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1、数学物理方程与特殊函数试数学物理方程与特殊函数试卷 学院 专业班级 姓名 学号 一 填空 1对于一般的二阶线性偏微分方程2u2u2uuuA2+2B+C2+D+E+Fu=0 它的特征方程为 xyxyxy A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0 ，若在域内B2-AC0 , 则此域内称为双曲型。 2 第一类格林公式(u2v)dv= uWGvdS-uvdV nWuv 第二类格林公式 (u2v-v2u)dv=u-vdS nnGW3 已知P0(x)=1,P则 P2(x)=1(x)=x，1(3x2-1) ；而函数f(x)=3x2+5x-12按P1(x)的展开式为 f(x)=2p2(x)-5p1(x)
2、2u2u=a4一维热传导方程 可用差分方程tx2u(x,t+Dt)-u(x,t)u(x+Dx,t)-2u(x,t)+u(x-Dx,t) =a2Dt(Dx)22u2u+=0可用差分方近似代替。二维拉普拉斯方程22xyu(x+Dx,y)-2u(x,y)+u(x-Dx,y)u(x,y+Dy)-2u(x,y)+u(x,y-Dy)+=0 (Dx)2(Dy)2 近似代替。 0,mn;5 勒让德多项式的正交性Pm(x)Pn(x)dx= 2 ，-1,mn.2n+11当kpn,kN 时，xkPn(x)dx=0 。 -12u2ut=ax2,0x0,KK(1);u(0,t)=u(l,t)=0,KK(2); 二用分离
3、变量法求的解。 u(x,0)=x(l-x),KK(3)1解：用分离变量法求解，先设满足边界条件且是变量被分离形式的特解为u(x,t)=X(x)T(t)代入方程得T(t)X(x)上式左端不含有x，右端不含=a2T(t)X(x)有t，所以T(t)X(x)2KKK(4) =-b2X(x)aT(t)从而得到两个线性常微分方程 T+a2b2T=0KK(5) X+b2X=0KKK(6) 解得 X(x)=Acosbx+Bsinbx，由得，A=0,Bsinbl=0，bn=相应的固有函数为Xn(x)=Bnsinnp，及lnpx KK(7) ，再由得，lTn(t)=Ane-bn2a2tKK(8) -bn2a2t由
4、，得un(x,t)=Xn(x)Tn(t)=CnnesinbnxK(n=1,2,L)其中Cn=AnBn 2t由，得 u(x,t)=un(x,t)=Cne-bn=1n=12nasinbnxLL(9)又由u(x,0)=lcn=1nsinbnx=x(l-x) 24l2得 cn=x(l-x)sinbnxdx=331-(-1)nLL(10) l0np所以，原定解问题的解为u(x,t)=4l2p3n=11-(-1)en-b2na2tn3sinbnx 2u=x2y;xy三求方程u(x,0)=x2; 的解。 u(1,y)=cosyx3y2+j1(y)+j2(x)LL(4)其中解：对两端积分的通解u(x,t)=6
5、，得 j1(y),j2(x)为任意二阶可导函数，令满足u(x,0)=j1(0)+j2(x)=x2; 解之得y2+j1(y)+j2(1)=cosyu(1,y)=6y2j1(y)=cosy-1+j1(0)LL(5) 6j2(x)=x2-j1(0)LL(6)x3y2y2-+x2+cosy-1 将，代入得u(x,t)=662u2u2u+2-32=0KKK(1);x2xyy四求柯西问题 的解。 u(x,0)u(x,0)=3x2,=0KKK(2)y解；先确定所给方程的特征线。为此，写出它的特征方程 (dy)2-2dxdy-3(dx)2=0 它的两族积分曲线为3x-y=C1x+y=C2x=3x-y,2u作特征变换=0 LL(4)经过变换原方程化成h=x+y,xh它的通解为u=f1(x)+f2(h),其中f1,f2 是两个任意二次连续可微的函数。方程的通解为u(x,y)=f1(3x-y)+f2(x+y),LL(5) 2f(3x)+f(x)=3xLL(6)21由得 -f1(3x)+f2(x)=0LL(7)1由得-f1(3x)+f2(x)=C,LL(8) 3
