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1、4-1 根轨迹法的基本概念,4-2 绘制根轨迹的基本法则,4-3 广义根轨迹法,第四章 线性系统的根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念,一、根轨迹的概念根轨迹是开环系统的某一参数从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在S平面上变化的轨迹。,令K*（由0到）变动，s1、s2在s平面的移动轨迹即为根轨迹。,因此利用根轨迹，可以分析系统稳定性、稳态性能和动态性能。（1）稳定性：根轨迹都在S左半平面，闭环系统稳定。（2）稳态性能：（3）动态性能：01，一对共轭复根，欠阻尼系统；,二、根轨迹方程,相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足 称为180根轨迹。,相角条件：,模值条件：,4-2 绘制
2、根轨迹的基本法则,一、基本法则,1、根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。起点：终点：,2、根轨迹的分支数及对称性和连续性（1）根轨迹分支数特征根个数。（2）由于闭环特征根是实根或共轭复根，故根轨迹对称于实轴。（3）由于K*连续变化，故根轨迹具有连续性。,3、根轨迹的渐近线：n-m条根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处，渐近线与实轴交点和夹角为：,4、实轴上的根轨迹,实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总和为奇数，该区域为根轨迹。,5、根轨迹的会合点和分离点：,若干根轨迹在复平面上相遇后又分开的点称为
3、分离点或会合点。,分离点坐标d的求解：,证明：,若无开环零点，则：,注意：一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。,2、实轴上根轨迹为-3,-2，-1，0,解：1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3，根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。,4、求分离点：,在离开p1附近的根轨迹上取一点s1,则s1点应满足相角条件：,当 时，即为离开根轨迹
4、上 的起始角，则：,根轨迹的终止角是根轨迹进入开环复数零点处切线与正实轴的夹角：,例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹，并求系统有超调响应时K*的取值范围。,2、渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2。,解：1、一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。,3、初始角：,4、求分离点：,说明：由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为2。,分离点处，,系统有超调响应时的K*取值范围,。,7、根轨迹和虚轴的交点：,（1）利用劳思判据（2）将s=j代入D(S)=0,例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为，试绘制闭环系统
5、的根轨迹。,解：（1）实轴上根轨迹为(-,-3，-2，0,（3）根轨迹与虚轴交点用劳思判据，闭环特征方程为：,（4）求分离点：,8、根之和,当 时，,4-3 广义根轨迹法,一、参数根轨迹,以非开环增益K*为可变参数的根轨迹，称为参数根轨迹。,闭环特征方程：,引入等效开环传递函数的概念,注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。,例题：求Tm从0 时的根轨迹,原系统的闭环特征方程为 Tms2+s+K=0整理可得等效开环传函,或由 s2+s/Tm+K/Tm=0得新的特征方程为 s2+(s+K)/Tm=0,则新的等效开环传函为,在一些复杂系统中，包
6、含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，相角条件满足2k，称为零度根轨迹。,二、零度根轨迹,幅值条件,相角条件,与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。,法则3：渐近线与实轴交点不变，夹角为：,法则4：实轴上根轨迹。实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总和为偶数，该区域为根轨迹。,零度根轨迹与180根轨迹的区别体现在：1.实轴上的根轨迹；2.渐近线与实轴的夹角；3.起始角与终止角。,解：（1）系统的开环零极点分布为z1=-2，p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-3，有三
7、条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-，-3，-2，）。,（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角,（3）确定出射角,（4）确定分离点,（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为,1、附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为,z1是附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当z1时，表明不存在有限零点。,三、附加开环零点的作用,令z1为不同的数值，对应的根轨迹如图所示：,2、附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。,结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。,
