数学中考压轴题旋转问题 答案.docx

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1、数学中考压轴题旋转问题 答案 旋转拔高练习 一、选择题 1. 如图，把一个斜边长为2且含有30角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90到A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是 A B3 C003p311p3+ D 421241、因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和ACD 计算即可： 在ABC中，ACB=90，BAC=30，AB=2，BC=SDABC=1AB=1，B=90BAC=60。AC=AB2-BC2=3。 213BCAC=。设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接22CD，BC=DC，BCD是等边三角形。BD=CD=1。 1133=

2、点D是AB的中点。SDACD=SDABC=S。 2224DABC扫过的面积=S扇形ACA1+S扇形BCD+SDACD 290p 60p1233pp311p3=+=+ =+ 故选D。 36036044641242. 如图，O是正ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，下列结论：BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到；点O与O的距离为4；AOB=150；S四边形AOBO=6+33；SVAOC+SVAOB=6+93其中正确的结论是 4A B C D 2正ABC，AB=CB，ABC=60。 线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO

3、，BO=BO，OAO=60。 OBA=60ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到。故结论正确。 连接OO，BO=BO，OAO=60，OBO是等边三角形。OO=OB=4。故结论正确。 在AOO中，三边长为OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾股数， AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =9060=150。故结论正确。S四边形AOBO=SDAOO+SDOBO=00000011故结论错误。 34+423=6+43。22如图所示，将AOB绕点A逆时针旋转60，使得AB与AC重合， 点O旋转至O点易知AOO是边长为3的等边三角形，COO是边长为3、4、

4、5直角三角形。 113393=6+则SDAOC+SDAOB=SAOCO=SDCOO+SDAOO=34+3。 2224故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选A。 3. 如图，P是等腰直角ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90到BP，已知APB=135，PA：PC=1：3，则PA：PB=。 A1：2 B1：2 C3：2 D1：3 3、如图，连接AP，BP绕点B顺时针旋转90到BP，BP=BP，ABP+ABP=90。 又ABC是等腰直角三角形，AB=BC，CBP+ABP=90，ABP=CBP。 在ABP和CBP中， BP=BP，ABP=CBP，AB=BC ，ABPCBP。 AP=PC。PA：P

5、C=1：3，AP=3PA。 连接PP，则PBP是等腰直角三角形。BPP=45，PP= 2 PB。 APB=135，APP=135-45=90，APP是直角三角形。设PA=x，则AP=3x， 在RtAPP中，PP=AP2-PA2=(3x)2-x2=22 x。在RtAPP中，PP=2PB。 2PB=22 x，解得PB=2x。PA：PB=x：2x=1：2。 故选B。 4. 点P是正方形ABCD边AB上一点，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90，得线段PE，连接BE，则CBE等于 A75 B60 C45 D30 4过点E作EFAF，交AB的延长线于点F，则F=90， 四边形ABCD为正方形，AD=

6、AB，A=ABC=90。ADP+APD=90。 由旋转可得：PD=PE，DPE=90，APD+EPF=90。 ADP=EPF。在APD和FEP中，ADP=EPF，A=F，PD=PE， APDFEP。AP=EF，AD=PF。 又AD=AB，PF=AB，即AP+PB=PB+BF。AP=BF。BF=EF 又F=90，BEF为等腰直角三角形。EBF=45。 又CBF=90，CBE=45。故选C。C。 5. 如图，等边ABC的周长为6，半径是1的O从与AB相切于 点D的位置出发，在ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相 切于点D的位置，则O自转了： A2周 B3周 C4周 D5周 5该圆运动

7、可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数：O在三边运动时自转周数：62 =3：O绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360，即一周。O自转了3+1=4周。故选C。 二、填空题 6. 如图，四边形ABCD中，BAD=BCD=90,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm.则AC长是 cm. 6如图，将ADC旋转至ABE处，则AEC的面积和四边形ABCD的面积一样多为24cm，,这时三角形AEC为等腰直角三角形，作边EC上的高AF，则AF=20211222EC=FC, SAEC= AFEC=AF2=24 。AF=24。AC=2AF=48 2

8、2AC=43。 7. 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，BAE的大小可以是 7正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解： 当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1， 正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，AB=AD，AE=AF。 当BE=DF时，在ABE和ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF， ABEADF。BAE=FAD。 EAF=60，BAE+FAD=30。BAE=FAD=15。 当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转小于180时，如图2， 同上可得A

9、BEADF。BAE=FAD。EAF=60，BAF=DAE。 9060BAFDAE=360，BAF=DAE=105。 BAE=FAD=165。 当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转大于180时，如图3， 同上可得ABEADF。BAE=FAD。EAF=60，BAE=90， 90DAE=60DAE，这是不可能的。 此时不存在BE=DF的情况。综上所述，在旋转过程中，当BE=DF时，BAE的大小可以是15或165。 000008. 如图，在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD将BCD绕点B逆时针旋转60得到BAE，连接ED若BC=10，BD=9，则AED的周长是_ _. 8BCD绕点

10、B逆时针旋转60得到BAE， 根据旋转前、后的图形全等的旋转性质，得，CD= AE，BD=BE。ABC是等边三角形，BC=10，AC= BC=10。AEAD=AC=10。又旋转角DBE=60，DBE是等边三角形。DE=BD=9。AED的周长=DEAEAD=910=19。 三、解答题 9. 在ABC中，BA=BC，BAC=a，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQ。 若a=60且点P与点M重合，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形， 并写出CDB的度数； 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的 大小，并加

11、以证明； 对于适当大小的a，当点P在线段BM上运动到某一位置时，能使得 线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出a的范围。 9解：补全图形如下：CDB=30。 作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD， AB=BC，M是AC的中点，BMAC。AD=CD，AP=PC，PD=PD。 在APD与CPD中，AD=CD， PD=PD， PA=PCAPDCPD。 AP=PC，ADB=CDB，PAD=PCD。 又PQ=PA，PQ=PC，ADC=2CDB，PQC=PCD=PAD。 PAD+PQD=PQC+PQD=180。APQ+ADC=360=180。ADC=180APQ=180

12、2，即2CDB=1802。 CDB=90。4560。 利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出CMQ是等边三角形，即可得出答案：BA=BC，BAC=60，M是AC的中点，BMAC，AM=AC。 将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ，AM=MQ，AMQ=120。 CM=MQ，CMQ=60。CMQ是等边三角形。ACQ=60。CDB=30。 首先由已知得出APDCPD，从而得出PAD+PQD=PQC+PQD=180，即可求出。 由得出CDB=90，且PQ=QD，PAD=PCQ=PQC=2CDB=1802。 点P不与点B，M重合，BADPADMAD。21802，4560。 010. 在平面直角坐

13、标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为，将此矩形绕O点逆时针旋转90，得到矩形OABC 写出点A、A、C的坐标； 设过点A、A、C的抛物线解析式为y=ax+bx+c，求此抛物线的解析式； 试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在中的抛物线上？若能，求出此时m的值 10 解：四边形ABCD是矩形，点B的坐标为， A，C。 矩形OABC由矩形OABC旋转90而成， A，C。设过点A、A、C的抛物线解析式为y=axbxc， A，A，C， 22 am2+bm+c=0 a=-1 2c=m ，解得b=m-1 。此抛物线的解析式为：y=xxm。 a-b+c=0c=m点

14、B与点D关于原点对称，B，点D的坐标为：， 假设点D在中的抛物线上，0=m=1，即2m2m1=0， =422=40，此方程无解。点D不在中的抛物线上。 先根据四边形ABCD是矩形，点B的坐标为，求出点A、C的坐标，再根据图形旋转的性质求出A、C的坐标即可。 设过点A、A、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、A、C三点的坐标代入即可得出abc的值，进而得出其抛物线的解析式。 根据关于原点对称的点的坐标特点用m表示出D点坐标，把D点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可。 22211. (1)如图1，在ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足DBE=11ABC(0CBEABC)

15、。22以点B为旋转中心，将BEC按逆时针方向旋转ABC，得到BEA，连接DE。求证：DE=DE. 如图2，在ABC中，BA=BC，ABC=90，D，E是AC边上的两点，且满足DBE=45).求证：DE=AD+EC. 11证明：BEA是BEC按逆时针方向旋转ABC得到， 2221ABC(0CBE211ABC，ABDEBC =ABC。 2211 ABDEBA =ABC，即EBD=ABC。22 BE=BE，EBA=EBC。DBE=EBD=DBE。在EBD和EBD中，BE=BE，EBD=DBE，BD=BD，EBDEBD。DE=DE。 以点B为旋转中心，将BEC按逆时针方向旋转ABC=90，得到BEA，

16、连接DE 由知DE=DE。由旋转的性质，知EA=EC，E AB=ECB。又BA=BC，ABC=90，BAC=ACB=45。 E AD=E ABBAC=90。 在RtDEA中，DE=AD+EA，DE=AD+EC。 由旋转的性质易得BE=BE，EBA=EBC，由已知DBE=EBD=DBE，从而可由SAS得EBDEBD，得到DE=DE。 由的启示，作如的辅助图形，即可得到直角三角形DEA，根据勾股定理即可证得结论。 2222221ABC经等量代换可得 212. 在平面直角坐标xOy中，正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BEDB交x轴于点E.

17、求经过点D、B、E的抛物线的解析式； 将DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交中的抛 物线于M，如果点M的横坐标为121，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由. 52过中的点F的直线交射线CB于点P，交中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使PFE为等腰三角形，求Q点的坐标. 12解：BEDB交x轴于点E，OABC是正方形，DBC=EBA。 在BCD与BAE中，BCD=BAE=90， BC=BA ，DBC=EBA ， BCDBAE。AE=CD。OABC是正方形，OA=4，D是OC的中点， A，B，C，D，E 设过点D，B，E的抛物线解析式为y=ax+bx+

18、c，则有： 5c=2a=-12。 16a+4b+c=4，解得 13b=36a+6b+c=06c=22经过点D、B、E的抛物线的解析式为：y=-结论OF=5213x+x+2。 1261DG能成立理由如下：由题意，当DBE绕点B旋转一定的角度后，同理可证得BCGBAF，212513241224AF=CG。xM=，yM=-xM2+xM+2=。M51265551224设直线MB的解析式为yMB=kx+b，M， ）5524112k=-1k+b=5。 5，解得2。yMB=-x+6。G2b=64k+b=4CG=2，DG=4。AF=CG=2，OF=OAAF=2，F。OF=2，DG=4，结论OF=如图，PFE为

19、等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下： 若PF=FE。FE=4，BC与OA平行线之间距离为4， 此时P点位于射线CB上。F，P。 此时直线FPx轴。来xQ=2。yQ=-1DG成立。 2521314xQ+xQ+2=， 1263Q1。若PF=PE。 3如图所示，AF=AE=2，BAFE，BEF为等腰三角形。 此时点P、Q与点B重合。Q2。 若PE=EF。FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，此时P点位于射线CB上。E，P。 2k+b=0k=1设直线yPF的解析式为yPF=kx+b，F，P，解得。yPF=x2。 6k+b=4b=-252132x+x+2=x-2，化简得5x14x48=0， 12

20、62414242414解得x1= ，x2=2。xQ=2。yQ=xQ2=。 -2=。Q355555142414综上所述，Q点的坐标为Q1或Q2或Q3355Q点既在直线PF上，也在抛物线上，-由正方形的性质和BCDBAE求得E点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式。 求出M点坐标，然后利用待定系数法求直线MB的解析式，令x=0，求得G点坐标，从而得到线段CG、DG的长度；由BCGBAF，可得AF=CG，从而求得OF的长度比较OF与DG的长度，它们满足OF= 1DG的关系，所以结论成立；分PF=FE、PF=PE和PE=EF三种情况，逐一讨论并求解。 213. 如图，在ABC和ADE中，AB=AC，

21、AD=AE，BAC=DAE=90 当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图1中的ADE绕点A顺时针旋转角，如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由 当ABC和ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在中的位置关系仍然成立？不必说明理由 甲：AB：AC=AD：AE=1，BAC=DAE90； 乙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE=90； 丙：AB：AC=AD：AE1，BAC=DAE90 13解：结论：BD=CE，BDCE。结论：BD=CE，BDCE。理由如下： BAC=DAE=90，BADDAC=D

22、AEDAC，即BAD=CAE。 在RtABD与RtACE中，AB=AC，BAD=CAE ，AD=AE， ABDACE。BD=CE。延长BD交AC于F，交CE于H。 在ABF与HCF中，ABF=HCF，AFB=HFC， CHF=BAF=90。BDCE。 结论：乙AB：AC=AD：AE，BAC=DAE=90。 全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。 BD=CE，BDCE。根据全等三角形的判定定理SAS推知ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等ABF=ECA；然后在ABD和CDF中，由三角形内角和定理可以求得CFD=90，即BDCF。 BD=CE，BDC

23、E。根据全等三角形的判定定理SAS推知ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等ABF=ECA；作辅助线BH构建对顶角ABF=HCF，再根据三角形内角和定理证得BHC=90。 根据结论、的证明过程知，BAC=DFC时，该结论成立了，所以本条件中的BAC=DAE90不合适。 14. 已知，在ABC中，AB=AC。过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角q，直线a交BC边于点P，BMN的边MN始终在直线a上，且BM=BN，连接CN。 当BAC=MBN=90时， 如图a，当q=45时，ANC的度数为_； 如图b，当q45时，中的结论是否发生变化？说明理

24、由； 如图c，当BAC=MBN90时，请直接写出ANC与BAC之间的数量关系，不必证明。 14解：45。不变。理由如下过B、C分别作BDAP于点D，CEAP于点E。BAC =90，BADEAC=90。BDAP，ADB =90。ABDBAD=90。ABD=EAC。又AB=AC，ADB =CEA=90，ADBCEA。AD=EC，BD=AE。BD是等腰直角三角形NBM斜边上的高，BD=DN，BND=45。BN=BD=AE。DNDE=AEDE，即NE=AD=EC。 NEC =90，ANC =45。ANC =9001BAC。 2BM=BN，MBN=90，BMN=BNM=45。 又CAN=45，BMN=C

25、AN。又AB=AC，AN=AN，BMNCAN。ANC=BNM=45。 过B、C分别作BDAP于点D，CEAP于点E。通过证明ADBCEA从而证明CEN是等腰直角三角形即可。 如图，由已知得： =1802ABC1 =180261 =6 =3456 =656=5。 点A、B、N、C四点共圆。 ANC =ABC =900001BAC。 215. 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG 求证：EG=CG； 将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，

26、请说明理由 将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？ D A A D A F G G E E E F C C B F B 第15题图 第15题图 C B 第15题图 15 解：证明：在RtFCD中， G为DF的中点， CG=11FD 1分同理，在RtDEF中， EG=FD 2分 22来源学#科#网Z#X#X#K CG=EG3分中结论仍然成立，即EG=CG4分 证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点 在DAG与DCG中， M D A AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， G DAGDCG AG=C

27、G5分 E F N 在DMG与FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， C N B DMGFNG 图 MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 6分 在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG M EG=CG 8分 证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC， 4分 D A 在DCG 与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG， DCG FMGMF=CD，FMGDCG G MFCDAB5分EFMF E F 在RtMFE 与RtCBE中， MF=CB，EF=BE，MFE CBE MEF=CEB6分 C B MECME

28、FFECCEBCEF90 7分 MEC为直角三角形 MG = CG， EG= EG=CG8分 中的结论仍然成立， 1MC 2E A 图 D F G B 图 C 即EG=CG其他的结论还有:EGCG10分 16、如图1，点A是线段BC上一点，ABD和ACE都是等边三角形 连结BE，CD，求证：BE=CD； 如图2，将ABD绕点A顺时针旋转得到ABD 当旋转角为 60 度时，边AD落在AE上； 在的条件下，延长DD交CE于点P，连接BD，CD当线段AB、AC满足什么数量关系时，BDD与CPD全等？并给予证明 16、解 证明：ABD和ACE都是等边三角形 AB=AD，AE=AC，BAD=CAE=60

29、， BAD+DAE=CAE+DAE，即BAE=DAC， 在BAE和DAC中， ，BAEDAC，BE=CD； 解：BAD=CAE=60，DAE=180602=60，边AD落在AE上， 旋转角=DAE=60； 当AC=2AB时，BDD与CPD全等 理由如下：由旋转可知，AB与AD重合，AB=BD=DD=AD，四边形ABDD是菱形， ABD=DBD=ABD=60=30，DPBC， ACE是等边三角形，AC=AE，ACE=60，AC=2AB，AE=2AD， PCD=ACD=ACE=60=30，又DPBC， ABD=DBD=BDD=ACD=PCD=PDC=30， 在BDD与CPD中， ，BDDCPD 故

30、答案为：60 D 17. 如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若MBN=45，易证MN=AM+CN 如图2，在梯形ABCD中，BCAD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若MBN= 1ABC，试探2究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明 如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC+ADC=180，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若MBN= 1ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明 217 解：MN=AM+CN 理由如下： 如图，BCAD，AB=BC=CD， 梯形ABCD是等腰梯形， A+BC

31、D=180， 把ABM绕点B顺时针旋转90到CBM，则ABMCBM， AM=CM，BM=BM，A=BCM，ABM=MBC， BCM+BCD=180， 点M、C、M三点共线， MBN=12ABC， MBN=MBC+CBN=ABM+CBN=ABC-MBN=12ABC， MBN=MBN， BM在BMN和BMN中，=BMMBN=MBN， BN=BNBMNBMN，MN=MN， 又MN=CM+CN=AM+CN，MN=AM+CN； MN=CN-AM 理由如下：如图，作CBM=ABM交CN于点M， ABC+ADC=180， BAD+C=360-180=180， 又BAD+BAM=180， C=BAM， CBM=ABM在ABM和CBM中，AB=BC， C=BAMABMCBM， AM=CM，BM=BM，MBN=1ABC， 2MBN=ABC-=ABC-=ABC-MBN=1ABC， 2BM=BMBN， MBN=MBN，在MBN和MBN MBN=MBN=BNMBNMBN， MN=MN， MN=CN-CM=CN-AM， MN=CN-AM 点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角互补，利用旋转变换作辅助线，构造出全等三角形，把MN、AM、CN通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求较高