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1、数学物理方法第二篇第3章第三章 行波法和通积分法 2.3.1一维波动方程哥西问题达朗贝尔公式 无限长均匀弦的自由振动归结为一维齐次波动方程的哥西问题： utt-a2uxx=0,(-x0) u(x,0)=j(x),ut(x,0)=y(x)这个方程的特征方程为 (dxdt)-a22=0， 所以波动方程是双曲型方程，有两组实的特征线 x-at=c1，x+at=c2， 作自变量的变换，令 x=x-at，h=x+at， 应用复合函数求导法则，有 ut=ux(-a)+uha=-aux+auh, ux=ux1+uh1=ux+uh, utt=auxx-2auxh+auhh, uxx=uxx+2uxh+uhh2
2、22, 代入波动方程中，化简得 uxh=0， 利用偏导数的意义，得通解 - 1 - u(x,t)=F(x)+G(h)=F(x-at)+G(x+at)， 其中F和G是任意二阶连续可微函数. 由u(x,t)满足的初始条件来确定F和G的具体形式，于是 得函数方程 F(x)+G(x)=j(x), -aF(x)+aG(x)=y(x)积分第二式得 -F(x)+G(x)=1axy(a)dax0+C，C为积分常数. 从而得 F(x)=1212j(x)-12a12axy(a)da-x0xC2C2， G(x)=j(x)+y(a)da+x0故得一维齐次波动方程哥西问题的解 u(x,t)=12j(x-at)+j(x+
3、at)+12ax+aty(a)da, x-at这就是著名的达朗贝尔公式. 通常称F(x-at)为右传播波，称G(x+at)为左传播波，a为速度.所以这种解波动方程哥西问题的方法称为行波法，在数学上又叫通积分法. - 2 - 例1. 一端运动的半无限长均匀弦的自由振动，归结为求解下面的初边值问题： utt-a2uxx=0,(0x0)(t0) u(0,t)=m(t),u(x,0)=j(x),u(x,0)=y(x),(0x+)ta是波的传播速度，当xat时，端点u(0,t)=m(t)的波动不会对解u(x,t)产生影响，所以这时 u(x,t)=12j(x-at)+j(x+at)+12ax+at特别地，
4、当x=at时，有 u(at,t)=12j(0)+j(2at)+12a2aty(a)da0g(t) 是已知函数. 现在只需确定问题在0xat处的解，由通解式 u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)，分别令x=0与x=atF(-at)+G(at)=u(0,t)=m(t),F(0)+G(2at)=u(at,t)=g(t)可得 由此导出，G(b)=g(b2a)-F(0)， )-G(-b)=m(- F(b)=m(-从而有 baba)-g(-b2a)+F(0) u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) - 3 - =m(at-xa)-g(at-x2a)+g(x+at2a) =m(t-xa)+12
5、j(x+at)-j(at-x)+12ax+aty(a)daat-x， 故一端运动的半无限长均匀弦的自由振动问题的解为 x+at11y(a)da,j(x-at)+j(x+at)+2ax-at2u(x,t)=x+atx11m(t-)+j(x+at)-j(at-x)+y(a)da,a22aat-x(xat)(0xat) 例2. 一端受力作用的半无限长均匀弦的自由振动问题. utt-a2uxx=0,(0x0)(t0)ux(0,t)=m(t),u(x,0)=j(x),ut(x,0)=y(x),因为a是波的传播速度，当xat时，同样，端点x=0的波动ux(0,t)=m(t)不会对解u(x,t)产生影响，因
6、此在x-at0时有 u(x,t)=12j(x-at)+j(x+at)+12ax+at为了满足边界条件，为此求导得： ux(x,t)=12j(x-at)+j(x+at)+12ay(x+at)-y(x-at)， 于是当x=at时，有 ux(at,t)=12j(0)+j(2at)+12aDy(2at)-y(0)=h(t)， 在0xat时的解 u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)， - 4 - 就有 ux(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 当x=0时得： F(-at)+G(at)=ux(0,t)=m(t) 即 F(x)=m(-)-G(x)， a-xxa积分得 F(x)=-am(t)dt
7、+G(-x)， 0由ux(at,t)=h(t)，得 F(0)+G(2at)=h(t)， 即 G(h)=h(积分之，有 h2a)-F(0) h2aG(h)=2ah(t)dt0-F(0)h 这样，在0xat时，有 u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) xa=12j(x+at)+j(at-x)+12ax+aty(a)da+012aat-xt-y(a)da0-am(t)dt 0- 5 - 11+j(0)-y(0)-F(0)(2at) 22a11注意到 F(0)=j(0)-y(0)，因此得解 22ax+atj(x-at)+j(x+at)1+y(a)da,22ax-atx+atu(x,t)=j(x
8、+at)+j(at-x)11+y(a)da+22a02a(xat)at-xt-xay(a)da-am(t)dt,00(0xat) 例3. 求解Cauchy问题： u3uxx+10uxy+3uyy=64y=x2=4x,uxy=x=4x+cosx解： 写出特征方程 3(dydx)-102dydx+3=0得 3dy-dx=0 或 dy-3dx=0 得到特征线 3y-x=c1，y-3x=c2，c1,c2为任意常数. 令 x=3y-x，h=y-3x， 化简原方程为 -64uxh=64 即 uxh=1 得通解有 u=-xh+F(x)+G(h) 这里F，G为二阶可微函数. - 6 - 因此得原方程的通解 u
9、(x,y)=-(3y-x)(y-3x)+F(3y-x)+G(y-3x). 由uy=x=4x2有 4x+F(2x)+G(-2x)=4x22, 得函数方程 F(x)+G(-x)=0, 由ux(x,x)=4x+cosx，而 ux(x,y)=10y-6x-F(3y-x)-3G(y-3x)得 4x-F(2x)-3G(-2x)=4x+cosx, 所以 F(x)+3G(-x)=-cosx2x2, 积分得 F(x)-3G(-x)=-2sin+C, 这样就有 F(x)=-sin21x2+C4，G(x)=-sin21x2-C4, 因此问题的解 u(x,y)=(x-3y)(y-3x)+12sinx-3y2+12si
10、n3x-y2. 例4. 求方程 xuxx+2xyu2xy+yuyy+yuy=22y3x 的通解. 解：写出特征方程 x2(dydx)-2xy2dydx+y2=0 - 7 - 由于D=(-xy)2-x2y2=0，所以方程是抛物型的方程，解得一族特征线：xdy-ydx=0, 有 作变量变换： x=yxyx=c1，c1为实常数. ，h=y， -=yx1x2D(x,h)D(x,y)0=-1yx20， 这样原方程可化为 uhh+uh=x，(y0) 得通解 u=xh-f(x)e-h+g(x), 故得方程的通解有 u(x,y)=yy-yy-fe+g, xxx2其中 f和g为任意二阶可微函数. 2.3.2一维
11、非齐次波动方程的Cauchy问题 一维非齐次波动方程的Cauchy问题: utt-a2uxx=f(x,t),(-x0) ut(x,0)=y(x),(-x+)u(x,0)=j(x),利用线性方程的叠加原理，考虑如下两个Cauchy问题： 2vtt-avxx=0,(-x0)问题I： v(x,0)=j(x),v(x,0)=y(x),(-x+)t- 8 - 它的解为 v(x,t)=j(x-at)+j(x+at)2+12ax+aty(a)da x-atutt-a2uxx=f(x,t),(-x0)问题II： u(x,0)=0,ut(x,0)=0,(-xt) wt(x,t;t)=f(x,t)w(x,t;t)
12、=0,的解，则函数 t u(x,t)=w(x,t;t)dt 0是问题II的解. tt 事实上，ut=w(x,t;t)+wt(x,t;t)dt=wt(x,t;t)dt 0t0tutt=wt(x,t;t)+wtt(x,t;t)dt=f(x,t)+wtt(x,t;t)dt 0t0uxx=w0xx(x,t;t)dt - 9 - t由此 utt-auxx=f(x,t)+wtt(x,t;t)-a2wtt(x,t;t)dt=f(x,t). 02表明u(x,t)满足问题II中的方程，满足初始条件是显然的. 对于这个问题的解，令t=t-t，这样把初始时刻是t的转化为t=0，问题就变为 2(t0)wtt-awxx
13、=0, w=0,w=f(x,t)tt=0t=0由达朗贝尔公式得 w(x,t+t;t)=于是得解 w(x,t;t)=这样问题II的解为 u2(x,t)=12ax+a(t-t)12ax+atx-atf(a,t)da, f(a,t)da, x-a(t-t)2a1tx+a(t-t)f(a,t)dadt, 0x-a(t-t)从而得一维非齐次波动方程的Cauchy问题的解有 u(x,t)=j(x-at)+j(x+at)2+12ax+aty(a)dax-at+2a1tx+a(t-t)f(a,t)dadt. 0x-a(t-t)2.3.3高维波动方程的Cauchy问题 对于三维波动方程的Cauchy问题的提法是
14、 - 10 - utt=a2Dua2(uxx+uyy+uzz) u(x,y,z,0)=j(x,y,z),ut(x,y,z,0)=y(x,y,z)用球面平均值法求解. 现在将一维波动方程Cauchy问题的达朗贝尔解改写成 u(x,t)=tx+att2atx-atj(a)da+2aty(a)da x-attx+at分析一下这个解的特点： (1)12atx+atc(a)dax-at是被积函数c(a)在区间x-at,x+at上的算术平均值；积分值的大小依赖于区间中点x和区间的半径长at，因此它是两个变量(x,t)的函数，记为v(x,t)=12atx+atc(a)dax-at. tv(x,t)t (2)
15、c(x)是一个任意函数，但u1(x,t)=tv(x,t)，u2(x,t)=都满足方程 utt=a2uxx. (3)只要令c(x)=y(x)，则u1(x,t)满足初始条件u1t(x,0)=y(x)；若令c(x)=j(x)，那么u2(x,t)就满足初始条件u2(x,0)=j(x)，因此，叠加后的u(x,t)=u1(x,t)+u2(x,t)都满足初始条件：u(x,0)=j(x)，ut(x,0)=y(x). 由此，启发我们仿照此就可构成三维波动方程Cauchy问题的达朗贝尔解： - 11 - M球面方程：(x-x)2+(h-y)2+(z-z)2=a2t2，记为Sat； M球心：(x,y,z)；球半径：
16、at；球面Sat的面积：4pa2t2. M这样任意函数c(x,y,z)在球面Sat上的平均值为 v(x,y,z,t)=14pat222ppc(x,h,z)dS00=14p2ppc(x,h,z)ds00, M这里球面Sat上的点(x,h,z)满足参数方程： x=x+atsinqcosjh=y+atsinqsinj z=z+atcosqdS=atsinqdqdj22， ds=sinqdqdj 这样对于三维波动方程Cauchy问题： utt=a2Dua2(uxx+uyy+uzz) u(x,y,z,0)=j(x,y,z),ut(x,y,z,0)=y(x,y,z)的解为 u(M,t)=u(x,y,z,t
17、)=22t4patt4pat22t2ppj(x,h,z)dS002pp+y(x,h,z)dS 002pp=t4pt2ppj(x,h,z)ds+4py(x,h,z)ds0000t这就是泊松公式，用球面平均值方法得到的. - 12 - 例5利用泊松公式求解波动方程的Cauchy问题 2utt=a(uxx+uyy+uzz)2u=0,u=x+yztt=0t=0解：这里j(x,y,z)=0，y(x,y,z)=x2+yz，令 x=x+atsinqcosj，h=y+atsinqsinj，z=z+atcosq 由泊松公式得问题的解 u=14pat4p2pp(x+atsinqcosj)0022+(y+atsin
18、qsinj)(z+atcosq)atsinqdqdj13 =4p(x+yz)+4p3(at)=(x+yz)t+22at23例6试用降维法导出二维波动方程Cauchy问题的解. 二维波动方程的Cauchy问题： utt=a2(uxx+uyy),(-x,y0) u(x,y,0)=j(x,y),ut(x,y,0)=y(x,y),(-x,yt，t为参数，考虑问题 wtt=a2Dww(x,y,z,t;t)=0w(x,y,z,t;t)=f(x,y,z;t)t则由泊松方程得解 w(x,y,z,t;t)=t-t4p2pp00fx+xa(t-t),y+ha(t-t),z+za(t-t),tds其中 x=sinqcosj，h=sinqsinj，z=cosq，那么容易验证函数 tu(x,y,z,t)=w(x,y,z,t;t)dt0- 14 - =14pt2pp(t-t)000fx+xa(t-t),y+ha(t-t),z+za(t-t),tdsdt就是带齐次初始条件的Cauchy问题的解. - 15 -
