数理统计复习资料.docx

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1、数理统计复习资料概率论与数理统计复习提纲 一，事件的运算 如果A，B，C为三事件，则A+B+C为至少一次发生, A+B+C为至少一次不发生, AB+BC+AC和ABC+ABC+ABC+ABC都是至少两次发生, ABC+ABC+ABC为恰有两次发生. ABC+ABC+ABC为恰有一次发生, 等等, 要善于将语言翻译成事件运算公式以及将公式翻译成语言. 二, 加法法则与乘法法则 如A与B互不相容, 则P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B|A) 而对于任给的A与B有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (1) 因此, P(A+B),P(A),P(B),P(AB)这四

2、个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来. 而P(AB)=P(A)P(B|A), 因此P(A+B),P(A),P(B),P(B|A)只要知道三个, 剩下的一个就能够求出来. P(AB)=P(A)-P(AB)也是常用式子 三, 全概率公式和贝叶斯公式 及 设A1,A2,构成完备事件组, 则任给事件B有 P(B)=P(Ai)P(B|Ai) (全概率公式), iP(Am|B)=P(Am)P(B|Am),(m=1,2,.)(贝叶斯公式) P(Ai)P(B|Ai)i其中, 最常用的完备事件组, 就是一个事件A与它的逆A, 即任给事件A,B有 P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) P(A|

3、B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)通常是将试验想象为分为两步做, 第一步的结果将导致A或者A之一发生, 而这将影响到第二步的结果的事件B是否发生的概率. 如果是已知第一步的各事件概率及第一步各1 事件发生条件下第二步事件B发生的概率, 并要求B发生的概率, 就用全概率公式. 而如果是要求在第二步事件B已经发生条件下第一步各事件的概率, 就用贝叶斯公式. 四, 随机变量及分布 1. 离散型随机变量 一元: P(=xk)=pk (k=1,2,), 性质:pk=1 k二元: P=xk, =yj)=pij (i,j=1,2,) 边缘分布与联合分布的关系: Px=xi)

4、=pij=pi(1)jPh=yj)=pij=pi(2)j2. 连续型随机变量 b+xj(x), P(ax0x03 0它的分布函数为F(x)=-lx1-e七, 统计量 x0 x0假设x是总体, Ex=m, Dx=s2, 而(X1,Xn)是取自总体x的样本, 则 EXi=m, DXi=s2 (i=1,n) 1n1n2样本均值X=Xi, 样本方差S=(Xi-X)2 ni=1n-1i=1 样本标准差S=1n(Xi-X)2 n-1i=1 EX=m,DX=s2n八、典型例题 习题一 1为了防止意外，在矿内同时设有两种警报系统 ， 为 ，在 失灵条件下， 和 ，每种系统单独使用时，其有效概率 ，求： 为 有

5、效的概率为 发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率？ 失灵条件下， 有效的概率？ 解答 由题意可得 即 得 则 由题意可得 2三个箱子，第一个箱子中有 个黑球 个白球，第二个箱子中有 个黑球 个白球，第三个箱子有 个黑球 个白球，现在随机的取一个箱子，在从这个箱子中取一个球，问； 这个球是白球的概率？ 4 已知取出的球为白球，此球属于第二个箱子的概率？ 解答 设 从第 个箱子中取到白球 取到白球 由全概率公式可得 由贝叶斯公式可得 3假使有两箱同种零件：第一箱内装 件，第二箱内装 件，其中 件一等品，现在从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件，求： 先取的零件是一等品的

6、概率 ？ ？ 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的条件概率 解答 设被挑出的是第 箱 第 次取出的零件是一等品 则 ， , 由全概率公式可得 5 4袋中有 个球，其中有 个是新的，第一次比赛时从中任取 第二次比赛再从袋中任取 个，求： 第二次取出的球都是新球的概率？ 又已知第二次取出的球都是新球，第一次取到的都是新球的概率？ 解答 设 第 次取到新球 第二次取到新球 个用，比赛结束后仍放回袋中， 5设甲乙两袋，甲袋中装有 个白球， 个红球，乙袋中装有 个白球， 袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问取到白球的概率？ 从甲袋中取到白球 个红球，现在从甲解答 设 从甲

7、袋中取到红球 从乙袋中取到白球 6 则 6设有来自三个地区的各 名， 名和 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 份，份和 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份， 求先抽到的一份中是女生表的概率 ？ 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 ？ 解答 设报名表是 区考生的 第 次取到的报名表是男生的 则 ； , , 由全概率公式可得 7 于是 7 架长机和 架僚机一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地，非有无线电导航不可，而只有长机具有此项设备，一旦到达目的地，各机将独立的进行轰炸，且炸毁目的地的概率均为 ，在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空，此时任一机被击落

8、的概率为 ，求目标被炸毁的概率. 解答 目标被炸 长机到达目的地 长机与一架僚机到达目的地 长机与两架僚机到达目的地 表示长机到达 8 表示一架僚机到达 表示另一架僚机到达 习 题 二 一填空题 1设随机变量 ， ，若，可得，则 解答 则9 2 已知随机变量 只能取 四个数，其相应的概率依次为，则 解答 由，可得 ，解得 4设 在 上服从均匀分布，则方程 有实根的概率为 解答 方程有实根6已知 联合密度为，则 ， 的边缘概率密度 解答 由，可得 ，得 7设平面区域 由曲线及直线 关于 的边缘密度在 所围成，二维随机变量 处的值为 在 上服从均匀分布，则 10 解答 区域 的面积为 ，由题意可得

9、 的概率密度为 则 关于 的边缘密度在 处的值为 三证明题 2设 从参数为 是相互独立的随机变量，他们分别服从参数为 的泊松分布. 的泊松分布，证明： 服证明： 因为 ， 于是 =即 服从参数为 的泊松分布. 3设 是分布函数，证明：对于任意 ，函数也是分布函数. 证明：作积分变换 ，则 11 是分布函数，于是 即 是分布函数，对于任意 ，有 所以 是递增函数. 是分布函数，所以对 ，当 时， ，于是 由 任意性可知，即右连续. 因为 所以对 ，当 时， ，当 时， 于是当时 由 任意性可知 12 ， 当 时 由 任意性可知 综上所述， 四计算题 也是分布函数. 2某射手有 发子弹，射击一次命

10、中率为 ，如果他命中目标就停止射击，命不中就一直射击到用完 发子弹，求所用子弹数 的分布密度. 解答 由题意可得 的分布率为 即 的分布率为 6随机变量 的分布密度为求： 常数 . 分布函数 . 解答 由 的性质可得 即 13 当 时，当 时，当 时， 的分布函数为 所以 7设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差 具有分布密度函数 求： 测量误差的绝对值不超过 的概率. 的概率. 接连测量三次，每次测量是相互独立进行的，则至少有一次误差的绝对值不超过 解答 由题意可得 ，则 则 14 8设电子元件的寿命 具有密度为 问在 小时内， 三只元件中没有一只损坏的概率是多少？ 三只元件中全损坏的

11、概率是多少？ 只有一只元件损坏的概率是多少？ 解答 以表示第 只电子元件的寿命，以表示事件“在使用 小时内，第 只电子元件损坏”，则 9对圆片直径进行测量，其值在 上均匀分布，求圆片面积的概率分布. 解答 设圆片直径的测得值为 ，面积为 ，则，又 的分布密度为 由 ，有，在 为单调函数，则 ，则 15 故 11设 示 服从参数为的 分布，在 下，关于 的条件分布为表 ，表 所求 的联合概率分布，以及在 时，关于 的条件分布. 解答 由题意可知 ， ，所以 又 所以 的联合概率分布为 在 时，关于 的条件分布为 12设随机变量 解答 由题意可得 相互独立，并在 上服从均匀分布，求随机变量的分布密

12、度. 16 由于 相互独立，故 的联合分布密度函数为 当 时， ，所以 当 时，所以 当 所以 时，所以13设 相互独立，分布密度分别为 求随机变量 解答 由于 的分布密度. 相互独立，故 的联合分布密度函数为 17 则 的分布函数为当 时， 当 时，所以 的分布密度为 ，即 14设 相互独立，且在 上均匀分布，求使方程 解答 在 上均匀分布，则 的分布密度为 又 相互独立，所以 方程 有实根条件是 即 18 有实根的概率. 所以 15设 的密度为 求： ; 解答 16假设随机变量 服从参数为 的指数分布，随机变量 19 求 和 联合概率分布； 求 服从参数为 解答 随机变量 的指数分布，则由

13、题意可得 习 题 3 5设 ， ( 为正整数)，则 解答 由题意有 (奇函数) 所以 故 6设随机变量 在区间 上服从均匀分布，随机变量，则方差 解答 由题意可得 20 则 ，所以 7若随机变量 布， ， 相互独立，且服从相同的两点分布. ，则服从分解答 设 为事件发生的概率，则由题意可得 所以 一选择题 1设随机变量 与 独立同分布，记 独立 ，则随机变量 与 必然 不独立 相关系数为零 相关系数为零 解答 所以 与 互不相关，故选择 ，但 与 互不相关却不能推断出 与 相互独立. 2设，则 不存在 21 解答 由于4已知 与 与 为非收敛数列，所以 不存在,故应该选 . 的联合分布如下表所

14、示，则有 不独立 与 独立 与 解答 与 不相关 与 彼此独立且相关 的边缘分布律分别为 则可计算得 ，所以 与 相关，又 所以 与 不独立，故应该选 . 9随机变量 与 不相关的充分必要条件为 解答 不相关的充要条件是 ，则 即 ，于是 22 ，所以选 . 10人的体重 确的是 ， ， ， 个人的平均体重为 ，则下列结论正解答 由题意可知 ，则 所以应该选 三证明题 . 1设 是随机变量， 是常数，证明： ，其中 . 证明： 和 2设 为相互独立的随机变量，其分布密度为 ， 证明：他们的卷积，即随机变量 证明：由题意可知 和 服从 的分布密度也服从正态分布. 分布，则 23 令 ，得 即 也

15、服从 分布. 3设 证明：因为 相互独立，证明： 相互独立，所以 于是 又 从而 4设和为随机变量的任意两个可取值， 24 分别为其数学期望与方差，则 证明： 四计算题 1设 的分布律为，求 . 解答 2设随机变量 具有概率密度为，求 . 25 解答 3设随机变量 和 的联合分布为 求 解答 的概率分布为 则 4一汽车沿一街道行使需要通过三个设有红绿信号灯路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 ： 的概率分布； 解答 的取值应该为 ，且以表示事件“汽车在第 相互独立，则 个路口首次遇到红灯”，则 2

16、6 5设 的分布密度 求 . 解答 6设 服从区域 上的均匀分布，求相关系数 . 解答 因为 的面积为，故 和 的联合密度函数为 于是 即 27 则 又 则 7在长为 解答 设 的线段上任选两点，求两点间距离的数学期望与方差. 分别表示两点的坐标， 服从区域 上的均匀分布，其联合密度函数为 令 ，则 的分布密度为 28 当 时， 当 时， 于是当 时，区域包含整个正方形区域，则 即 则 密度函数为 所以 8设 为服从正态分布 的随机变量，且 相互独立，求 . 解答 29 9设随机变量 的分布函数为 求 . 解答 30 10设 的联合密度为 求 . 解答 所以 同理可得 又 31 故 11假设一

17、部机器在一年内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作，若一周 个工作日里无故障，可获利润 万元，发生一次故障仍可获利润 万元；发生二次故障所获利润 万元；发生三次或三次以上故障就要亏损 万元，求一周内期望利润是多少？ 解答 以 表示一周内机器发生故障天数，且 ，则 以 表示所获利润，则 (万元) 12设二维随机变量 的密度函数为 其中 和 和 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为. .他们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 32 求随机变量 问 与 和 的密度函数 和 ，及 和 的相关系数； 是否独立？为什么？ 解答 二维正态密度函数两个边缘密度都是正态密度函数，因此 密度为标准正态密度函数，即 和 两个边缘同理可得 由于 ， ，则 ， 又 所以相关系数 由题意可设 由于 ,所以 与 不独立. 33 34