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1、数据结构时间复杂度的计算数据结构时间复杂度的计算 for(i=1;i=n;i+) for(j=1;j=i;j+) for(k=1;k=j;k+) x+; 它的时间复杂度是多少？ 自己计算了一下，数学公式忘得差不多了，郁闷； 时间复杂性是什么？ 时间复杂性就是原子操作数，最里面的循环每次执行j次，中间循环每次执行 ai=1+2+3+.+i=i*(i+1)/2次 ，所以总的时间复杂性=a1+.+ai+.+an; a1+.+ai+.+an =1+(1+2)+(1+2+3)+.+(1+2+3+.+n) =1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+.+n*(n-(n-1) =n+2n+3n+.+n*n-(
2、2*1+3*2+4*3+.+n*(n-1) =n(1+2+.+n)-(2*(2-1)+3*(3-1)+4*(4-1)+.+n*(n-1) =n(n(n+1)/2-(2*2+3*3+.+n*n)-(2+3+4+.+n) =n(n(n+1)/2-(1*1+2*2+3*3+.+n*n)-(1+2+3+4+.+n) =n(n(n+1)/2-n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 所以最后结果是O(n3)。 时间复杂度的计算 算法复杂度是在数据结构这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多同学复习起来无从下手，下面我们就这个
3、问题给各位考生进行分析。 首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。 当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n)简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。 此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。 常见的时间复杂度，按
4、数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n2)、立方阶O(n3)、k次方阶O(nk)、指数阶O(2n)。 下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。 1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n3+n2+1000 , g(n)=25n3+5000n2 , h(n)=n1.5+5000nlgn 请判断下列关系是否成立： f(n)=O(g(n) g(n)=O(f(n) h(n)=O(n1.5) h(n)=O(nlgn) 这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n)，这里的O是数学符号
5、，它的严格定义是若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n)表示存在正的常数C和n0 ,使得当nn0时都满足0T(n)C?f(n)。用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。这么一来，就好计算了吧。 (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n3,因此当n时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。 成立。与上同理。 成立。与上同理。 不成立。由于当n时n1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。 2、设n为正整数，利用大O记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。 (
6、1) i=1; k=0 while(i1 while (x=(y+1)*(y+1) y+; 解答：T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2)，最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。 (3) x=91; y=100; while(y0) if(x100) x=x-10;y-; else x+; 解答： T(n)=O(1)，这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们看到n没有? 没。这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。 - 1.1 大O表示法 上学的时候就学习了大O表示法表示一个算法的效率，
7、也大概明白怎么回事，知道如果没有循环的一段程序的复杂度是常数，一层循环的复杂度是O(n),两层循环的复杂度是O(n2)? 。但是一直对于严格的定义和用法稀里糊涂。 1.1.1 定义 设一个程序的时间复杂度用一个函数 T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下： int seqsearch( int a, const int n, const int x) int i = 0; for (; ai != x & i n ; i+ ); if ( i = n) return -1; else return i; 这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。 在第一个元素就
8、找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次， ，在第n个元素找到需要比较n次。对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为: f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + . + 1) = (n+1)/2 = O(n) 这就是传说中的大O函数的原始定义。 1.1.2 用大O来表述 要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平均情况下的时间代价。对于最坏情况，采用大O表示法的一般提法是：当且仅当存在正整数c和n0,使得 T(n) = n0 都成立。则称该算法的渐进时间复杂度为T(n) = O(f(n)。这个应该是
9、高等数学里面的第一章极限里面的知识。这里f(n) = (n+1)/2, 那么c * f(n)也就是一个一次函数。 对于对数级，我们用大O记法记为O(log2N)就可以了。 1.1.3 加法规则 T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O ( max (f(n), g(m) ) 1.1.4 乘法规则 T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m) 1.1.5 一个特例 在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) O(c)， c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有 T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) ). 也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。 1.1.6 一个经验规则 有如下复杂度关系 c log2N n n * Log2N n2 n3 2n 3n n! 其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2n , 3n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。
