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1、数分13 幂级数第十三章 幂级数 1 幂级数的收敛半径和收敛区域 1.求下列各幂级数的收敛域：(2x)n(1);n!n=12n+1n!2解：lim=lim=0,那么原级数的收敛域为(-,+).n(n+1)!2nnn+1(2)ln(n+1)n+1x;n+1n=1ln(n+2)n+1ln(n+1)(-1)nln(n+1)解：由于lim=1,并且发散,而收敛,因此原收敛域nn+2ln(n+1)n+1n+1n=1n=1为-1,1).n+1n(3)x;n=1nnn+2解：limnn+1(n+1)2ne2n+1=+,因此可知原级数的收敛域为x=0.=limnn+1n2xn(4)n;n=122xx(n+1)
2、2n解：limn+1n2=limn2n2x22n+1,由达朗贝尔判别法可知当x2n+121时,级数收敛;因此只要x1原级数就收敛,又因为当x=1时,级数也收敛,因此原级数的收敛域为-1,1.n3+(-1)xn;(5)nn=1n解：幂级数的收敛半径为r=1=,4nn3+(-1)limnnn1n3+(-1)122k+1 由于=+2k+1,前者发散后者收敛,因此发散;n4n(2k+1)n=1k=12kk=143+(-1)n122k+1 =-2k+1,前者发散后者收敛,因此发散;n(-4)n(2k+1)n=1k=12kk=14nn11因此可知原级数的收敛域为-,.44壹 3n+(-2)n(6)(x+1
3、)n;nn=1解：幂级数的收敛半径为r=1=,nn33+(-2)nlimnn3n+(-2)n13n+(-2)n(-1)n(-1)n12n 又因为级数发散而级数=+收敛,因此可nnnn3n3nn3n=1n=1n=1n=1142知原级数的收敛域为-,-.33(2n)!nx;n=1(2n+1)!(2n+2)!(2n+1)!2n+2解：由于lim=lim=1,于是原级数的收敛半径为r=1;n(2n+3)!(2n)!n2n+3(7)(2n)!(2n+3)!2n+31 当x=1时,由于limn-1=limn-1=,故由拉阿比判别法可nn2n+22(2n+1)!(2n+2)!(2n)!知级数发散;(2n+1
4、)!n=1(2n)!p32T8(9)(2n)! 由于lim=0,因此由莱布尼兹判别法可知级数(-1)n收敛,于是可n(2n+1)!n=1(2n+1)!知原级数的收敛域为-1,1).1(8)1+nn=1-n2xn;-n21解：由于limn1+nn1=lim1+nn-n2-n1=,于是可知原级数的收敛半径为r=e.e1 当x=e时,由于lim1+nnen=10,因此可知原级数的收敛域为(-e,e).(-1)nn(9)nx;n=1nn解：由于limnn(-1)n(-1)n=1,因此可知原级数的收敛半径为r=1;由于级数n收敛,而级数nnnn=1nnnn=11nn发散,因此可知原级数的收敛域为(1,-
5、1. 贰 xn(10)n;nn=15+7n117解：由于limnn=,因此可知原级数的收敛半径为r=7,由于limn=10,因此可nn5+7n5+7n7知原级数的收敛域为(-7,7).(n!)2n(11)x;(2n)！n=1(n+1)！()解：由于limn(2n)！(n+1)21=lim=,因此可知原级数的收敛半径为r=4;(2n+2)！(n!)2n(2n+2)(2n+1)42(n!)24n 当x=4时,级数由于！n=1(2n)(n!)24n(2n+2)！-n(2n+2)(2n+2)(2n+1)1 limn-1=limn-1=lim=-12n+122nnn4(n+1)24(n+1)(2n)！(
6、n+1)!)4(n!)2那么由拉阿比判别发可知级数发散;但是对于级数(-4)n由莱布尼兹判别法可知收敛。！n=1(2n) 综上可知原级数的收敛域为-4,4).11(12)1+L+xn;2nn=1解：由于调和级数发散于+,因此可知111111+L+2nn+1=1+limn+1+1=1, lim=1+limnnnn111111+L+1+L+2n2nn=1n于是原级数的收敛半径为r=1,则可知原级数的收敛域为(-1,+1).(13)nxn; 解：由于limn=1n+1=1,于是可知级数的收敛域为(-1,+1).nn(x-2)2n-1(14);(2n-1)!n=1解：对于任意确定的x(-,+)有(x-
7、2)2n+1(2n-1)!(x-2)2 lim=lim=0,n(2n+1)!(x-2)2n-1n(2n+1)2n那么由达朗贝尔判别法可知原级数的收敛域为(-,+).(15)anxn,0a1;n=12解：由于0a1时,可以知道级数在x=1处都收敛,那么此时级数的收敛域为-1,1.2.设幂级数anx的收敛半径为R,bnxn的收敛半径为Q,讨论下列级数的收敛半径：nn=0n=0(1)anx; (2)(an+bn)x; (3)anbnxn.2nnn=0n=0n=02n解：(1)由于幂级数anx的收敛半径为R,那么对于任意x0R,级数ax发散,因此可知幂级数anx2n的收敛半径r=R;2nn0n=0n=
8、0n (2)设RQ,则对于x0R,可知级数n=0n (an+bn)x=ax+bnx0n0nn0n=0nn=0n=0发散。因此此时级数(an+bn)x的收敛半径为R.同理当RQ,级数(an+bn)xn的收敛半径n=0n=0为Q.于是可知原级数的收敛半径为r=min(R,Q). (3)对于x0RQ我们无法判别级数anbnx0是否收敛,因此可知原级数的收敛半径rRQ.n=0 肆 3.设akx1kM,n=0,1,2,L,求证：当0xx1时,k=1n(1)anx收敛; (2)anxnM.nn=0n=0nnxnk证明：(1)取An(x)=anx1,Bn(x)=,由于akx1M,即An(x)一致有界;而x(
9、0,x1),数k=1k=1x1n列Bn(x)单调下降趋于零,那么由狄理克雷判别法可知函数项级数anxn在区间(0,x1)一致n=0收敛.于是对于当0xx1时,annx收敛。n=0 (2)我们利用数学归纳法证明,这里我们用到了阿贝尔变换：11 i.由于0xxk1,因此akkxk1M显然成立;k=0axk=1n-1 ii.设akkxM;k=0n-1axkk1k=1nnk iii.a=akx阿贝尔变换n-1xkkxkkx1-xk+1kn=gk=0alxnkk=0x1xlx1+l=0x1akx1k=01x1k=1nkk+1nnn Mx-x+x=Mxxk=0x1x1x1-1x+x=M.11综上可知所证成
10、立。2 幂级数的性质 1.设f(x)=anann+nx当xr时收敛,那么当n=0n+1r1收敛时,有n=0 r0f(x)dx=anrn+1,n=0n+1不论anxn在x=r时是否收敛。n=0证明：由题意可得对于x(0,r)有xf(t)dtanxn+10=且其收敛半径仍为r.n=0n+1 由于anxn+1在x=r点收敛,故在0,r上连续,n=0n+1因此 limxrx0f(t)dt=limann+1ann+1xrx=n=0n+1r,n=0n+1于是有 rf(x)dx=ann+10n=0n+1r. 伍 ln(1-x)12.利用上题证明：dx=-.20xn=1n1xnln(1-x)xn-1xn-11
11、证明：由于ln(1-x)=-,因此有=-,显然-在x0,使得n=1nln(1+n)n=1nln(1+n)1dx00成立,那么必有xn-1dn-1 ,x(-d,d);nln(1+n)nln(1+n)xn-1由于d1,那么可知级数收敛,于是由M判别法可知级数在(-d,d)上nln(1+n)nln(1+n)n=1n=1dn-1一致收敛,于是可知这个级数在(-d,d)上一致收敛于函数f(x),且在此区间上连续。xn-1 特别地在x0点级数收敛于f(x)且连续,由于x0点在区间(-1,1)上的任意性可知n=1nln(1+n) xn-1级数在区间(-1,1)上上收敛于f(x)且连续;即得所证。nln(1+
12、n)n=1xn-1 (2)由于级数在点x=-1处收敛,那么可知此级数在区间-1,0)上一致收敛,且n=1nln(1+n)可知收敛于函数f(x),于是可知函数f(x)在x=-1点可导。 (3)(这两个怎么做呢?)3 函数的幂级数展开 1.利用基本初等函数的展开式,将下列函数展开成麦克劳林级数,并说明收敛区间：1n111xx(1),a0; 解：=a=,1.a-xa-x1-xan=0aaa(2); 解：=(1+x)=1+22n=1(1+x)(1+x)11-2-2g(-3)gLg(-2-n+1)nx,x1.n! 壹拾贰 (3); 解：=(1+x)=1+32n=1(1+x)(1+x)2211-3-3g(
13、-4)gLg(-3-n+1)nx,x1.n!2n2n11+cos2x1n(2x)n(2x)(4)cosx; 解：cosx=1+(-1)=2+(-1),x+.22n=0(2n)!2n=1(2n)!(3x)313x2n+1133n(5)sinx; 解：sinx=sinx-sin3x=(-1)-(-1)n444n=0(2n+1)!4n=0(2n+1)!2n2n+13-1x()3 =(-1)n+1,x+.4n=02n+1!()2n+1141-g-gLg-n+11xx-333xn(6); 解:=xg(1-3x)3=x1+n!1-3x1-3xn=1141-g-gLg-n+1333xn+1,x1. =x+n
14、!n=1(7)(1+x)e; 解：(1+x)e-x-x(-x)n(-x)n(-1)nxn(-1)nxn+1=+x=+n!n!n!n!n=0n=0n=0n=0(-1)n(-1)n-1n =1+x,x+.(n-1)!n=1n!(8)lnx+1+x2;解：由于211+x lnx+1+x=,22x+1+x1+x131-g-gLg-n+111222x2n,x12-2 =(1+x)=1+n!n=11+x22()()1+x因此可知131-g-gLg-n+1xxx1222t2ndt lnx+1+x2=dt=1dt+000n!n=11+t2131-g-gLg-n+1222x2n+1,x1. =x+(2n+1)g
15、n!n=1() 壹拾叁 1121nn(9); 解：=-=2(2x)-x=(2n+1-1)xn,2x1.221-3x+2x1-3x+2x1-2x1-xn=0n=0n=0(10)arcsinx;解：由于 (arcsinx)=1=(1-x12-2), (11)ln(1+x+x2); 1-x2(1=1+-12g-311-x2)-22gLg-2-n+1(-1)nx2nn=1n!1g3gL1+n- =1+2221x2n;n=1n!13arcsinx=xdtxx2g2gL12+n-101-t2=01dt+t2nn=10n!dt1=x+2g32gL12+n-1x2n+1.n=1(2n+1)n!1-x3(x3)
16、nxn解：ln(1+x+x2)=ln1-x=ln(1-x3)-ln(1-x)=-+n=1nn=1nx3kx3k+1x3k+2x3k+3=-+k=1k+k=03k+13k+2+3k+3x3k+1=k=03k+1+x3k+23k+2+13k+3-1k+1x3k+3x3k+1x3k+22x3k+3=+-,-k=03k+13k+23k+31x1.壹拾肆 因此可知 (12)xarctanx-ln1+x2;解：由于11n2n (arctanx)=,=(-1)x,221+x1+xn=0于是可知xdt(-1)nx2n+1n2n arctanx=(-1)tdt=,01+t202n+1n=0n=0x(-1)nx2
17、n+2 xarctanx=;2n+1n=0又因为x2x1+x22nn2n+1 ln1+x=x(-x)=(-1)x,221+xn=0n=01+x()因此可知xtdt(-1)nx2n+2n2n+1 ln1+x=(-1)tdt=;01+t202n+2n=0n=0那么可得2x(-1)nx2n+2(-1)nx2n+2 xarctanx-ln1+x=+2n+12n+2n=0n=0211n2n+2 =+(-1)x2n+1n=02n+24n+3 =(-1)nx2n+2,x1.n=0(2n+2)(2n+1)sintdt;0t解：由于(13)x(-1)nt2n+1sint(-1)nt2nn=0(2n+1)! =,ttn=0(2n+1)!因此 xx0n2nx(-1)tsint(-1)nx2n+1dt=dt=,x+.0(2n+1)!t(2n+1)(2n+1)!n=0n=0(14)costdt. 解：costdt=002x2x0(2n)!n=0(-1)n(t2)2ndt=n=0x(-1)n(t2)2n0(2n)!(-1)nt4n+1dt=,x+.(4n+1)2n!()n=0 壹拾伍 2.利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展式：ln(1+x);1+x解：由于(1)(-1)n-1xn1 ln(1+x)=,=(-x)n;n1+xn=0n
