控制系统的数学模型及传递函数.docx

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1、控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 2-1 拉普拉斯变换的数学方法 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作： 称L拉氏变换符号；s-复变量； F(s)为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当时，M，a为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数

2、F变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：查拉氏变换表；部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 1单位阶跃函数 2单位脉冲函数 3单位斜坡函数 4指数函数 5正弦函数sinwt 由欧拉公式： 所以， 6余弦函数coswt 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表 F(s) 1 f(t) 1(t) t 三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(

3、t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。 2、位移定理(1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 有, 其中，当tA(s),可化为多项式+真分式的形式。 下面分两种情况，研究分式展开法。 1、F(s)无重极点的情况 此时，F(s)总能展开成下面的部分分式之和： 其中，分子为待定系数。 例：求F(s)的拉氏变换 解一： 解二： 所以 例2 若p1,p2 为共轭复数，相应的系数k1 ，k2也是共轭复数，故只需求出一个即可。 2、F(s)有重极点的情况 设F(s)有r 个重极点p1,其余极点均不相同，则 例：求的拉氏反变换 所以： 2-2 系

4、统的数学模型 1、数学模型的概念 我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型称建模，只有得到较为准确的数学建模，才能设计出性能良好的控制系统。 动态特性 控制系统所采用的元件种类繁多，虽然各自服从的规律，但它们有一共同点：即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮存物质或能量的能力，贮存量的多少用状态变量来表示。状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大，因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成

5、，而要经过一段时间。这样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。例如，电路中电容上的电压是一个状态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量，转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温度T0变到T，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一定的时间。 建立控制系统数学模型的方法有 1）分析法对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律 列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。 建立系统数学模型的几个步骤： 建立物理模型。 列写原始方程。利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔

6、霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等） 选定系统的输入量、输出量及状态变量，消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。 2）实验法是根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。这种用实验数据建立数学模型的方法也称为系统辩识。 数学模型的逼近 1、线性系统和非线性系统 1) 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统； 例：，其中,a,b,c,d均为常数。 如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统； 线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：系统在几个外力作用下所产生的响应等于各个外加作用单独

7、作用时的响应之和。 可加性： 齐次性： 或 2) 非线性系统 用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。 例：就是非线性系统。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。 即在实际系统中，变量之间不同程度地包含有非线性关系，如：间隙、饱合、死区、干磨擦特性等。 非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，可进行如下外理： 线性化 忽略非线性因素 用非线性系统的分析方法来处理。 3）线性系统和非线性系统的判别 设某系统的微分方程如下： 若方程的系数ai,bj都既不是xo(t)和xi(t)及它们的导数的函数，又不是时间的函数，则此方程是线性定常的，此系统为线性定常系统。

8、若ai,bj是时间的函数，则该方程是线性时变的，此系统称为线性时变系统。 若ai,bj中只要有一个系数依赖于xo(t)和xi(t)或它们的导数，或者在微分方程中出现t r 其它函数形式，该方程为非线性的。 例： 线定常 非线性 判断下列微分方程表达的系统是线性系统还是非线性系统？ a: (线定常) b: (非线性) c: 式中：u:输入信号 y:输出信号 ai(t)：时变系统 3、本课程涉及的数学模型形式 时间域：微分方程直线运动 式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件的数量。 2）转动系

9、统 3、电网络系统 电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。 1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于0。 2）尔霍夫电压定律 电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。 电网络系统中三人基本原件是：电阻、电感、电容 电阻： 电容： 电感： 例： 小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础； 通常情况下，元件或系统微分

10、方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。 三、传递函数 微分方程建立后，就可对其求解，得出输出量的运动规律，从而对系统进行分析与研究。但微分方程求解繁琐，且从其本身很难分析系统的动态特性，但若对微分方程进行拉氏变换，即得到代数方程，使求解简化，又便于分析研究系统的动态特性，更直观地表示出系统中各变量间的相互关系。 传递函数就是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。 1、传递函数的基本定义： 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏

11、变换与输入量的拉氏变换之比。 零初始条件： t0时，输入量及其各阶导数均为0； 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0； 传递函数的一般形式： 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 式中，n式： m，当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形此式表示了输入到输出之间信息的传递关系，称G(s)为系统的传递函数。 传递函数的主要特点有： a: 传递函数是复变量s的有理真分式函数，mn，且所具有复变量函数的所有性质。 b: G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式无关。 C: G(s)虽然描述了输出与输入之间的关

12、系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。 d: 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定，可有可无。 e: 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。 f: 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该 传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数； 传递函数是在零初始条件下定义

13、的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。 2、传递函数的零点和极点 pi称为G(s)的极点，zi称为G(s)的零点。 3、典型环节的传递函数 环节： 具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。 任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成，控制系统中常用的典型环节有： 比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振

14、荡环节和延迟环节等。 1、比例环节： 输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。 其运动方程为：xo(t)=Kxi(t) 拉氏变换为：Xo(s)=KXi(s) xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量； K比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量与输入量之比。 比例环节的传递函数为： 例:求图示一齿轮传动副的传递函数, 分别为输入轴及输出轴转速,Z1和Z2为齿轮齿数,(当齿轮副无传动间隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状态). 因为： 其拉换变换： 2、惯性环节 此环节与比例环节相比，不能立即复现输出，而需要一定的时间。说此环节具有“惯性”，这是因为其中含有储能元件K与阻能

15、元件C的原因。惯性大小由T来决定。 3、微分环节 这是因为当输入量为阶跃函数时，输出在理论上将是一个幅值为无穷大而时间宽度为0的脉冲。这实际上是不可能的。因此微分环节必须与其它环节同时存在。 例：图示为一电网络系统： 4、积分环节 例：图示为一电网络系统，其中i为输入，u为输出，则 5、振荡环节 是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，其运动方程为： 6、延迟环节： 其输出滞后输入时间，但不失真地反映输入，延迟环节一般与其它环节共存，不单独存在。 延迟环节与惯性环节的区别： 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才

16、接近所要求的输出值； 延迟环节从输入开始之初，在0 时间内,没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。 例：图示带钢轧制过程 四、方框图及动态系统的构成 1、方框图 系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。 注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。 1）方框图的结构要素 信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。 信号引出点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 函数方框 方框代表一个环节，箭头代表输入输出。 函数方框具有运算功能，即： X2(s)=G(s)X1(s) 求和点 信号之间代数加减运算的图解。用符号“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。 及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。