数字信号处理习题集.docx

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1、数字信号处理习题集第一章 数字信号处理概述 简答题： 1 在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3一个

2、模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理 理论，对信号进行等效的数字处理。 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期，把从x(t)到y(t)的整个系统等效为一个模拟滤波器。 如果h(n)截止于p8rad,1T=10k

3、Hz，求整个系统的截止频率。 对于1T=20kHz，重复的计算。 x(t)采样x(n)h(n)y(n)D/A理想低通wc=pTy(t)jw解 因为当wp8rad时H(e)=0，在数 模变换中 Y(ejw)=1Xa(jW)=1Xa(jw) TTT所以h(n)得截止频率wc=p8对应于模拟信号的角频率Wc为 WcT=p8因此 fc=Wc1=625Hz 2p16T 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为，因此对故整个系统的截止频率由H(ejw)决定，是625Hz。 pTp8T没有影响， 采用同样的方法求得1T=20kHz，整个系统的截止频率为 fc=1=1250Hz 16T二、离散时间信号与系统频域分

4、析 计算题： jwX(e)，试求下列序列的傅里叶变换。 x(n)1设序列的傅氏变换为x(2n) x*(n) 解：x(2n) 由序列傅氏变换公式 DTFTx(n)=X(e可以得到 DTFTx(2n)=jw)=x(n)en=-jwnn=-x(2n)e-jnw=n为偶数x(n)e-jwn2-jwn1n=x(n)+(-1)x(n)e2n=-2-jnw-j(+p)n112=x(n)e+x(n)e22n=-2n=-jj(+p)112=X(e)+X(e2)22wwjj1=X(e2)+X(-e2)2wwwx*(n) 解：DTFTx*(n)=n=-x*(n)e-jnw=x(n)ejnw*=X*(e-jw) n=

5、-2计算下列各信号的傅里叶变换。 1nun+22u-n 4 n1nnd4-2n 2 解：X(w)=n=-2u-nenn-jwn=n=-20ne-jwn =(1ejw)=n=02111-ejw21n1n-jwn-jwnX(w)=un+2e=e 44n=-n=-21m-2jw(m-2)ej2w=16 =e 14-jwm=01-e4X(w)=(w)=Xn=-xne-jwn=n=-d4-2ne-jwn=e-j2w 1n-jwn11e=+-1 112n=-1-e-jw1-ejw22利用频率微分特性，可得 )dX(w)X(w)=-jdw1111=-ejw+e-jw112(1-ejw)22(1-e-jw)2

6、22jwX(e)，求下列各序列的傅里叶变换。 x(n)3序列的傅里叶变换为*x (-n) Rex(n) (3) nx(n) 解： x(-n)e*n=-jwn=n=-x(-n)e-jw(-n)*=X*(ejw) Rex(n)en=-jwn=n=-2x(n)+x1*1(n)e-jwn=X(ejw)+X*(e-jw) 2 nx(n)en=-jwn1dx(n)e-jwnddX(ejw)-jwn=-=jx(n)e=j jdwdwn=-dwn=-jwX(e)，求下列各序列的傅里叶变换。 x(n)4序列的傅里叶变换为*2x(n)xjImx(n) (3) (n) 解：x(n)e*n=-jwn=n=-x(n)e

7、-j(-w)(-n)*=x(n)e-j(-w)n*=X*(e-jw) n=-11*-jwn-jwn*-jwnx(n)-x(-n)e=x(n)e-x(n)e22n=-n=-n=-1jw=X(e)-x(n)e-j(-w)n2n=-=1X(ejw)-X*(e-jw)2*n=-x(n)e2-jwn1=n=-2pp-pX(e)dqjq-j(w-q)nx(n)en=-1pjqj(w-q)=X(e)X(e)dq2p-p1=X(ejq)*X(ejw)2pjwjwX(e)X(e)表示下x(n)5令和表示一个序列及其傅立叶变换，利用面各序列的傅立叶变换。 g(n)=x(2n) x(n2)n为偶数g(n)= 0n为

8、奇数解：G(e)=jwn=-g(n)e-jnw=n=-x(2n)e-jnw=k=-k为偶数x(k)ek-jw2-jw1k=x(k)+(-1)x(k)e2k=-2k-jk-jk11jp2=x(k)e+x(k)(e)e22k=-2k=-j-jk(-p)112 =X(e)+x(k)e222k=-wwjj(-p)11=X(e2)+Xe222wwjj122=X(e)+X(-e)2wwwwG(e)=jwn=-g(n)e-jnw=r=-g(2r)e-j2rw=r=-x(r)e-jr2w=X(ej2w) jwX(e)，求下列序列的傅立叶变换。 x(n)6设序列傅立叶变换为x(n-n0) n0为任意实整数 g(

9、n)=x(2n) 解：X(ejw)e-jwn 0x(n2)n为偶数 n为奇数0 x(n2) n为偶数 g(n)= X(ej2w) 0 n为奇数 x(2n)X(e 7计算下列各信号的傅立叶变换。 1nu(n+3)-u(n-2)2 18pn)+sin(2n)cos(7 jw2) cos(pn3)1n4x(n)= 0其它-jkn1X(k)=nu(n+3)-u(n-2)eN n=-22p1n-jNkn1n-jNkn =e -en=-32n=222p2p =8ej32pkN-j2pkN11-e2-14e-j22pkN-j2pkN11-e22p15-j5Nk2p1-ej3k2 =8eN 2p1-jk1-e

10、N2假定cos(18pn7)和sin(2n)的变换分别为X1(k)和X2(k)，则 X1(k)=pk=-d(N2pk-182p18p-2kp)+d(k-p-2kp) 7N7X2(k)=p2p2pd(k-2-2kp)+d(k+2-2kp) Njk=-N所以 X(k)=X1(k)+X2(k) =p182p182pp2pd(k-p-2kp)+d(k-p-2kp)-jd(k-2-2kp)+jd(k+2-2kp)N7N7NNk=-X(k)=n=-4cos3ne44p-jn2pkNp2p-jn-jnk1j3n3)eN =(e+en=-42p1j4(Nk-3)9j(3-Nk)n1j4(Nk+3)9j(3+N

11、)ne+ee =e 22n=0n=02ppp2p2ppp2p1 =2e2ppj4(k-)N31-e1+ep2pj(-k)93Np2pj(-k)3N1+e22ppj4(k+)N31-e1+ep2pj(+k)93Np2pj(+k)3N8求下列序列的时域离散傅里叶变换 *x (-n)， Rex(n)， x0(n) 解：x(-n)=x(-n)e-jw(-n)=X*(ejw) -* Rex(n)=-11x(n)+x*(n)e-jwn=X(ejw)+X*(e-jw)=Xe(ejw) 22()() x0(n)e-jw1=x(n)-x*(-n)e-jwn=jImX(ejw) 2-()三、离散时间系统系统函数

12、填空题： 1设H(z)是线性相位FIR系统，已知H(z)中的3个零点分别为1，0.8，1+j，该系统阶数至少为。 解：由线性相位系统零点的特性可知，z=1的零点可单独出现，z=0.8的零点需成对出现，z=1+j的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。 简答题： 2何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数Hmin(Z)有何特点？ 解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式 H(Z)=P(Z)=Q(Z)bZrr=0Nk=1M-r，他的所有极点都应在单位圆内，即1-akZ-kakp1。但零点可以位于Z平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统G(Z)=1H(Z)也是

13、稳定因果的。这就需要H(Z)的零点也位于单位圆内，即brp1。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。 一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。 一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值H(ejw)唯一确定。从ejw求H(Z)的过程如下：给定ejw，先求ejw，它是cos(kw)的函数。然后，用(Zk+Z-k)替代cos(kw)，我们得到G(Z)=H(Z)H(Z-1)。最后，最小相位系统由单位圆内的G(Z)的极、零点形成。 一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即 H(Z)=Hmi

14、n(Z)Hap(Z) 212完成这个因式分解的过程如下：首先，把H(Z)的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数Hmin(Z)是最小相位的。然后，选择全通滤波器Hap(Z)，把与之对应的Hmin(Z)中的零点映射回单位圆外。 3何谓全通系统？全通系统的系统函数Hap(Z)有何特点？ 解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数Hap(Z)对应的傅里叶变换幅值H(ejw)=1，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即 P(Z)Hap(Z)=Q(Z)bZrr=0Nk=1M-r*Z-1-ak=。因而，如果在Z=ak处有一个-11-aZk=

15、1kN1-akZ-k极点，则在其共轭倒数点Z=1 *ak处必须有一个零点。 4有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统函数、差分方程和卷积关系表达式。 x(n)h(n)y(n)-jwn解：频率响应：H(e)=h(n)e jw- 系统函数：H(Z)=h(n)Z-n - 差分方程：Z-1Y(Z) X(Z) 卷积关系：y(n)=h(n)*x(n) -第三章 离散傅立叶变换 一、离散傅立叶级数 计算题： 1如果x(n)是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期x(n)Xx(n)1(k)序列。把看作周期为N的周期序列有；把x(n)X2(k)Xx(n)看作周期为2N的周期序列

16、有1k）；试用表示。 解：2pM kl3某序列DFT的表达式是X(l)=x(k)WM，由此可看出，该序列的时k=0N-1域长度是，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是。 解：N 2pM 4如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件。 解：纯实数、偶对称 5采样频率为FsHz的数字系统中，系统函数表达式中z-1代表的物理意义是，其中时域数字序列x(n)的序号n代表的样值实际位置是；x(n)的N点DFTX。 解：延时一个采样周期T=1F，nT=nF，wk=2pk N6用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔Df为

17、_,数字角频率间隔Dw为 _和模拟角频率间隔DW _。 解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s 判断说明题： 7一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。 解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。 计算题 8令X(k)表示N点的序列x(n)的N点离散傅里叶变换，X(k)本身也是一个N点的序列。如果计算X(k)的离散傅里叶变换得到一序列x1(n)，试用x(n)求x1(n)。 解：x1(n)=X(k)Wk=0N-1nkNN-1N-1knnkk(n+n)=x(n)WNWN=x(n)WN k

18、=0n=0n=0k=0N-1N-1因为 Wk=0N-1k(n+n)Nn+n=NlN= 其他0所以 x1(n)=Nx(-n+Nl)=Nx(-n)NRN(n) nN-11,1,0,0，其4点DFT9序列x(n)=x(k)如下图所示。现将x(n)按下列，的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？ x(n)X(k)nkn=03x(n)y1(n)=x(n-4) n=47 n=03x(n)y2(n)=0 n=47 n=偶数x(n2)y3(n)=0 n=奇数 解：Y1(2k)=2X(k),0k3Y1(2k+1)=0Y2(k1)=Xk1=X(k),k1=2k,0k17,0k3 2Y3(k1)=X(k1)4=X(k

19、)0k17,0k3,k=k1mod410设x(n)是一个2N点的序列，具有如下性质： x(n+N)=x(n) 另设x1(n)=x(n)RN(n)，它的N点DFT为X1(k)，求x(n)的2N点DFTX(k)和X1(k)的关系。 k解： X(k)=2X1推导过程略 211试求以下有限长序列的N点DFT x(n)=anRN(n) x(n)=nRN(n) 解：因为x(n)=anRN(n)，所以 X(k)=anen=0N-1-j2pnkN=1-aN1-ae-j2pkN由x(n)=nRN(n)，得 nkX(k)=nWNRN(k) n=0N-1(n+1)kWX(k)=nWNRN(k) kNn=0N-1X(

20、k)(1-W)=(nWkNn=0N-1nkN(n+1)k-nWN)RN(k)n=0N-1k2k3k(N-1)k2k3k(N-1)k=WN+2WN+3WN+L+(N-1)WN-(WN+2WN+L+(N-2)WN+N-1)RN(k)nk=(-(N-1)+WN)RN(k)n=1kWN-1=-(N-1)+R(k)=-NRN(k) kN1-WNN-1所以 X(k)=-NRN(k) k1-WN12计算下列序列的N点DFT：(P116) x(n)=an,0nN-1 x(n)=cos解：X(k)=aWnn=0N-12pnm，0nN，0mN NN-1nkN1-aNWNNK1-aN，0kN-1 =kk1-aWN1

21、-aWN2p2p2pjmn-jmn-jnk2pnk1N-1NNN+ee X(k)=cosmnWN=e N2n=0n=011-e-j2p(k-m)1-e-j2p(k+m)=+2p2p-j(k-m)-j(k+m)21-eN1-eN N+1N+11ejp(k-m)-e-jp(k-m)-jN(k-m)pejp(k+m)-e-jp(k+m)-jN(k+m)p=pe+pepp-j(k-m)j(k+m)-j(k+m)2jN(k-m)-eNeN-eNeN+1N+11sin(k-m)p)-jN(k-m)psin(k+m)p)-jN(k+m)p=e+e p2sin(k-m)psin(k+m)NN ()() = N

22、, k=m或k=-m 2 0, 其它 13已知一个有限长序列x(n)=d(n)+2d(n-5) 求它的10点离散傅里叶变换X(k) 2kX(k)，求序 已知序列y(n)的10点离散傅立叶变换为Y(k)=W10列y(n) 已知序列m(n)的10点离散傅立叶变换为M(k)=X(k)Y(k)，求序列m(n) 解；X(k)=x(n)Wn=05k10N-1nkNnk=d(n)+2d(n-5)W10 n=02p5k109=1+2W=1+2e-j=1+2(-1)k，k=0,1,.,9 2kX(k)可以知道，y(n)是x(n)向右循环移位2的结果，由Y(k)=W10即 y(n)=x(n-2)10=d(n-2)

23、+2d(n-7) 由M(k)=X(k)Y(k)可以知道，m(n)是x(n)与y(n)的10点循环卷积。 一种方法是先计算x(n)与y(n)的线性卷积 u(n)=x(n)*y(n)=l=-x(l)y(n-l) =0,0,1,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4 然后由下式得到10点循环卷积 m(n)=u(n-10l)R10(n)=0,0,5,0,0,0,0,4,0,0=5d(n-2)+4d(n-7) l=-另一种方法是先计算y(n)的10点离散傅立叶变换 Y(k)=y(n)Wn=0N-1nkNnk2k7k=d(n-2)+2d(n-7)W10=W10+2W10 n=09再计算乘积 5k2k7kM

24、(k)=X(k)Y(k)=1+2W10W10+2W10 2k7k7k12k+2W10+2W10+4W10 =W10 2k7k+4W10 =5W10 ()()由上式得到 m(n)=5d(n-2)+4d(n-7) 14已知序列：x(n)=sin2pn，0nN-1，求x(n)的N点DFT。 N已知序列：x(n)=-j2pk91，n=0,1,20，其它，则x(n)的9点DFT是X(k)=epsink3，k=0,1,2,.,8 正确否？用演算来证明你的结论。psink9(P345) 2p解：X(k)=sinNn=0N-12p-jknneN 2p2p2pjn-jn-jkn1N-1NNN=e-ee 2jn=

25、0j(1-k)n-j(1+k)n1N-1NN =e-e2jn=02p2p -j= jN,k=1 2N,k=-1 20， 其它 6pk92pk9X(k)=en=022p-jkn9=1-e1-e-j-jpk-jkjpe3-e3e =ppp-jkjk-jk9e9-e9e-jk3p e-j2pk9psink3，K=0,1,.,8 psink9可见，题给答案是正确的。 15一个8点序列x(n)的8点离散傅里叶变换X(k)如图5.29所示。在x(n)的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列y(n)，即 n x ，n为偶数 2y(n)= ，n为奇数 求y(n)的16点离散傅里叶变换Y(k)，并画出

26、Y(k)的图形。 设NX(k)的长度N为偶数，且有X(k)=X(N-1-k),k=0,1,.,2-1，求x。 20 NX(k)4321-101234567解：因n为奇数时y(n)=0，故 Y(k)=y(n)Wn-015nk16=nnkxW16 2n=0,2,.14 =x(m)W8mk， 0k15 m=077x(m)W8mk,0k7另一方面 X(k)=m=0 0,其它7x(m)W8m(k-8),8k15因此 X(k-8)=m=0 0,其它7x(m)W8mk,0k15 =m=0 0,其它7x(m)W8mk,0k15所以 Y(k)=m=0 0,其它0k7X(k), =X(k-8),8k150,其它按

27、照上式可画出Y(k)的图形，如图5.34所示。 Y(k)16计算下列有限长序列x(n)的DFT，假设长度为N。 nx(n)=a 0nN-1 1,2,-3,-1 x(n)=解：X(k)=aWnn=0N-1nkNk=aWNn=0N-1()nk1-aWN =k1-aWN3()N1-aN 0kN-1 =k1-aWN(2) X(k)=x(n)W4nk n=0=W40+2W4k-3W42k-W43k=1+2W-3W-Wk4k23k4 =1+2(-j)k-3(-1)k-jk (0k3) 17长度为8的有限长序列x(n)的8点DFT为X(k)，长度为16的一个新序列定义为 x n=0,2,.14 y(n)=

28、15 0 n=1,3,.,n2试用X(k)来表示Y(k)=DFTy(n)。 nk解：Y(k)=y(n)W16 n=015 =y(2r)Wr=0772rk16(2r+1)k+y(2r+1)W16 r=07 =x(r)W8rk (k=0,1,.,15) r=0而 X(k)=x(n)W8nk (k=0,1,.,7) n=07因此，当k=0,1,.,7时，Y(k)=X(k)；当k=8,9,.,15时，令Y(l+8)=x(r)Wk=l+8(l=0,1,.7.)，得到：.,r=07r(l+8)8=x(r)W8rl=X(l) r=07即 Y(k)=X(k-8) 于是有 X(k) k=0,1,.,7 Y(k)

29、= X(k-8) k=8,9,.,15 n=0,1218若x(n)=1n=2,N=40n=3试计算x(n)的离散傅里叶变换X(k)的值(k=0,1,2,3)。 X(n)=x(k)WNkn k=04-1 所以 X(0)=x(k)WNkn=2WN0+2WN0+1WN0+0=5 k=03X(1)=x(k)Wk=033knN=2W+2W+1W+0=2+2e0N1N2N-j2p4+e-j2p24=2+2e-jp2+e-jp kn024X(2)=x(k)WN=2WN+2WN+1WN+0=2+2e-jp+e-j2p k=0X(3)=x(k)Wk=03knN=2W+2W+1W+0=2+2e0N3N6N-j3p

30、2+e-j3p 证明题： 19设X(k)表示长度为N的有限长序列x(n)的DFT。 证明如果x(n)满足关系式 x(n)=-x(N-1-n) 则X(0)=0 证明当N为偶数时，如果 x(n)=x(N-1-n) 则X(N)=0 2解 nkX(k)=x(n)WNn=0N-12n=0N-10X(0)=x(n)WN=x(n)=n=0n=0N-1N-1x(n)-x(N-1-n)n=N2N-1令N-1-n=m X(0)=x(n)-n=0N-12x(m) n=N-120显然可得 X(0)=0 N-1N-1NjkpnX=x(n)e=x(n)(-1) =x(2r)(-1)2r+x(2r+1)(-1)2r+1 r

31、=0r=0N-12N-12 =x(2r)-x(2r+1) r=0r=0N-12N-12 =x(N-1-2r)-x(2r+1)(令N-1-2r=2k+1) r=0r=0N-12N-12=x(2r+1)-x(2r+1) k=N2r=00N-12显然可得 X(简答题： N)=0 221在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？ 解：因为为采样时没有满足采样定理 减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率fs2的频率成分。 22试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。 解：离散傅立叶变换是Z变换在单位圆上的等间隔采样。 三、离散傅立叶变换性质 填空

32、题： 1已知序列xk=-2,2,3,-1;k=0,1,2,3，序列长度N=4，写出序列x(2-k)NR4k的值。 解：x(2-k)NR4k=x2,x1,x0,x3;k=0,1,2,3=3,2,-2,-1;k=0,1,2,3 1,2,3,2,1;k=0,1,2,3,4,hn=1,0,1,-1,0;k=0,1,2,3,4，2已知xn=则xn和hn的5点循环卷积为。 解：xkhk=xkdk+dk-2-dk-3 =xk+x(k-2)5-x(k-3)5=0,1,3,3,2;k=0,1,2,3,4 3已知xn=3,2,0,2;k=0,1,2,3,hn=4,-2,1,-1;k=0,1,2,3则xn和hn的

33、4点循环卷积为。 h0h1解：h2h3h3h2h1x04-11-236x1-24-1124h0h3h2= h1h0h3x21-24-10-3h2h1h0x3-11-2427 证明题： 4试证N点序列x(n)的离散傅立叶变换X(k)满足Parseval恒等式 1xn=N k=0N-12m=0XkN-1N-121证： Nm=0N-11Xm=N1=NN-1N-12m=0XmX*m N-1k=0mk*Nm=0*Xm(xkWN-1m=0)1 =xkNk=0N-1k=0XmWN-1k=0-mkN2=x*kxk=xk5x(k)和X(n)是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的1X(k)x(-n)对称性

34、： N 证明略。 6x(n)长为N的有限长序列，及奇部，也即 xe(n),xo(n)分别为x(n)的圆周共轭偶部1xe(n)=xe*(N-n)=x(n)+x*(N-n)2 1xo(n)=-xo*(N-n)=x(n)-x*(N-n)2 证明： DFTxe(n)=ReX(K)DFTxo(n)=jImX(K) 11证 xe(n)=xe*(N-n)=x(n)+x*(N-n)=x(n)+x*(-n)N 22 X(k)+X*(k)=ReX(k) 11xo(n)=-xo*(N-n)=x(n)-x*(N-n)=x(n)-x*(-n)N 221X(k)-X*(k)=jImX(k) 2127若DFTx(n)=X(

35、k),求证DFTX(n)=Nx(-k)N 1x(n)=证： NX(k)Wk=0N-1k=0knN-1-knN X(k)=x(n)WN 由X(k)=x(n)WN，将k与n互换，则有 knk=0N-1 X(n)=x(k)WN knn=0N-11 =N1 =NNx(k)Wk=0N-1k=0N-1knN-knNx(-k)W N与比较 所以X(n)Nx(-k)N 8若x(n)=IDFTX(k)，求证IDFTx(k)=1x(k)=证：IDFSNx(k)Wk=0N-1-knN1X(-n)N)RN(n)。 N1N-1-rk-knX(r)WWNNk=0Nr=0 N-1N-11k(-r-n)=2X(r)WNNr=0r=01=NN-1而 N -r-n=lN WNk(-r-n)= k=0N-1 0 -r-nlN 11X(-lN-n)N=X(-n) 2NN11于是 IDFTx(k)=X(-n)RN(n)=X(-n)N)RN(n) NN所以 IDFSx(k)=9令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT，试证明： 如果x(n)满足关系式x(n)=-x(N-1-n)，则X(0)=0。 当N为偶数时，如果x(n)=x(N-1-n)，则X=0。 证：X(k)=x(n)W