数列通项公式方法大全很经典.docx

《数列通项公式方法大全很经典.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列通项公式方法大全很经典.docx（37页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、数列通项公式方法大全很经典1，数列通项公式的十种求法： 公式法 例1 已知数列an满足an+1=2an+32n，a1=2，求数列an的通项公式。 an+1an3an+1an3an=+-=是，则，故数列2n+12n22n+12n22nan3a23=1=1+(n-1)以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，n12222231n所以数列an的通项公式为an=(n-)2。 22解：an+1=2an+32n两边除以2n+1，得评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+32n转化为an+1an3-=，说明数列2n+12n2aan3n=1+(n-1)是等差数列，再直接利用等差数列

2、的通项公式求出，进而求出数列nn222an的通项公式。 累加法 例2 已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。 解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2(n-1)+1+2(n-2)+1+(22+1)+(21+1)+1=2(n-1)+(n-2)+2+1+(n-1)+1(n-1)n=2+(n-1)+12=(n-1)(n+1)+1=n2所以数列an的通项公式为an=n2。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n+1转化为an+1-an=2n+

3、1，进而求出(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1，即得数列an的通项公式。 n变式：已知数列an满足an+1=an+23+1，a1=3，求数列an的通项公式。 累乘法 例3已知数列an满足an+1=2(n+1)5nan，a1=3，求数列an的通项公式。 解：因为an+1=2(n+1)5nan，a1=3，所以an0，则an+1=2(n+1)5n，故anan=anan-1an-1an-2a3a2a1a2a12(2+1)522(1+1)513 +2+1=2(n-1+1)5n-12(n-2+1)5n-2=2n-1n(n-1)=32n-1325(n-1)+(n

4、-2)+n!n-135n(n-1)2所以数列an的通项公式为an=325n(n-1)2n!. an+1进而求=2(n+1)5n，an评注：本题解题的关键是把递推关系an+1=2(n+1)5nan转化为出anan-1an-1an-2a3a2a1，即得数列an的通项公式。 a2a1变式：已知数列an满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+项公式。 待定系数法 +(n-1)an-1(n2)，求an的通例4已知数列an满足an+1=2an+35n，a1=6，求数列an的通项公式。 解：设an+1+x5n+1=2(an+x5n) n nn+1n，等式两边消去=2an+2x5将an+1=2an+35代入

5、式，得2an+35+x5nnx5,x=-1,，两边除以5，得3+5x=2x则代入式得2an，得35n+x5n+1=2an+1-5n+1=2(an-5n) an+1-5n+1n由a1-5=6-5=10及式得an-50，则，则数列=2a-5是以nnan-51na1-51=1为首项，以2为公比的等比数列，则an-5n=2n-1，故an=2n-1+5n。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+35n转化为an+1-5n+1=2(an-5n)，从而可知数列an-5n是等比数列，进而求出数列an-5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。 变式： 已知数列an满足an+1=3an+52n

6、+4，a1=1，求数列an的通项公式。 已知数列an满足an+1=2an+3n2+4n+5，a1=1，求数列an的通项公式。 对数变换法 5例5已知数列an满足an+1=23nan，a1=7，求数列an的通项公式。 55解：因为an+1=23nan式两边取，a1=7，所以an0，an+10。在an+1=23nan常用对数得lgan+1=5lgan+nlg3+lg2 设lgan+1+x(n+1)+y=5(lgan+xn+y) 11 将式代入11式，得5lgan+nlg3+lg+2xn(+1)y=5(lgan+xn+y，两边消去5lgan并整理，得(lg3+x)n+x+y+lg2=5xn+5y，则

7、 lg3x=lg3+x=5x4，故 lg3lg2x+y+lg2=5yy=+164代入11式，得lgan+1+lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n+1)+=5(lgan+n+) 12 41644164由lga1+得lgan+lg3lg3lg2lg3lg3lg21+=lg7+1+0及12式， 41644164lg3lg3lg2n+0， 4164lgan+1+则lg3lg3lg2(n+1)+4164=5， lg3lg3lg2lgan+n+4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2+n+是以lg7+为首项，以5为公比的等41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n-1n+=(lg7+)

8、5，因此比数列，则lgan+41644164所以数列lgan+lgan=(lg7+lg3lg3lg2n-1lg3lg3lg2+)5-n-4164464141614n-1n4=(lg7+lg3+lg3+lg2)5=lg(7332)514116141411614n-1-lg3-lg3-lg211614n411614-lg(332)n411614=lg(7332)5n-1-lg(332)=lg(75n-13=lg(75n-13n-15n-1-n435n-1-1162)5n-1-14)5n-4n-11625n-1-14则an=7535n-4n-11625n-1-14。 5评注：本题解题的关键是通过对数

9、变换把递推关系式an+1=23nan转化为lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n+1)+=5(lgan+n+)，从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lgan+n+是等比数列，进而求出数列lgan+n+的通项41644164lgan+1+公式，最后再求出数列an的通项公式。 数学归纳法 例6已知数列an满足an+1=an+8(n+1)8，a=，求数列an的通项公式。 122(2n+1)(2n+3)9解：由an+1=an+88(n+1)a=及，得 19(2n+1)2(2n+3)28(1+1)88224=+=(21+1)2(21+3)29925258(2+1)24834

10、8 a3=a2+=+=(22+1)2(22+3)2252549498(3+1)488480a4=a3+=+=(23+1)2(23+3)249498181a2=a1+(2n+1)2-1由此可猜测an=，往下用数学归纳法证明这个结论。 2(2n+1)(21+1)2-18当n=1时，a1=，所以等式成立。 2(21+1)9(2k+1)2-1假设当n=k时等式成立，即ak=，则当n=k+1时， 2(2k+1)8(k+1) 22(2k+1)(2k+3)ak+1=ak+(2k+1)2-18(k+1)=+(2k+1)2(2k+1)2(2k+3)2(2k+1)2-1(2k+3)2+8(k+1)=(2k+1)2

11、(2k+3)2(2k+1)2(2k+3)2-(2k+3)2+8(k+1)=(2k+1)2(2k+3)2=(2k+1)(2k+3)-(2k+1)(2k+1)2(2k+3)2222(2k+3)2-1=(2k+3)22(k+1)+12-1=2(k+1)+12由此可知，当n=k+1时等式也成立。 根据，可知，等式对任何nN都成立。 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 换元法 *例7已知数列an满足an+1=1(1+4an+1+24an)，a1=1，求数列an的通项公式。 1612(bn-1) 24解：令bn=1+24an，

12、则an=故an+1=121(bn+1-1)，代入an+1=(1+4an+1+24an)得 241612112(bn+1-1)=1+4(bn-1)+bn 24162422即4bn+1=(bn+3) 因为bn=1+24an0，故bn+1=1+24an+10 则2bn+1=bn+3，即bn+1=可化为bn+1-3=13bn+， 221(bn-3)， 21为公比的等比数2所以bn-3是以b1-3=1+24a1-3=1+241-3=2为首项，以列，因此bn-3=212n-1111=n-2，则bn=n-2+3，即1+24an=n-2+3，得 222an=21n1n1+。 3423评注：本题解题的关键是通过

13、将1+24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn+1=13bn+形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn-3的通项公式，22最后再求出数列an的通项公式。 不动点法 例8已知数列an满足an+1=21an-24，a1=4，求数列an的通项公式。 4an+1解：令x=21x-2421x-24224=0，则x1=2，x2=3是函数f(x)=，得4x-20x+的4x+14x+1两个不动点。因为 21an-24-2an+1-24an+121an-24-2(4an+1)13an-2613an-2=。所以数列21a-24an+1-39an-3n-321an-24-3(4an+1)9an

14、-274an+1an-2an-2a1-24-213n-113是以为首项，以为公比的等比数列，故=2=2，9a-34-3a-39a-31nn则an=1132n-1-19+3。 评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)=个根x1=2，x2=3，进而可推出21x-2421x-24的不动点，即方程x=的两4x+14x+1a-2an+1-213an-2，从而可知数列n=为等比数an+1-39an-3an-3列，再求出数列an-2的通项公式，最后求出数列an的通项公式。 an-37an-2，a1=2，求数列an的通项公式。 2an+3例9已知数列an满足an+1=解：令x=7x-23x-12，得2x-4x

15、+2=0，则x=1是函数f(x)=的不动点。 2x+34x+7因为an+1-1=7an-25a-5，所以 -1=n2an+32an+3an=21n1n1+。 3423评注：本题解题的关键是通过将1+24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn+1=13bn+形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn-3的通项公式，22最后再求出数列an的通项公式。 课后习题： 1数列2，5，22，11的一个通项公式是 ，A、an=3n-3 B、an=3n-1 C、an=3n+1 D、an=3n+3 2已知等差数列an的通项公式为an=3-2n , 则它的公差为 A 、2 B 、3 C、 -2

16、D、-3 3在等比数列an中, a1=-16,a4=8,则a7= A、-4 B、4 C、-2 D、2 4若等比数列an的前项和为Sn，且S10=10，S20=30，则S30= 5已知数列an通项公式an=n2-10n+3，则该数列的最小的一个数是 6在数列an中，a1=于 7已知an是等差数列，其中a1=31，公差d=-8。 求数列an的通项公式； 数列an从哪一项开始小于0？ 求数列an前n项和的最大值，并求出对应n的值 11nan且an+1=nN*，则数列的前99项和等2n+1-anan()8已知数列an的前项和为Sn=n2+3n+1， 求a1、a2、a3的值； 求通项公式an。 9等差数

17、列an中，前三项分别为x,2x,5x-4，前n项和为Sn，且Sk=2550。 、求x和k的值； 、求Tn= 1111; +L+S1S2S3Sn数列 等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 等 差 数 列 an+1-an=a2-a1 递 推 关 系 an+1-an=d an+1-an=an-an-1 *等 比 数 列 an+1a2= ana1an+1=q anan+1an* =anan-1*通 项 an=a1+(n-1)d an=pn+q 2Sn=n(a1+an) *an=a1qn-1 an=pqn 求 和 公 式 nn*a求积公式i=(a1an) (nN) i=12n(n-1)d (nN*)

18、Sn=na1+2Sn=An2+Bn(A,B是常数,nN) *na1,q=1*Sn=a1(1-qn) (nN) 1-q,q1Sn=na1,q=1nA-Aq,q1 (nN，A0) * 主 要 若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则 若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则apaq=asar. ap+aq=as+ar. 对任意c0,c1,c an+1+an-1=2an,nN*,n2. 若an、bn分别为两等差数列，则 对任意c0,c1, 若an恒大于0，则logcan为等差an为等比数列. 列. 2an+1an-1=an,nN*,n2. 若an、bn为两等比数列，则anbn为等比数列. an+

19、bn为等差数列. 若an恒大于0，则数列nai为等比数列. i=1n若bn为正项等差自然数列，则abn为等比数列. 性 质 数列Sn为等差数列. nSn,S2n-Sn,S3n-S2n,L为等比数列. 若bn为正项等差自然数列，则abn为等差数列. Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,L为等差数列. Sm+n=Sm+Sn+mnd. 则若Sm=Sn,mn,则Sm+n=0. nai=n-2mi=1ni=m+1*N，n2m，m、nain-map0,pN*. Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm. 若a1a2Lam=a1a2Lan,mn, SnSn-m-Sm*=，n2m，m、nN. nn-2mai=

20、1m+ni=1. 重要性质 *若ap=q,aq=p,p、qN，且pq, Smn=Sm(1+qm+q2m+L+q(n-1)m) 则ap+q=0. 若Sp=q,Sq=p,且pq,则 =Sn(1+qn+q2n+L+q(m-1)n). 若|q|2m,m,nN*) nn-2m2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an) 等比数列： =n(a1+an) Sn=a1(1-qn)a1-anq；(q1) Sn=1-q1-q Sm+n=Sn+Smqn 1+2+3+n = 1+2+3+222n(a1+an) 2n(n+1)； 2+n2 =1n(n+1)(2n+1) 613+23+33+n3 =(1+2+3

21、+=错位相减法 此种方法主要用于数列anbn的求和，其中+n)2 12n(n+1)2 4分组化归法 此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项an为等差数列，bn是公比为q的等比数列，只需用Sn-qSn便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q1两种情况 例：试化简下列和式： 写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和 Sn=1+2x+3x2+nxn-1(x0) n(n+1) 2解：若x=1，则Sn=1+2+3+n = 111，1+， 2241111+n-1的和. 242111解： an=1+n-1 242例：求数列1，1+若x1,则Sn=1+2x+3x2+ xS

22、n=x+2x2+3x3+两式相减得： +nxn-1 +nxn (1-x)Sn=1+x+x2+xn-1-nxn 1-xn-nxn =1-x1-xnnxn Sn= -2(1-x)1-x奇偶求和法 此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合 11-n2=2-1 =n-1121-2111Sn=1+(1+)+(1+)+ 224111+(1+n-1) 24211=(2-1)+(2-)+(2-2) 221+(2-n-1) 2111=2n-(1+n-1) 2421=2n-2+n-1 2裂项相消法 此方法主要针对 11+a1a2a2a3数列 +1这样的求和，其中an

23、是等差an-1an例：求和 例：an为首项为a1,公差为d的等差数列，求Sn=1-3+5+7+(-1)n-1(2n-1) Sn=解： 111+a1a2a2a3a3a4+1 an-1an解：当n = 2k (kN+)时, Sn=S2k=(1-3)+(5-7)+ +(4k-3)-(4k-1) =-2k=-n 当n=2k-1(kN+)时， 111ak+d-ak =akak+1ak(ak+d)dak(ak+d)111111(-)=(-) dakak+ddakak+1 =Sn=111111(-)+(-) da1a2da2a3Sn=S2k-1=S2k-a2k=-2k-(4k-1) +111(-) dan-

24、1an+(11-) an-1an=2k-1=n =综合得：Sn=(-1)n+1n 11111(-)+(-)+da1a2a2a3111(-) da1ann-1a1a1+(n-1)d = =(7)分类讨论 此方法是针对数列an的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求. 归纳猜想证明 此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出Sn的表达式，然后用数学归纳法证明之. 例：已知等比数列an中，a1=64，q=求数列|bn|的前n项和Sn. 解：an=a112222，设bn=log2an，例：求和Sn=1+3+5+(2n-1) 2解：S1=1，S2=10，S3=35， qn-1=27-n S4=84，S5=165， 1Sn=n(4n2-1) 312证明：当n=1时，n(4n-1)=1=S1 3 n=1时成立. 12 假设当n=k时，Sk=k(4k-1) 3 则n=k+1时， bn= log2an=7-n 当n7时，bn0 此时，Sn=1213n+n 22当n7时，bn0 此时，Sn=1213nn+42 221213n+n 22Sk+1=Sk+(2k+1)2 =k+12(k+1)+12(k+1)-1 3*Sn= n=k+1时，成立. 由、知，对一切nN， 1213nn+42 221Sn=n(4n2-1). 3