数列公式汇总.docx

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1、数列公式汇总人教版数学必修五 第二章 数列 重难点解析 第二章 课文目录 21 数列的概念与简单表示法 22 等差数列 23 等差数列的前n项和 24 等比数列 25 等比数列前n项和 1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。 2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。 3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。 4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。 5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。 6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一

2、个通项公式。 2、理解递推公式与通项公式的关系。 3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。 一、数列的概念与简单表示法 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的

3、项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，第n 项，. 数列的一般形式： a1,a2,a3,L,an,L，或简记为an，其中an是数列的第n项 数列的通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列； 一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是1+(-1)n+1n+1an=p|. ，也可以是an=|cos22数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中

4、所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项 5.数列与函数的关系： *数列可以看成以正整数集N为定义域的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 1 反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)， 6数列的分类： 1）根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列 2）根据数列项的大小分： 递

5、增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 7数列的表示方法 通项公式法 如果数列an的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 如数列 的通项公式为 的通项公式为 ； ； 的通项公式为 ； 图象法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右

6、侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 递推公式法 如果已知数列an的第1项，且任一项an与它的前一项an-1间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：a1=3,a2=5,an=an-1+an-2(3n8) 4、列表法 简记为 典型例题： 例1：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) 426810, , , , , ； 315356399 (

7、3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ； (5) 2, 6, 12, 20, 30, 42,. 2 2n1+(-1)n 解：(1) an2n1； (2) an； (3) an； (2n-1)(2n+1)2(4) 将数列变形为10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , an ； (5) 将数列变形为12, 23, 34, 45, 56,， an a1=1例2：设数列an满足写出这个数列的前五项。 1a=1+(n1).nan-1解： 二、等差数列 1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项

8、的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。 公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； 对于数列an,若anan-1=d (与n无关的数或字母)，n2，nN+，则此数列是等差数列，d 为公差。 2等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得： a2-a1=d即：a2=a1+d a3-a2=d即：a3=a2+d=a1+2d a4-a3=d即：a4=a3+d=a1+3d 由此归纳等差数列的通项公式可得：an=a1+(n-1)d 已知一数列为等差数列，则只要知

9、其首项a1和公差d，便可求得其通项an。 由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d 即：a1=am-(m-1)d 则：an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d 即等差数列的第二通项公式 an=am+(n-m)d d=3有几种方法可以计算公差d am-anm-na-aman-a1 d=n n-mn-14结论：在等差数列中，若m+n=p+q，则，am+an=ap+aq d=anan-1 d=即 m+n=p+q am+an=ap+aq (m, n, p, q N ) 但通常 由am+an=ap+aq 推不出m+n=p+q ，am+an=am+n 典型例题： 例

10、1：求等差数列8，5，2的第20项 3 -401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？ 解： 例3：求等差数列3，7，11，的第4项与第10项. 例5：100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 例6：20是不是等差数列0，312，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 例8：在等差数列an中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9 . 三、等差数列的前n项和 1等差数列的前n项和公式1：San)n=n(a1+2 证明： Sn=a1+a2+a3+L+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+L+a2+a1 +：2S

11、n=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+L+(an+an) a1+an=a2+an-1=a3+an-2=LL 2Sa1+an)n=n(a1+an) 由此得：Sn=n(2 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前n项和公式2：S(n-1)dn=na1+n2 用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an 但an=a1+(n-1)d 代入公式1即得： Sn(n-1)dn=na1+2 此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d 对等差数列的前n项和公式2：Sn(n-1)dn=na1+2可化成式子： Sdn=2n2+(ad1-2)n，当d0，是一个常数

12、项为零的二次式 4 3 由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n2时，an=Sn-Sn-1， 即a1(n=1)n=SSS2). n-n-1(n4 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 利用an: 当an0，d0，前n项和有最大值可由an0，且an+10，求得n的值 当an0，前n项和有最小值可由an0，且an+10，求得n的值 利用Sn： 由Sd2n2+(adn=1-2)n利用二次函数配方法求得最值时n的值 典型例题： 例2：等差数列10，6，2，2，前9项的和多少？ 解： 例3：等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项 解 例6：已知等差数列an中

13、，S3=21，S6=64，求数列|an|的前n项和Tn 例7： 在等差数列an中，已知a6a9a12a1534，求前20项之和 例8：已知等差数列an的公差是正数，且a3a7=12，a4a6=4，求它的前20项的和S20的值 例9：等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若 Sn2na100T=3n+1，则b等于 n100A1B23C199 299D2003015 a100S2n与n=发生联系，可用等差数列的前n项b100Tn3n+1n(a1+an)和公式Sn=把前n项和的值与项的值进行联系2分析 该题是将例10： 解答下列各题： (1)已知：等差数列an中a23，a617，求a9； (

14、2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数； (3)已知：等差数列an中，a4a6a15a1750，求S20； (4)已知：等差数列an中，an=333n，求Sn的最大值 四、等比数列 1等比数列： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示，即：1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) an成等比数列an=q an-1an+1+=q an2 隐含：任一项an0且q0 “an0”是数列an成等比数列的必要非充分条件 3 q= 1

15、时，an为常数。 n-12.等比数列的通项公式1: an=a1q(a1q0) 由等比数列的定义，有： a2=a1q； a3=a2q=(a1q)q=a1q2； a4=a3q=(a1q2)q=a1q3； an=an-1q=a1qn-1(a1q0) m-13.等比数列的通项公式2: an=amq(a1q0) 4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 5等比数列与指数函数的关系： 6 n-1等比数列an的通项公式an=a1q(a1q0),它的图象是分布在曲线y=a1xq上q的一些孤立的点。 当a10，q 1时，等比数列an是递增数列； 当a10，0q0，0q1时，等比数列an是递减数列； 当a11时，

16、等比数列an是递减数列； 当q1, a10或0q1, a11, a10,或0q0时, an是递减数列;当q=1时, an是常数列;当q0,a2a4+2a3a5+a4a6=25, 求a3+a5 解： 例9：在等比数列bn中，b4=3，求该数列前七项之积 解： 例10：在等比数列an中，a2=-2，a5=54，求a8， 解： 五、等比数列的前n项和 1、 等比数列的前n项和公式： an 当q1时，S1(1-q)a-anqn=1-q 或S1n=1-q 当q=1时，Sn=na1 当已知a1, q, n 时用公式；当已知a1, q, an时，用公式. 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列a1,a2+a

17、3,LanL它的前n项和是 8 Sn=a1+a2+a3+Lan 由Sn=a1+a2+a3+Lanan-1 n=a1q得Sq+a2n-2n-1n=a1+a11q+La1q+a1qqS+a23n-1nn=a1q1q+a1q+La1q+a1q(1-q)Sn=a1-a1qn 当q1时，Sa1(1-qn)a-anqn=1-q 或Sn=11-q 当q=1时，Sn=na1 公式的推导方法二： 有等比数列的定义，a2a=a3=L=an=q 1a2an-1根据等比的性质，有a2+a3+L+ana+L+a=Sn-a1=q 1+a2n-1Sn-an即 Sn-a1Sa=q(1-q)Sn=a1-anq n-n围绕基本概

18、念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式 公式的推导方法三： Sn=a1+a2+a3+Lana1+q(a1+a2+a3+Lan-1) a1+qSn-1a1+q(Sn-an) (1-q)Sn=a1-anq 2、重要结论 an成等比数列，公比为q 111-1a也为等比数列，且公比为1， Sa1qn1-qnn=nq1-1=an-11q(1-q)qa2也成等比数列，且公比为q2 nan成等比，且an0，则lga1,lga2,lga3成等差 注an成等比lgan成等差 an成等差aan成等比 典型例题： 例1：求和： . 解： 9 定 义 等 差 数 列 一般地,如果一个数列从第2项起，每一项

19、与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫公差 *an+1-an=a2-a1 等 比 数 列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比 递 推 关 系 *an+1-an=d an+1a2= ana1an+1=q anan+1a=n anan-1an+1-an=an-an-1 *通 an=a1+(n-1)d 项 公 式 求 an=pn+q *2Sn=n(a1+an) *n-1*an=a1q nan=pq *和 Sn=na1+公 式 n(n-1)d (nN*) 2na1,q=1* Sn=a1(1-qn)

20、(nN) 1-q,q12*Sn=An+Bn(A,B是常数,nN) na1,q=1*nNSn= (，A0) nA-Aq,q1若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则 若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则 ap+aq=as+ar. apaq=asar. an主 对任意c0,c1,c 要 性 为等比数列. 对任意c0,c1, 若an恒大于0，则logcan为等差数列. 2*an+1an-1=an,nN,n2. *an+1+an-1=2an,nN,n2. 若an、bn分别为两等差数列，则 an+bn为等差数列. 若bn为正项等差自然数列，则abn为等差数列. 若an、bn为两等比数列，则anbn为等比数列. 若bn为正项等差自然数列，则abn为等比数列. Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,L为等比数列. 质 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,L为等差数列. 10