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1、数列知识点总结一、基本概念 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数 数列的项、数列的项数表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式 通项公式：不是所有的数列都有通项公式符号控制器：如nn+1、递推公式：表示任一项与它的前一项间的关系的公式有穷数列：项数有限的数列无穷数列：项数无限的数列递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列 数列分类递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列常数列：各项相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列二、等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列的公差 an-an-1=d,
2、n2且nZ，或an+1-an=d,n1且nZ an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d=kn+ba-a1an-am1、若等差数列an的首项是a1，公差是d，则有d=n =n-1n-man-a1n=+1d等差中项：三个数a，G，b组成的等差数列，则称G为a与b的等差中项2G=a+b 2n=p+q2an=ap+aq若a是等差数列，则n 性质： m+n=p+qam+an=ap+aqL构成公差公差kd的等差数列若an是等差数列，则am、am+k、am+2k、am+3k、若a、b是等差数列,则la+m、lan+mbn是等差数列nnn2、等差数列的前n项和的公式： Sn=等差数列的前n项和的性质： n
3、(a1+an)n(n-1)=na1+d=pn2+qn 22S偶-S奇=nd*若项数为2nnN，则S=na+a，()an()S奇2nnn+1=S偶an+1 S奇-S偶=an若项数为2n-1(nN*)，则S=2n-1a，S=naS=n-1a，()()n2n-1nn偶nS奇奇=S偶n-1第 1 页 Sm，S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列 S n是等差数列n 若等差数列an,bn的前n项和为Sn,Tn,则anS2n-1 =bnT2n-1 等差数列的求和最值问题： ak0a10若，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足 d0a0k+1ak0a10a0k+1三、等比数列：从第2项起，每一项与它
4、的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等比数列的公比 1、通项公式及其性质 an=a1qn-1=amqn-m若等比数列an的首项是a1，公比是q，则n-1ann-man q=a,q=a1ma，G，b成等比数列，则称G为a与b的等比中项G2=ab22n=p+qan=apaq性质：若 an是等比数列，则m+n=p+qaman=apaqL成公比qk的等比数列am、am+k、am+2k、am+3k、2、前n项和及其性质 na1(q=1),(q=1) Sn=a1(1-qn)a-aqa-aqna1na1n1n11=-q+=-Aq+A,(q1)1-q1-q1-q1-q1-qSn+m=Sn+qnSmSn、S
5、2n-Sn、S3n-S2n成等比数列 性质S偶若项数为2n，则S=q奇Sm，S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列(n=1)S1; 四、(1)an与Sn的关系：an=S-Sn2)n-1(nn(n+1)1+2+3+L+n=2n(n+1)(n+2)2222(2)1+2+3+L+n= 6333n2(n+1)231+2+3+L+n=4第 2 页 五、一些方法 1、等差数列、等比数列的最大项、最小项；前n项和的最大值、最小值 2、求通向公式的常见方法 观察法；待定系数法； an-an-1=f(n),累加消元;ana=f(n),累乘消元。 n-1ana=a:1-1n-1,(倒数构造等差=-k)； n+ka
6、nan-1an-an-1=anan-1,(两边同除构造等差:1a-1a=1)； nn-1an=kan-1+b,化为(an+x)=k(an-1+x)构造等比 an=qan-1+pn+rann=qan-1+pn，化为apn=qan-1ppn-1+1，分qp是否等1讨论。 3、求前n项和的常见方法 公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和 第 3 页 数列知识点巩固练习 一、选择题 1、一个三角形的三个内角A、B、C成等差数列，那么tan(A+C)的值是 A3 B-3 C-33 D不确定 2、等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于( ) A -4 B -6 C -8
7、D -10 3、等比数列an的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比 A2 B1 C2或1 D2或1 4、等差数列an中，已知前15项的和S15=90，则a8等于 A452 B12 C454 D6 5、等比数列an中,an0,a5a6=9,则log3a1+log3a2+log3a3+log3a10=( ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 6、等比数列an 的前n项和为Sn ， 若S4=1，S8=4，则a13+a14+a15+a16= A7 B16 C27 D64 7、数列a1n+n+1，则该数列的前项之和等于9n的通项公式an=A 98 B 99 C 96 D 97 8、
8、在等比数列an中,a5a7=6,a2+a10=5,则a18a等于( ) 10A.-23或-323232 B.3 C. 2 D. 3或2 9、等差数列aSn2nn,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若T=,则an= n3n+1bnA2 B 2n-1 2n+12n-1 33n-1 C 3n+1 D 3n+4 10、已知数列a+1n的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+L+(-1)n(4n-3), 则S15+S22-S31的值是 A. -76 B. 76 C. 46 D. 13 二、填空题 1、数列-1,815245,-7,9,的一个通项公式是 第 4 页 2、数列1+12,2+14,3+1
9、8,n+12n,的前n项和是 3、在数列an中，a1=1，且对于任意自然数n，都有an+1=an+n，则a100 4、已知a11=3，a3n-n+1=3n+2an (n1)， an=_ 5、已知数列的Sn2+n+1，则aa8+9+a10+a11+a12=_n= 6、等差数列an中，|a3|=|a9|,公差d0,那么使前n项和Sn最大的n值为_ 三、解答题 1、已知数列an的前n项和Sn=3+2n，求an 2、已知数列a1n满足a1=2, anan+1=2an-an+1,求数列an的通项公式。 3、数列an中，a1=8，a4=2，且满足an+2-2an+1+an=0 求数列an的通项公式； 设Sn=|a1|+|a2|+L+|an|，求Sn。 第 5 页 4、已知an是等差数列，其前n项和为Sn，已知a3=11,S9=153, 求数列an的通项公式 设an=log2bn，证明bn是等比数列，并求其前n项和Tn 5、已知数列an是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12. 求数列ann的通项公式； 令bn=an(nN*)，求数列bn的前n项和的公式. 第 6 页
