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1、数字信号处理复习总结数字信号处理复习要点 数字信号处理主要包括如下几个部分 1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析 2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 3、数字滤波器的设计 一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析 1、离散时间信号： 1）离散时间信号。时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。 2）数字信号。时间和幅值都离散化的信号。 3）离散时间信号可用序列来描述 4）序列的卷积和 y(n)=m=-x(m)h(n-m)=x(n)*h(n) 5）几种常用序列 1,n=0a)单位抽样序列d(n),d(n)= 0,n01,n0b)
2、单位阶跃序列u(n),u(n)= 0,n01,0nN-1c)矩形序列，RN(n)= 0,n=其它d)实指数序列,x(n)=anu(n) 6）序列的周期性 所有n存在一个最小的正整数N,满足：x(n)=x(n+N),则称序列x(n)是周期序列，周期为N。(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的) 7）时域抽样定理： 一个限带模拟信号xa(t)，若其频谱的最高频率为F0，对它进行等间隔抽样而得x(n)，抽样周期为T，或抽样频率为Fs=1/T； 只有在抽样频率Fs2F0时，才可由xa(t)准确恢复x(n)。 2、离散时间信号的频域表示 X(jw)=n=-x(n)e-jwn，
3、X(j(w+2p)=X(jw) 1px(n)=X(jw)ejwndw 2p-p 3、序列的Z变换 X(z)=Zx(n)=n=-x(n)z-n1）Z变换与傅立叶变换的关系，X(jw)=X(z)z=ejw 2）Z变换的收敛域 收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。 一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：Rx-|z|Rx+ x(n)N1nN23）有限长序列：x(n)=，0|z| 0其它x(n)N1nRx- 其它0x(n)-nN2左序列：x(n)=， 0其它 双边序列：x(n),-n，Rx-|z|1-11-z 1Zanu(n)
4、=,|z|a|1-az-11Zbnu(-n-1)=,|z|b|1-bz-1Zu(n)= 逆变换 x(n)=12pjn-1X(z)zdzx，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线 c1）留数定理：x(n)=X(z)zn-1在C内极点留数之和 2）留数辅助定理：x(n)=-X(z)zn-1在C外极点留数之和 3）利用部分分式展开：X(z)=Z变换求解。 4、离散时间系统： Tx(n)=y(n) 系统函数：H(jw)=Y(jw)Y(z)，H(z)= X(jw)X(z)Ak，然后利用定义域及常用序列的1-akz-1冲激响应：h(n)=Td(n) 5、线性系统：满足叠加原理的系统。Tax(n)+by(n
5、)=aTx(n)+bTy(n) 6、移不变系统：若Tx(n)=Y(n)，则Tx(n-k)=Y(n-k) 7、线性移不变系统 可由冲激响应来描述 y(n)=x(n)*h(n)，Y(jw)=X(jw)H(jw)，Y(z)=X(z)H(z) 8、系统的频率特性可由其零点及极点确定 X(z)=bziM-iak=0i=0N=A(1-zziM-1)=Akz-k(1-zk=1i=1N(z-z)ziM-Mkz-1)(z-zk=1i=1Nk)z-N9、稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|x(n)|，则|y(n)| 线性移不变系统是稳定系统的充要条件：n=-|h(n)| 或：其系统函数H(z)的收
6、敛域包含单位园 |z|=1 10、 因果系统：n0时刻的输出y(n0)只由n0时刻之前的输入x(n),nn0决定 线性移不变系统是因果系统的充要条件：h(n)=0,nRx 11、 稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。 h(n)=0,n0 线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|h(n)|Rx-,Rx-1 12、 差分方程 线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示 ay(n-k)=bx(n-i) kik=0i=0NM13、 差分方程的解法 1）直接法：递推法 2）经典法 3）由Z变换求解 二、 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 1、周期序列的离散傅立叶级数 Xp(k)=DFSxp(n)=x
7、p(n)en=0N-1-j2pknNkn =xp(n)WNn=0N-11xp(n)=IDFSXp(k)=N其中：WN=e-j2p/N K=ON-1XP(k)e2pjknN1=NK=ON-1XP(k)WN-kn 2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT) knX(k)=DFTx(n)=DFSx(N)RN(k)=x(n)WN，0kN-1 n=0N-11N-1-kn x(n)=IDFTX(k)=IDFSX(N)RN(n)=X(k)WN，0nN-1 Nk=0应当注意，虽然x(n)和X(k)都是长度为N得有限长序列，但他们分别是由周期序列xp(n)和Xp(k)截取其主周期得到的，本质上是做DFS或IDFS
8、，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。 3、离散傅立叶变换与Z变换的关系 X(k)=X(jw)|2p=X(z)|j2pk w=Nkz=eN4、频域抽样定理 对有限长序列x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N，或抽样间隔为2p/N，当NM时，才可由X(k)不失真恢复X(jw)。 1-z-N内插公式：X(z)=N5、周期卷积、循环卷积 周期卷积：xp3(n)=xp1(m)xp2(n-m) m=0N-1X(k) -k-1k=01-WNzN-1循环卷积：x3(n)=x1(n)N-1x2(n)=xp3(n)RN(n)=xp1(m)xp2(n-m)RN(n)
9、m=06、用周期卷积计算有限长序列的线性卷积 对周期要求：NN1+N2-1 7、基2 FFT算法 1）数据要求：N=2M 1 2）计算效率 28、快速卷积 9、分辨率 三、 数字滤波器的设计 FIR滤波器的设计 1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的、阶数较高 2、实现线性相位的条件 h(n)为实数 h(n)=h(N-1-n) 做一般意义下的FIR滤波器，N是偶数，不适合做高通滤波器 或 h(n)=-h(N-1-n) 对称中心：(N-1)/2 适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。 3、主要设计方法 1）窗函数法 2）频率抽样设计 频率抽样内插公式设计。 特点： 频率特性可
10、直接控制。 若滤波器是窄带的，则能够简化系统 若无过渡带样本，则起伏较大。改进办法是增加过渡带样本，采用过渡带的自由变量法，通常使用优化方法求解。可得到较好的起伏特性，但是会导致过渡带宽度加大，改进办法是增加抽样点数。 抽样点的获得采取两种办法：I型抽样及II型抽样。 若要满足线性相位特性，则相位要满足一定要求。 IIR滤波器的设计 1、特点 阶数少、运算次数及存储单元都较少 适合应用于要求相位特性不严格的场合。 有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。 是递归系统，存在稳定性问题。 2、主要设计方法 先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器。 设计过程： 1）先设计模拟低通滤波器Ha(s
11、)：butterworth滤波器设计法等，有封闭公式利用 2）将模拟原型滤波器变换成数字滤波器 模拟低通原型先转换成数字低通原型，然后再用变量代换变换成所需的数字滤波器； l 模拟低通原型先转换成数字低通原型：HaL(s)HL(z)，主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等。 l 将数字低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的数字滤波器。，z-1=G(Z-1) HL(z)HD(Z) 由模拟原型变成所需型式的模拟滤波器，然后再把它转换成数字滤波器； l 将模拟低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的模拟滤波器。HaL(s)HaD(S1)，s=F(S1) l 模拟滤波器转换成数字数字滤波器：HaD
12、(s)HD(z)，主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等 由模拟原型直接转换成所需的数字滤波器 直接建立变换公式：HaL(s)HD(z)，s=G(z-1) 3、模拟数字转换法 冲激不变法 H(z)=ZL-1Ha(s)|t=nT 单阶极点情况 NAkAkskT H(z)=， Ha(s)=A=Ap=ekkk-11-pzs-sk=1k=1kkN阶跃不变法 H(z)=z-1ZL-1Ha(s)/s|t=nT z冲激不变法和阶跃不变法的特点： 有混叠失真 只适于限带滤波器 不适合高通或带阻数字滤波器的设计 1-z-1双线性变换法 s=C -11+z常数C的计算：1）C=Wccot(wc2) 2）C=2/T 特点： (i) 稳定性不变 无混叠 频率非线性变换，会产生畸变，设计时，频率要做预畸变处理 4、直接法设计IIR数字滤波器 z平面的简单零极点法 滤波器的网络结构
