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1、数列求和公式法数列求和公式法 等差数列求和公式: 项数2 举例：1+2+3+4+5+6+7+8+9=92=45 等比数列求和公式： 差比数列求和公式： a:等差数列首项 d:等差数列公差 e:等比数列首项 q:等比数列公比 其他 数列求和错位相减法 适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 例如： _ 1 Tn=上述式子/(1-q) 此外.式可变形为 Sn为bn的前n项和. 此形式更理解也好记 数列求和倒序相加法 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
2、Sn =a1+ a2+ a3+. +an Sn =an+ an-1+an-2. +a1 上下相加得Sn=(a1+an)n/2 数列求和分组法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例如：an=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和 Sn=a1+a2+.+an =2+0+22+1+23+2+.+2n+n-1 =(2+22+.+2n)+(0+1+.+n-1) =2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2 =2n+1+n(n-1)/2-2 数列求和裂项相消法 适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或
3、多个的差的形式，即an=f(n+1)f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。 常用公式： 2 例 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和. 解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4+1/n-1/(n+1) = 1-1/(n+1) = n/(n+1) 小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。 注意： 余下的项具有如下的特点 1、余下的项前后的位置前后是对称的。 2、余下的项前后的正负性是相反的。 数列求和数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤： 证明当n取第一
4、个值时命题成立； 假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 例： 求证： 1234 + 2345 + 3456 + . + n(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5 证明： 当n=1时，有： 1234 = 24 = 2345/5 假设命题在n=k时成立，于是： 12x34 + 2345 + 3456 + . + k(k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)/5 则当n=k+1时有： 1234 + 2345 + 3456 + + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1234 + 234*5 +
5、 3456 + + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)/5 即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证 3 数列求和通项化归法 先将通项公式进行化简，再进行求和。 如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。 数列求和并项求和法 例：12+34+56+-2n 方法一： 求出奇数项和偶数项的和，再相减。 方法二： +-2n 方法三： 构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。 an=n(-1) 4
