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1、数列知识点总结及题型归纳数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an-an-1=d(n2)或一、数列的概念 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项，在第二个位置的叫第2项，序号为n 的项叫第n项记作an； 数列的一般形式：a1，a2，a3，an，简记作 an。 例：判断下列各组元素能否构成数列 a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)XX年各省参加高考的
2、考生人数。 通项公式的定义：如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ， an+1-an=d(n1)。 例：等差数列an=2n-1，an-an-1= 题型二、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d； 说明：等差数列的单调性：d0为递增数列，d=0为常数列，d0，d0时，Sn有最大值；a10时，Sn有最小值； Sn最值的求法：若已知Sn，Sn的最值可求二次函数Sn=an+bn的最值； 2 2可用二次函数最值的求法；或者求出an中的正、负分界项，即： 若已知an，则Sn最值时n的值可如下确定4.已知数列an中
3、，a1=3，前n和Sn=求证：数列an是等差数列 求数列an的通项公式 1(n+1)(an+1)-1 2an0an0或。 an+10an+10 例：1等差数列an中，a10，S9=S12，则前 项的和最大。 2设等差数列an的前n项和为Sn，已知 a3=12，S120，S130，公差dan+1 求an 若Tn=lga1+lga2+L+lgan,求Tn 4.等比数列an的各项为正数，且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10= A12 B10 C8 D2+log35 2n 5.已知等比数列an满足an0,n=1,2,，且a5a2n-5=2(n3)，则当n1时，log
4、2a1+log2a3+log2a2n-1= A. n(2n-1) B. (n+1)2 C. n2 D. (n-1)2 n项和， (q=1)Sna1nn=a1(1-q)a1-(q1) 1-q=anq1-q例：1.已知等比数列an的首相a1=5，公比q=2，则其前n项和Sn= 2.已知等比数列a1n的首相a1=5，公比q=2，当项数n趋近与无穷大时，其前n项 和Sn= 3.设等比数列an的前n项和为Sn，已a2=6,6a1+a3=30，求an和Sn 4设f(n)=2+24+27+210+23n+10(nN)，则f(n)等于 A27(8n-1) B27(8n+1-1) C27(8n+3-1) D2n
5、+47(8-1) 5设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q； 6设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q 的值为 . 五. 等比数列的前n项和的性质 若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列. S6S9例：1.设等比数列 an的前n 项和为Sn，若 S3=3 ，则 S6 = 78A. 2 B. 3 C. 3 D.3 2.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 A83 B108 C75 D63 3.已知数列an是等比数列，且Sm=10，S2m
6、=30，则S3m= 4.等比数列的判定法 定义法：an+1a=qan为等比数列； n中项法：a2n+1=anan+2(an0)an为等比数列； 通项公式法：ann=kq(k,q为常数）an为等比数列； 前n项和法：Snn=k(1-q)an为等比数列。 Snn=k-kqan为等比数列。 例：1.已知数列an的通项为an=2n，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列a2n满足an+1=anan+2(an0)，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3.已知一个数列an的前n项和s+1n
7、=2-2n，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.利用aS1(n=1)n=S求通项 n-Sn-1(n2)4 四、等比数列的前 例：1.数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=列an的通项公式 1Sn，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数3若an+1-an=f(n)(n2)，则 a2-a1=f(1)a3-a2=f(2) an+1-an=f(n)*2.已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5，证明数列an+1(nN)n是等比数列 四、求数列通项公式方法 公式法根据等差数列、等比数列的定义求通项 例：1
8、已知等差数列an满足：a3=7,a5+a7=26， 求an； 2.已知数列an满足a1=2,an-an-1=1(n1)，求数列an的通项公式； 3.数列a*n满足a1=8，a4=2，且an+2-2an+1+an=0 ，求数列an的通项公式； 4. 等比数列a2n的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=9a2a6，求数列an的通项公式 5. 已知数列an满足a1=2,an=3an=1(n1)，求数列an的通项公式； 6. 已知数列a2*n满足a1=2，a2=4且an+2an=an+1 ，求数列an的通项公式； 7. 已知数列a满足a*n1=2，且an+1-5n+1=2(an-5n)，求数列a
9、n的通项公式； 8. 已知数列a=2，且an+1*n满足a1n+1+52+2=3(an+52n+2)，求数列an的通项公式； 12.数列已知数列a1n满足a1=2,an=4an-1+1(n1).则数列an的通项公式= 累加法 1、累加法 适用于：an+1=an+f(n) 两边分别相加得 an+1-a1=f(n) k=1例：1.已知数列a11n满足a1=2,an+1=an+4n2-1，求数列an的通项公式。 2. 已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。 3. 已知数列an满足an+1=an+23n+1，a1=3，求数列an的通项公式。 4. 设数列an满足a1
10、=2，a2n-1n+1-an=32，求数列an的通项公式 累乘法 适用于： an+1=f(n)an 若an+1aa=f(n)，则a2=f(1)，3=f(2)，an+1na1a2a=f(n) n两边分别相乘得，ann+1a=a1f(k) 1k=1例：1. 已知数列ann满足an+1=2(n+1)5an，a1=3，求数列an的通项公式。 2.已知数列an满足a1=23，a=nn+1n+1an，求an。 3.已知a1=3，an+1=3n-13n+2an (n1)，求an。 待定系数法 适用于an+1=qan+f(n) 解题基本步骤： 5 1、确定f(n) 2、设等比数列a n+l1f(n)，公比为
11、3、列出关系式an+1+l1f(n+1)=l2an+l2f(n) 4、比较系数求l1，l2 5、解得数列a五、数列求和 n+l1f(n)的通项公式 1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 6、解得数列an的通项公式 Sn(a+an-1)na1(q=1)1n)n(d Snn=2=na1+2n=a1(1-q)1-q(q1) 公比含字母时一定要讨论 例：1. 已知数列an中，a1=1,an=2an-1+1(n2)，求数列an的通项公式。 2.在数列a(理)无穷递缩等比数列时，S=a1n中，若a1=1,an+1=2an+3(n1)，则该数列的通项an=_ 1-q 3.已知数列an满足a1=1,an+1
12、=2an+1(nN*).求数列an的通项公式； 例：1.已知等差数列an满足a1=1,a2=3，求前n项和Sn 2. 等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n= A9 B10 C11 D12 3.已知等比数列an满足a1=1,a2=3，求前n项和Sn 递推公式中既有S4.设f(n)=2+24+27+210+23n+10(nN)，则f(n)等于 n A.2(8n-1) B.2(8n+1-1) C.2(8n+3D.2n+4777-1) 7(8-1) 分析：把已知关系通过aS1,n=1n=转化为数列 Sn-San或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。n-1,n2
13、1.数列a1 n的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=3Sn，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an 的通项公式 2错位相减法求和：如：an等差,bn等比,求a1b1+a2b2+L+anbn的和.2.已知数列a例：1求和Sn的首项an=1+2x+3x2+nxn-1 1=5,前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5(nN*)，证明数列an+1是等比数列 2.求和：S123n=4. 已知数列a1a+a+aL+n23+an n的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn=6(an+1)(an+2)，且a2,a4,9a成等比数列，求数列an的 通项公式。 3.设an是等差数列，bn是各项都为正数
14、的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 6 求an，bn的通项公式；求数列anb的前n项和Sn n3裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：1n(n+1)=1n-1n+1 1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1) 11111111n(n+2)=2(n-n+2)+2)=2n(n+1)-(n+1)(n+2) n(n+1)(n nn!=(n+1)!-n! n(n+1)!=1n!-1(n+1)!Ci-1iin-1=Cn-Cn-1数列a1n是等差数列，数列的前n项和 anan+1例：1.数列a的前n项和为S1nn，若an=
15、n(n+1)，则S5等于 A1 B56 C16 D130 2.已知数列a1n的通项公式为an=n(n+1)，求前n项的和； 4.已知数列an+11n的通项公式为an2，设T11n=a+1a3a2a+a，求Tn 4nan+25求1+11+2+11+2+3+11+2+3+4+L+11+2+3+L+n,(nN*)。 6已知a0,a1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan(nN)，求数列bn的前n项和Sn。 3.已知等差数列an满足a2=0, a6+a8=-10. (1)求数列an的通项公式及Sn 求数列an2n-1的前n项和 5.设数列an满足a1=2，an-1n+1-an=322 求数列an的通项公式 令bn=nan，求数列bn的前n项和Sn 7.已知等差数列an满足：a3=7,a5+a7=26，an的前n项和Sn求an及Sn 令bn=1a2，求数列bn前n项和Tn n-18已知数列an中，a1=3，前n和S1n=2(n+1)(an+1)-1 求证：数列an是等差数列 求数列an的通项公式 7
