数理经济学第10章 具有约束方程的最优化.docx

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1、数理经济学第10章 具有约束方程的最优化第10章 具有约束方程的最优化 10.1 基本约束优化问题 10.2 一阶必要条件 10.3 二阶充分条件 10.4 最优解的比较静态分析 10.5 Lagrange乘子的数学含义 10.6 目标函数最优值的比较静态分析 10.1 基本约束优化问题 一般标准的极大化问题： maxf(x1,x2,xn) 或者：maxf(x) s.tgj(x1,x2,hi(x1,x2,xn)bj s.tg(x)b ,xn)=ai h(x)=a 一般标准的极小化问题： minf(x1,x2,xn) 或者：minf(x) s.tgj(x1,x2,hi(x1,x2,xn)bj s

2、.tg(x)b ,xn)=ai h(x)=a 10.2+10.3：一阶必要条件和二阶充分条件 1、等式约束优化问题 两个变量一个等式约束的情形 极大化问题： maxf(x,y) th(x,y)=c s.例：消费者的效用最大化问题 maxU(x1,x2) tp1x1+p2x2=I s.构造拉格朗日函数： L(x,y,l)=f(x,y)-lh(x,y)-c =f(x,y)+lc-h(x,y) 一阶必要条件： Ll=c-h(x,y)=0 Lx=fx-lhx=0 Ly=fy-lhy=0 注：通过将L视为三个选择变量的自由函数，将约束优化转化为了无约束优化。 拉格朗日乘数的解释： l*是Z*对约束变化敏

3、感性的度量。 特别的，c增加的影响表明约束条件的放宽如何影响最优解。 设：根据一阶必要条件得到的最优解为l*，x*，y*，则l*，x*，y*满足： Ll=c-h(x*,y*)=0 Lx=fx(x*,y*)-l*hx(x*,y*)=0 Ly=fy(x*,y*)-l*hy(x*,y*)=0 最优值为： L*=f(x*,y*)+l*c-h(x*,y*) 由三个必要条件，可以确定：x*=x*(c)，y*=y*(c) 因此，L*对c的导数： dL*dx*dy*dl*=fx+fy+c-h(x*,y*)dcdcdcdc dx*dy*+l*(1-hx-hy)dcdcdx*dy* =(fx-l*hx)dc+(f

4、y-l*hy)dc dl* +c-h(x*,y*)dc+l* =l* 结论：拉格朗日乘数的解值是由参数c引起的约束条件变化对目标函数最优值影响的度量。 二阶条件： 约束条件 h(x,y)=c 意味着x和y不是自由变化的，而应该满足：dh(x,y)=hxdx+hydy=dc=0，即： hxdxDh(x,y)=0 ，或者 dy=-dx。 hydy目标函数的二阶全微分： dz=fxdx+fydy 2dz=d(dz)=d(fxdx+fydy) =(fxdx+fydy)dx+(fxdx+fydy)dy xy(dy)=fxxdx+fxydydx+fydxx(dy) 2+fyxdxdy+fyydy+fydy

5、y2=fxxdx2+2fxydydx+fyydy2+fyd2y 根据约束条件 h(x,y)=c， 2222dh=hdx+2hdydx+hdy+hdy=0 xxxyyyy得到： hxyhyy2hxx2dy=-dx-2dydx-dy hyhyhy2代入上式： hxyhyyhxx2dz=(fxx-fy)dx+2(fxy-fy)dydx+(fyy-fy)dy2hyhyhy2根据一阶必要条件：l=fy/hy d2z=(fxx-lhxx)dx2+2(fxy-lhxy)dydx+(fyy-lhyy)dy2二阶必要条件： 2对于Z的极大值：dZ为半负定，满足dh=0， 2d对于Z的极小值：Z为半正定，满足dh

6、=0； 二阶充分条件： 2对于Z的极大值：dZ为负定，满足dh=0， 2d对于Z的极小值：Z为正定，满足dh=0； 注意： d2Z的有定性不等于 fxx-lhxx f-lhxyxyfxy-lhxy的有定性 fyy-lhyy因为： 约束规划问题转化为无约束规划，即拉格朗日函数的无约束极值，拉格朗日函数L(x,y,l)是选择变量x,y,l的函数，而不仅仅是x,y的函数。 d2z=(fxx-lhxx)dx2+2(fxy-lhxy)dydx+(fyy-lhyy)dy2 dhhx=0dy=-hdx，代入上式： yd2z=Lxxdx2+2Lxydydx+Lyydy2 hxhx=Lxxdx+2Lxy(-)d

7、xdx+Lyy(-dx)2 hyhy2dx2=(Lh-2Lxyhxhy+Lh) hy2xxy2yyx0=-hxhy海塞加边矩阵 hxLxxLyxdx2Lxyhy Lyyhy0H=hxhyhxLxxLxyhyLxy Lyy2d因此，Z为正定，满足dh=0； 2dZ为负定，满足dh=0； |H|0dZ负定 多个变量和多个等式约束的情形 maxf(x1,x2,xn) ,xn)=ci i=1,m, thi(x1,x2, s.拉格朗日函数： L(x1,x2, =f(x1,x2,一阶必要条件： ,xn;l1,l2,mi=1,lm),xn) ,xn)+lici-hi(x1,x2,mhiLf x=x-lix=

8、0 j=1,i=1jjj,n ,m L l=ci-hi(x1,x2,i二阶充分条件： 海塞加边矩阵 ,xn)=0 i=1,0001h11h2000h122h2000h1mh2mhnm1h11h22h21hn2hnh12hm1|H|=hm2hmnL11L21Ln1L12L22Ln2L1nL2n Lnn1hn2hn二阶充分条件： 个加边顺序主子式： |Hm+1|，|Hm+2|，|Hm+n|(=|H|) 对于极大值，充分条件是这些加边顺序主子式的符号交替变m+1|H|换，。对于极小值，充分条件是这m+1的符号为(-1)m(-1)些加边顺序主子式均取相同符号，即都为。 2、不等式约束优化问题 非负约束

9、 maxp=f(x) s.t. x0 假设f(x)是可微的，由于约束条件x0，极值有三种可能的情况： a. 内解： f(x)=0，且x0 b. 边界解：f(x)=0，且x=0 c. 边界解：f(x)0，=0，最优解 xjL=0，0，lii=0，资源没有用完，则第i种资源的影子价格为0； L l=0，lii0，若第i种资源有正的影子价格，则资源完全使用； 注：影子价格 影子价格通常是指一种资源的影子价格，因此影子价格可以定义为：某种资源处于最佳分配状态时，其边际产出价值就是这种资源的影子价格。 用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果的价格。用微积分描述资源的影子价格，即当资源增加一个数量而

10、得到目标函数新的最大值时，目标函数最大值的增量与资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件的一阶偏导数。用线性规划方法求解资源最优利用时，即在解决如何使有限资源的总产出最大的过程中，得出相应的极小值，其解就是对偶解，极小值作为对资源的经济评价，表现为影子价格。这种影子价格反映劳动产品、自然资源、劳动力的最优使用效果。 二、约束规范 只有满足特定条件时，库恩塔克条件才是必要条件。这条件叫约束规范。约束规范是对非线性规划中的约束函数施加的某些限制，目的是为了排除可行集边界上的某些不规则性，这些不规则性可能会违背能够产生最优解的库恩塔克条件。 1、 边界点的不规则性 例1： maxp=x1s.tx2-

11、(1-x1)0x1,x203其可行区域： 要是x1最大，最优解是点，但是不满足库恩塔克极大化条件。 拉格朗日函数： 3L=x+l-x(+1-x1) 112第一个边际条件： L2 x=1-3l1(1-x1)0 1根据互补松弛条件： x1L但，x1L0，=0； x1=1，不满足库恩塔克条件。 x1=1这种异常产生的原因在于本例的最优解出现向外指的岐点。它构成了使库恩塔克条件在边界的最优解失效的一种不规则性。 当曲线突然反向，使得该点一边的斜率等于该点另一边的斜率时，所形成的尖点就是岐点。 岐点是最经常引用的使库恩塔克条件失效的原因，但事实上岐点的出现既不是库恩塔克条件在最优解失效的必要条件，也不是

12、充分条件。 例2：对例1的问题加上新的约束条件 2x1+x22 其边界为x2=2-2x1。 显然，可行区域仍然同以前一样，最优解也出现在岐点。但其满足库恩塔克条件。 其拉格朗日函数： L=x1+l1-x2+(1-x1)3+l22-2x1-x2 和边际条件： L2=1-3l(-1x2 11-)l2 x1L x=-l1-l20 2L3=-x+(1-x)0 21 l1L l=2-2x1-x20 2*显然，x1=1,x2=0,l1=1,l2=01,满足上面的不等式，而且2也满足非负限制和互补松弛条件。 *l事实上，1可以取任意的非负值，所有的条件仍然满足。这说明拉格朗日乘数的最优值不一定是唯一的。同时

13、也说明，尽管有岐点，但库恩塔克条件仍然成立。 例3：最优化问题 maxp=x2-xs.t21213-(10-x-x2)0-x1-2x1,x20可行区域如图所示，任何地方都不含岐点。但在最优解处，库恩塔克条件仍然不成立。 拉格朗日函数为： L=x2-x+l1(10-x-x2)+l2(-2+x1) 第二个边际条件： L=1-3l1(10-x12-x2)20 x22*l1取何值，10-xx=6因为2为正，1-x2=0，因此无论21213L都得到x=1。因此，库恩塔克条件在没有岐点时也2可能不成立。 原因？ 2、 约束规范 如果满足某一约束规范，则边界的不规则性就不可能出现。 *,xn)是可行区域边界

14、上的一个点，令 dx=(dx1,dx2,dxn)表示由所提到的边界点移动的特定的方向。 要求： ，如果第j 个选择变量在点x处取零值，那么只允许在xj轴上有非负变化，即 *x如果 j=0，那么 dxj0 *x，如果在点处恰好满足第i 个约束条件的等式约束，那么将只允许dx1,dx2,dxn的取值使约束函数值gi(x*)不增加，或不减少，即 dg(x)=gdx1+gdx2+0如果0i*i1i2+gdxngi(x*)=ri ini*gx其中所有的偏导数j都在处计算。 如果向量dx满足和，则我们称其为测试向量。 如果存在满足下列条件的可微弧：从点x出发；整个包含在可行区域内；与已知测试向量相切，则我

15、们把这样的弧段称为该测试向量的规范弧。 *x约束规范：如果对可行区域边界上的任意点，对每一测试向量dx，存在一规范弧，那么就满足约束规范。 练习：验证例1和例3中的最优解不满足约束规范。 3、 线性约束条件 如果可行区域是仅由线性约束形成的凸集，那么约束规范总是满足，且库恩-塔克条件在最优解处总成立。 线性约束： a11x1+a12x2r1 a21x1+a22x2r2 讨论边界上的点是否满足约束规范 课后习题 1、已知最优化问题： maxp=x1s.tx+x=1x1,x202122试用图解法解此题。并检验最优解点是否满足约束规范；库恩-塔克极大化条件。 2、已知最优化问题： minC=x1s.

16、tx-x0x1,x202122试用图解法解此题。最优解在岐点出现吗？并检验最优解点是否满足约束规范；库恩-塔克极小化条件。 经济应用 1、战争时期配额供应 假设有两件物品：x和y被定量供应。消费者的效用函数为U=U(x,y)。消费者有固定的货币预算B，并面临着外生的价格Px和Py。并且，消费者有消费券的配额C，可以按消费券价格Cx和Cy购买x和y。消费者的问题： maUx=Ux(y,s.t)Pxx+PyyBCxx+CyyC x,y0问题的拉格朗日函数： L=U(x,y)+l1(B-Pxx-Pyy)+l2(C-Cxx-Cyy) 因为约束为线性的，约束规范被满足，库恩-塔克必要条件为： Lx=Ux

17、-l1Px-l2Cx0，x0，xLx=0， Ly=Uy-l1Py-l2Cy0，y0，yLy=0， Ll1=B-Pxx-Pyy0，l10，l1Ll1=0， Ll2=C-Cxx-Cyy0，l20，l2Ll2=0， Px=Py=1，例1：假设效用函数U=xy，B=100，C=120，2Cx=2，Cy=1，求最优解。 2、尖峰价格 市场的划分：主要市场和次级市场 尖峰市场和非尖峰市场 如果次级市场的需求和主要市场的规模接近时，那么能力的约束就是问题，特别是在非尖峰时期进行价格歧视和收取低价时。即使次级市场比只要市场的规模小，它还是有可能由于更低的价格使非尖峰需求超过产能。在这种情况下，产能的选择必须同

18、时考虑这两个市场，从而形成一个经典的非线性规划问题。 考虑面对一个有以下平均收益曲线的利润最大化企业： 1P=P(Q1)，白天 1P2=P2(Q2)，晚上 不管白天还是晚上，企业必须为每单位产品支付b。此外，企业必须用单位成本c来购买产能。用K表示以Q的单位数度量的总产能。企业的最大化问题： Q1,Q2,KMaxp=PQ11+P2Q2-b(Q1+Q2)-cKQ1K，Q2K，其中P1=P(Q1)，P2=P(Q2) Q1，Q2，K012s.tQi的总收益 iR=PQ=P(Qi)Qi iii是只有Qi的函数，我们将问题简化为： Q1,Q2,KMaxp=R1(Q1)+R2(Q2)-b(Q1+Q2)-c

19、KQ1K，Q2K，Q1，Q2，K0s.t注意两个约束都是线性的。因而约束规范能够满足，库恩-塔克条件是必要条件。 其条件： l- L1=MR1-b10，0，Q，10Q，20QL =1，10Q， =2L20KL，0 K=l- L2=MR2-b2+l1+l，K0， LK=-c20 Ll1=K-Q10，l10，l1Ll1=0， Ll2=K-Q20，l20，l2Ll2=0， 其中MRi是Qi的边际收益。 采用试错法求解： 因为非尖峰市场是一个次级市场，因此它的边际收益应位于主要市场的边际收益函数之下。而且，对以次级市场而言，产能约束更可能是不发挥限制作用，因此l2更可能为0。首先尝试l2=0。假设Q1

20、，Q2和K0。由互补松弛条件可得： MR1=b+cMR2=b结果：Q1=K，Q2K。 现在假设拉格朗日乘子为正，那么Q1=Q2=K。此时： MR1=b+l1MR2=b+l2c=l1+l2例2： 假设尖峰时期的平均收益函数是 -5P=22-10Q1， 1那么在非尖峰时期的平均收益函数是 -5P=18-10Q2 2每半天生产单位产出要求单位产能成本是每天8分。无论是在尖峰时期使用还是在非尖峰时期使用，每单位产能成本是一样的。在产能本身之外，每半天生产一单位的产出，它都花费6分的营业成本。求该企业的最优解。 凹规划 库恩塔克充分性定理：凹规划 对于极大化问题，库恩和塔克给出了下面的充分条件。 给定非

21、线性规划： Maxp=f(x)s.tgi(x)rix0(i=1,2,m)如果满足下列诸条件： 目标函数f(x)可微，且为凹函数； ig 每个约束函数(x)可微，且为凸函数； *x 点满足库恩塔克极大化条件 *x那么，为p=f(x)的整体极大值点。 注：在这个定理中，我们没有提到约束规范，是因为*x在中我们已经假设库塔克条件在处满足。 上述定理可以表述为： 如果满足约束规范，且满足条件和，那么库恩塔克极大化条件就是极大化的充分必要条件。 充分性定理对极小化问题同样适用。我们只需将条件和中的“凹”“凸”两字互换，在中使用库恩塔克极小化条件即可。 阿罗恩索文充分性定理：拟凹规划 已知非线性规划： M

22、axp=f(x)s.tgi(x)rix0(i=1,2,m)如果满足下列条件： 目标函数f(x)可微且是拟凹函数； ig 每个约束函数(x)可微且是拟凸函数； *x 点满足库恩塔克极大值条件； 满足下列诸条件中任意一个： 至少对某个变量xj有fj(x*)0。 对某个可取正值而不违背约束的变量xj有fj(x*)0。 *f(x*)f(x)x n个导数j不全为0，函数在*x的邻域内二阶可微。 函数f(x)为凹函数。 那么，x为p=f(x)的整体极大值点。 定理可以解释为：当满足条件、和时，那么库恩塔克极大化条件变为极大化的充分条件。而且，如果又满足约束规范，那么库恩塔克极大化条件变为极大化的充分条件。

23、 阿罗恩索文充分性定理对极小化问题：只需将条件、中互换“拟凹”和“拟凸”这两个词，*用极小化条件取代库恩塔克极大化条件；把中的不等号反号；且把“凹”变为“凸”字。 约束规范的检验方法 ig如果函数(x)是非线性的，那么在确定是否满足约束规范方面，阿罗和恩索文提出的下列检验法： 对极大化问题，如果 每个约束函数g(x)可微且为拟凸函数。 存在一点x，使在x处满足作为严格不等式的所有约束条件。 下列条件中的一个成立： ig 每个函数(x)为凸函数。 ig 每个(x)的偏导数在可行区域中的每点xi00计值时，不全为0。 那么，约束规范得到满足。 对于极小化问题，只要把中的“拟凹”变为“拟凸”，把的中“凸”变为“凹”。 两个变量和一个不等式约束的情形 极大化问题： maxf(x,y) tg(x,y)b s.构造拉格朗日函数： L(x1,x2,l)=f(x1,x2)-lg(x1,x2)-b =f(x1,x2)+lb-g(x1,x2)