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1、数值分析课程第五课后习题答案 第一章 绪论 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： *=385.6，x4=71.0。 x1=1.1021，x2=0.031，x3=56.430，x5*=385.6有4=1.1021有5位有效数字；x2=0.0031有2位有效数字；x3解x1*=71.0有2位有效数字。 =56.430有5位有效数字；x5位有效数字；x4*,x2,x3,x44、利用公式求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给的数。 *+x2+x4x1； f*e*(x1+x2+x4)=e(x)=e(x)+e(x)+e(x)k124x
2、k=1k解； 111=10-4+10-3+10-3=1.0510-3222n*x3； x1*x2*f*e*(x1x2x3)=k=1xkn*e(x)=(xx)e(x)+(xx)e(x)+(xx)e(x)k231132123*解=(0.031385.6)110-4+(1.1021385.6)110-3+(1.10210.031)110-3； 222=0.5976810-3+212.4848810-3+0.0170825510-3=213.0996425510-3=0.21309964255*/x4x2。 f*e*(x2/x4)=k=1xkn*x21*e(x)=e(x)+e(x)k24*2x4(x4
3、)*解=110.031156.4611-3-3。 10-3+10=102256.430222(56.430)(56.430)56.4611-3-5=100.8865410(56.430)221783(n=1,2,L)计算到Y100，若取1006、设Y0=28，按递推公式Yn=Yn-1-78327.982试问计算Y100将有多大误差？ 解令Yn表示Yn的近似值，e*(Yn)=Yn-Yn，则e*(Y0)=0，并且由 11783可知， 27.982，Yn=Yn-1-1001001Yn-Yn=Yn-1-Yn-1-(27.982-783)，即 10012从e*(Yn)=e*(Yn-1)-(27.982-
4、783)=e*(Yn-2)-(27.982-783)=L，100100Yn=Yn-1-而e*(Y100)=e*(Y0)-(27.982-783)=783-27.982， 而783-27.9821 18、当N充分大时，怎样求解因为N+1NN+1N1110-3，所以e*(Y100)=10-3。 221dx？ 1+x21dx=arctan(N+1)-arctanN，当N充分大时为两个相近数相21+x减，设a=arctan(N+1)，b=arctanN，则N+1=tana，N=tanb，从而 tan(a-b)=tana-tanb(N+1)-N1=2， 1+tanatanb1+N(N+1)N+N+1因此
5、N+1N11。 dx=a-b=arctan221+xN+N+111、序列yn满足递推关系yn=10yn-1-1(n=1,2,L)，若y0=21.41，计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ y=2解设yn为yn的近似值，e*(yn)=yn-yn，则由0与 yn=10yn-1-1y0=1.411*可知，e(y)=10-2，yn-yn=10(yn-1-yn-1)，即 02yn=10yn-1-1e*(yn)=10e*(yn-1)=10ne*(y0)， 11从而e*(y10)=1010e*(y0)=101010-2=108，因此计算过程不稳定。 2212、计算f=(2-1)6，取21.4，利用
6、下列公式计算，哪一个得到的结果最好？1(2+1)6，(3-22)3，1(3+22)3，99-702。 解因为e*(f)=11， 10-1，所以对于f1=62(2+1)611-1-410=6.541010-2，有一位有效数字； 722(1.4+1)e*(f1)=f1e*(1.4)=对于f2=(3-22)3， 11e*(f2)=f2e*(1.4)=6(3-21.4)210-1=0.1210-110-1，没有有效数22字； 对于f3=1(3+22)3， 611-1-310=2.651010-2，有一位有效数422(3+21.4)e*(f3)=f3e*(1.4)=字； 11对于f4=99-702，e*
7、(f4)=f4e*(1.4)=7010-1=3510-10 n+mmf(x)在(0,)内单调递减 n+mm当x(,1)时,f(x)0 n+mmf(x)在(,1)内单调递减。 n+m当x(0,x(m,1)f(x)0 f(x)=10(x+1)9e-x+(x+1)10(-e-x)=(x+1)9e-x(9-x)0f(x)在0,1内单调递减。 f=maxf(x)=0x1=maxf(0),f(1)210=ef=f(x)dx10101=(x+1)10e-xdx=-(x+1)10e-x=5-f10e120-2x010+10(x+1)9e-xdx012=(x+1)edx1234=7(-2)4e6.对f(x),g
8、(x)Ca,b，定义 1(1)(f,g)=f(x)g(x)dxab(2)(f,g)=f(x)g(x)dx+f(a)g(a)ab问它们是否构成内积。 解： (1)令f(x)C 则f(x)=0 而(f,f)=baf(x)f(x)dx 这与当且仅当f0时，(f,f)=0矛盾 不能构成C1a,b上的内积。 (2)若(f,g)=f(x)g(x)dx+f(a)g(a)，则 ab(g,f)=g(x)f(x)dx+g(a)f(a)=(f,g),aKab(af,g)=af(x)g(x)dx+af(a)g(a)ab=af(x)g(x)dx+f(a)g(a)ab=a(f,g)hC1a,b,则 (f+g,h)=f(x
9、)+g(x)h(x)dx+f(a)g(a)h(a)ab=f(x)h(x)dx+f(a)h(a)+f(x)h(x)dx+g(a)h(a) aabb=(f,h)+(h,g)(f,f)=f(x)2dx+f2(a)0 ab若(f,f)=0，则 baf(x)2dx=0,且f2(a)=0 f(x)0,f(a)=0 f(x)0 即当且仅当f=0时，(f,f)=0. 故可以构成Ca,b上的内积。 8。对权函数r(x)=1-x，区间-1,1，试求首项系数为1的正交多项式jn(x),n=0,1,2,3. 解： 若r(x)=1-x，则区间-1,1上内积为 221(f,g)=f(x)g(x)r(x)dx -11定义j
10、0(x)=1，则 jn+1(x)=(x-an)jn(x)-bnjn-1(x) 其中 an=(xjn(x),jn(x)/(jn(x),jn(x)bn=(jn(x),jn(x)/(jn-1(x),jn-1(x)a0=(x,1)/(1,1)=1-11x(1+x2)dx(1+x2)dx-1=0j1(x)=xa1=(x2,x)/(x,x)=1-11x3(1+x2)dxx2(1+x2)dx-1=0b1=(x,x)/(1,1)=1-11x2(1+x2)dx(1+x2)dx-1162=15=853j2(x)=x2-25a2=(x3-x,x2-)/(x2-,x2-)222555122322(x-x)(x-)(1
11、+x)dx-155=12222(x-)(x-)(1+x2)dx-155=022b2=(x2-,x2-)/(x,x)55122222(x-)(x-)(1+x)dx-155=122x(1+x)dx-12513617=525=1670152179j3(x)=x3-x2-x=x3-x57014x14。求f(x)=e0,1在0,1上的最佳一次逼近多项式。 解： f(x)=ex,x0,1f(x)=ex,f(x)=ex0f(b)-f(a)=e-1b-aex2=e-1x2=ln(e-1)a1=f(x2)=ex2=e-1f(a)+f(x2)f(b)-f(a)a+x2-2b-a21+(e-1)ln(e-1)=-(
12、e-1)221=ln(e-1)2a0=于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为 e1+(e-1)x-ln(e-1)221=(e-1)x+e-(e-1)ln(e-1)2P1(x)=15。求f(x)=x+3x-1在区间0,1上的三次最佳一致逼近多项式。 解： 43f(x)=x4+3x3-1,x0,1 1211且x=t+ 22令t=2(x-)，则t-1,1 1111f(t)=(t+)4+3(t+)3-1222214=(t+10t3+24t222t-9)16令g(t)=16f(t)，则g(t)=t+10t+24t+22t-9 *若g(t)为区间-1,1上的最佳三次逼近多项式P3(t)应满足 432maxg
13、(t)-P3*(t)=min -1t1当g(t)-P3(t)=*114T(t)=(8t-8t2+1) 3428*时，多项式g(t)-P3(t)与零偏差最小，故 *3(t)=g(t)-1T4(t)2373=10t3+25t2+22t-8进而，f(x)的三次最佳一致逼近多项式为为 1*P3(t)，则f(x)的三次最佳一致逼近多项式1617310(2x-1)3+25(2x-1)2+22(2x-1)-16851129=5x3-x2+x-44128P3*(t)=15。f(x)=sin解： p2x，在-1,1上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。 f(x)=sinp2x,x-1,1 按勒让德多项式
14、P0(x),P1(x),P2(x),P3(x)展开 -1(f(x),P0(x)=sinxdx=cosx=0-12p211p2p(f(x),P1(x)=xsin-11p2xdx=8131(f(x),P2(x)=(x2-)sinxdx=0-1222153p48(p2-10)3(f(x),P3(x)=(x-x)sinxdx=-1222p4p2p则 *a0=(f(x),P0(x)/2=0*a1=3(f(x),P1(x)/2=12p2168(p2-10)*a2=5(f(x),P2(x)/2=0a=7(f(x),P3(x)/2=*3p4从而f(x)的三次最佳平方逼近多项式为 *S3(x)=a0P0(x)+
15、a1P1(x)+a2P2(x)+a3P3(x)168(p2-10)533=2x+(x-x)pp422420(p2-10)3120(21-2p2)=x+4412pp1.5531913x-0.5622285x318。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 时间t 浓度0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64 y(10-4) 用最小二乘法求y=f(t)。 解： 观察所给数据的特点，采用方程 y=ae,(a,b0) 两边同时取对数，则 -btblny=lna- t取F=span1,-,S=lny,x=- 则S=a+bx *1t1tj02=11,j12=0.062321,(j0,j1)=-0.603975,(j0,f)=-87.674095,(j1,f)=5.032489,则法方程组为 2211-0.603975a*-87.674095b*=5.032489 -0.6039750.062321从而解得 a*=-7.5587812 *b=7.4961692
