s3,4=-j均有负实部，系统稳定。 223-7设系统的特征方程式为 s+2s+s+2=0 解：列劳斯表 32s3s2 1ss01212e2将特征方程式因式分解为 (s2+1)(s+2)=0 根为 s1,2=j1,s3=-2 系统等幅振荡，所以系统临界稳定。 3-8 单位反馈系统的开环传递函数为 Gk(s

10、)=Ks(0.1s+1)(0.25s+1)试求k的稳定范围。 解：系统的闭环特征方程： 列劳斯表 s(0.1s+1)(0.25s+1)+K=00.025s+0.35s+s+K=032s3s2s1s00.0250.350.35-0.02KKK1K系统稳定的充分必要条件 K0 0.35-0.025K0 得 K14 所以保证系统稳定，K的取值范围为0K0和6-K0，因此，K的取值范围为0K6，并且系统临界稳定放大系数为Kl=6。 3-14 已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下。 G(s)=10s(0.1s+1)(0.5s+1)G(s)=10(s+a)s2(s+1)(s+5)(a=0.5)试求：1静

11、态位置误差系数Kp、静态速度误差系数Kv和静态加速度误差系数Ka； 22求当输入信号为r(t)=1(t)+4t+t时的系统的稳态误差。 解：首先判断系统的稳定性。 (s)=系统的闭环传递函数为 G(s)200=31+G(s)s+12s2+20s+20032其闭环特征方程为s+12s+20s+200=0。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为型，Kp=limG(s)=lim可以求得静态误差为：s010=s0s(0.1s+1)(0.5s+1)Kv=limsG(s)=limss0s010=10s(0.1s+1)(0.5s+1)Ka=lims2G(s)=lims2s0s010=0s(0.1s+1)(0.5

12、s+1)所以给定输入信号的稳态误差计算如下： ess=142+=1+KpKvKa(2) 判断系统稳定性。 (s)=系统的闭环传递函数为 G(s)10(s+0.5)=41+G(s)s+6s3+5s2+10s+5432其闭环特征方程为s+6s+5s+10s+5=0。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为Kp=limG(s)=lim型，可以求得静态误差为：s010(s+0.5)=s0s2(s+1)(s+5)Kv=limsG(s)=limss0s010(s+0.5)=s2(s+1)(s+5) 10(s+0.5)=12s(s+1)(s+5) Ka=lims2G(s)=lims2s0s0所以给定输入信号的稳态

13、误差计算如下： ess=142+=21+KpKvKa 注意：该例中若取a=2，则由劳斯判据可知系统是不稳定的。因此不能定义静态误差系数，也谈不上求稳态误差。 第四章 4-1单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)=K(s+1)s(s+2)(s+3)试绘制闭环系统的概略根轨迹。 解：按下述步骤绘制概略根轨迹 系统开环有限零点为z1=-1，开环有限极点为p1=0,p2=-2,p3=-3。 实轴上的根轨迹区间为-3,-2,-1,0。 根轨迹的渐近线条数为n-m=2，渐近线的倾角为j1=90,j2=-90，渐近线与实轴的交点为sa=P-zii=1i=1nmin-m=-2 确定分离点。分离点方程为闭环系统

14、概略根轨迹如下图1 1111+=，用试探法求得d=-2.47。 dd+2d+3d+1图1 4-2设某负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)=K(s+1)，试绘制该系统的根轨迹2s(0.1s+2)图。 解：渐近线与实轴的交点sa=-10+1=-4.5 2渐近线与实轴正方向的夹角为p2。 ds2(s+10)s(2s2+13s+20)分离点与汇合点：由=0 =dss+1(s+1)2得2s+13s+20=0 所以，s1,2=-2.5或-4。根轨迹如下图2 2图2 4-3以知系统开环传递函数G(s)H(s)=K试绘制闭环系统的根轨迹。 s(s+4)(s2+4s+20)解：系统无开环有限零点，开环极点

15、有四个，分别为0，-4，-2j4 实轴上的根轨迹区间为-4,0。 渐近线有四条sa=-2,ja=45,135,225,315。 o根轨迹的起始角。复数开环极点p3,4=-2j4处qp3=-90,qp4=90 确定根轨迹的分离点。由分离点方程1111+=0 dd+4d+2+j4d+2-j4解得d1=2,d2,3=-2j6时，K=100，d1，d2，d皆为根轨迹的分离点。 系统闭环特征方程为D(s)=s4+8s3+36s2+80s+K=0 列写劳斯表，可以求出当K=260时，劳斯表出现全零行，辅助方程为A(s)=26s2+260=0。解得根轨迹与虚轴的交点w=10。如下图3 图3 4-4单位反馈控

16、制系统的开环传递函数为G(s)=K(1-s)，k的变换范围为0，试绘s(s+2)制系统根轨迹。 解：分析知道，应绘制零度根轨迹。按照零度根轨迹的基本法则确定根轨迹的参数：系统开环有限零点为1，开环有限极点为0，-2。 实轴上的根轨迹区间为-2,0,1,+。 渐近线有一条ja=0 确定根轨迹的分离点，由分离点的方程 dK(s2+2s)-K(s-1)(2s+2)G(s)=0，解得d1=2.732,d2=-0.732 22dss(s+2) 确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为D(S)=s+2s+Ks-K=0。当k=-2时，闭环特征方程的根为s1,2=j2。如下图4： 2图4 1(s+a)4-5

17、以知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=42，a的变化范围为0,+，试s(s+1)绘制系统的闭环根轨迹。 解：系统闭环特征方程为D(S)=s+s+3211s+a=0 44即有1s3+s2+s41a4+1=0。等效开环传递函数为G1(s)=K1s3+s2+s4，K=1a，变化范4围为0,+。 等效系统无开环有限零点，开环极点为p1=0,p2=p3=- 实轴上的根轨迹区间为(-,0 根轨迹有三条渐近线sa=-,ja=60,180,-120 1 213o1-K(3s2+2s+)d4=0，解得d=-1,d=-1。 根轨迹的分离点方程G(s)=121426ds2s(s+)2 确定根轨迹与虚轴的交点。由

18、劳斯表，可以求出当a=1时，劳斯表出现全零行，辅助方程为A(s)=s+211=0。解得s1,2=j。如下图5 42图5 4-6. 设单位反馈控制系统开环传递函数G(s)=迹图。 解G(s)=K，试概略绘出系统根轨s(0.2s+1)(0.5s+1)K10K= s(0.2s+1)(0.5s+1)s(s+5)(s+2)系统有三个开环极点：p1=0,p2=-2,p3=-5 实轴上的根轨迹： (-,-5, -2,0 0-2-57s=-a33 渐近线： j=(2k+1)p=p,pa33 分离点： 111+=0 dd+5d+2解之得：d1=-0.88，d2-3.7863(舍去)。 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)=s+7s+10s+10k=0 32ReD(jw)=-7w2+10k=0令 3ImD(jw)=-w+10w=0w=10 解得 k=7与虚轴的交点。 根轨迹如图6所示。 图6 4-7设系统开环传递函数 G(s)=20(s+4)(s+b)试作出b从0变化时的根轨迹。 解：做等效开环传递函数 G(s)=*b(s+4) 2s+4s+20 实轴上的根轨迹：(-,-4 分离点：111+= d+2+j4d+2-j4d+4图7 根轨迹图 解得：d1=-0.472(舍去)，d2=8.472 如图解414所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。