曲线积分和曲面积分习题.docx

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1、曲线积分和曲面积分习题第六部分 曲线积分与曲面积分 第 1 页 共 40 页 第六部分 曲线积分与曲面积分 1设曲线L是上半圆周 x2+y2=2x，则xdl=p。 L解法1 由于L关于直线x=1对称，所以(x-1)dl=0 ，从而 LLxdl=(x-1)+1dl=(x-1)dl+dl=0+p=p。 LLLx=1+cost,解法2 令L：(0tp)，则 y=sintLp22xdl=0(1+cost)(-sint)+(cost)dt=p。 解法3 设曲线L的质量分布均匀，则其重心的横坐标为x=1。又因为 x=所以xdl=p。 LLxdlLdl=Lxdlp， 2设L是上半椭圆周x2+4y2=1,y0

2、，L1是四分之一椭圆周x2+4y2=1,x0,y0，则 (A) L(x+y)dl=2L(x+y)dl。 1(B) Lxydl=2Lxydl。 1(C) Lx2dl=2Ly2dl。 1(D) L(x+y)2dl=2L(x2+y2)dl。1 答 D 解 由于L关于y轴对称，所以 Lxdl=0，Lxydl=0， 2222Lydl=2L1ydl，Lxdl=2L1xdl，Lydl=2L1ydl。 注意到Lx2dl=2Lx2dl2Ly2dl，从而可以排除(A)，(B)，(C)三个选项，或11直接选出正确选项(D)。 3计算 I=xdl，其中L是圆周x2+y2=a2上从点A(0,a)经点C(a,0)到点L

3、1 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 2 页 共 40 页 B(a2,-a2)的一段。 a2解法1 取y为自变量，则L的方程为x=a2-y2，其中-I=xdl=aLya，所以 a-2a2-y21+x(y)2dy(-y)2=a-a2a2-y21+a2-ydy=22+12a2。x=acost,pp解法2 取L的参数方程为其中-t，所以 42y=asint,I=xdl=2pacost(-asint)2+(acost)2dt=L-4p2+12a2。 r1解法3 由于n=x,y是圆周x2+y2=a2的外向单位发向量，所以此圆周的正ar1向单位切向量为t-y,x。根据两类曲线积分之间的关系，得 axI=x

4、dl=adl=ady， LLaL其中L的方程为x=a2-y2，起点为B(a2,-a2)，终点为A(0,a)。因此 I=ady=aaady=L-22+12a2。 4计算I=(x+y)x2+y2+x2+y2dl，其中L是圆周x2+(y-1)2=1。 L解 由于圆周L关于y轴对称，所以xx2+y2dl=0，从而 LI=(x+y)x2+y2+x2+y2dl =y2y+2ydl=(2+2)ydl。LLLx=cost,因为L的参数方程为 0t2p，所以 y=1+sint,I=(2+2)ydl L 2 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 3 页 共 40 页 2p=(2+2)0(1+sinq)dq=2p(2+

5、2)。5已知曲线L是平面x+y+z=0与球面x2+y2+z2=R2的交线，计算曲线积分 (x2+y2+z)dl。 L解法1 由于曲线L的方程中的变量x,y,z具有轮换对称性，所以 222xdl=ydl=zdl， LLLLxdl=ydl=zdl， LL因此 22(x+y)dl=L22243222(x+y+z)dl=Rdl=pR， 3L33L11(x+y+z)dl=0dl=0， 3L3LLzdl=从而 432222(x+y+z)dl=(x+y)dl+zdl=pR。 3LLLx+y+z=0解法2 直接化成定积分进行计算。曲线L：2222在x-y平面的投x+y+z=R影曲线是一椭圆，其方程是 R2x+

6、xy+y=， 222即 23xR2。 +y=2x+222令 3RxRx=cost,+y=sint，0t2p，则曲线L的参数方程为 2222 3 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 4 页 共 40 页 2x=Rcost,3RRy=sint-cost,0t2p， 26z=-Rsint-Rcost,26所以 RR2RR+dl=-Rsintcost+sint+sint-costdt=Rdt。 36226222从而 2p2xdl=0L222R(cost)2Rdt=pR2， 33sint-R2R2cost)2Rdt=pR2， 36R6cost)Rdt=0， L2p2ydl=0(R2L2pzdl=0(-si

7、nt-224因此 (x2+y2+z)dl=x2dl+y2dl+zdl=pR3+pR3+0=pR3。 333LLLL26求柱面x3+2y3=1被球面x2+y2+z2=1包围部分的面积S。 S=81-x2-y2dl， L解 根据第一型曲线积分的几何意义及对称性，得 22其中L是平面曲线x3+y3=1,在第一象限中的部分。 z=03px=cosq取L的参数方程为 ，0q，则 32y=sinqdl=(-3cos2qsinq)2+(3sin2qcosq)2dq=3sinqcosqdq， 所以 4 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 5 页 共 40 页 S=81-x2-y2dlL=8021-cos6q-s

8、in6q3sinqcosqdq=24021-(cos2q+sin2q)(cos4q-cos2qsin2q+sin4q)sinqcosqdq =2402(cos2q+sin2q)-cos4q+cos2qsin2q-sin4q)sinqcosqdq=24302sinqcosqdq=6302sin2(2q)dq=p22pppp33p。27计算I=L3x2ydx-x3dy，其中L是从点(0,0)经过点(1,0)到点(0,0)的折线段。 解 设L1：y=0,x从0到1；L2：x=1,y从0到1。根据路径可加性，得 11I=L3x2ydx-x3dy+L3x2ydx-x3dy=00dx+0(-1)dy=-1

9、。 128设L是圆周x2+y2=2x，则-ydx+xdy=2p。 L解1 根据格林公式，得 L-ydx+xdy=x2+y22x1-(-1)dxdy=2p。 rr解2 由于n=x-1,y是L的外向单位法向量，所以t=-y,x-1就是L的正向单位法向量。根据两类曲线积分之间的关系，得 L22-ydx+xdy=-ydx+(x-1)dy+dy=(-y)dl+(x-1)dl+0=2p。 LLL9计算I=y2xdy-x2ydx，其中L是圆周x2+y2=a2，顺时针方向为正。 Lx=acost,解1 取L的参数方程为 t从0到-2p，则 y=asint,I=y2xdy-x2ydx=L-2p20(asint)

10、acostacost-(acost)2asint(-asint)dt 14-2p1a0(sin2t)2dt=-a4p。22解2 由于y2x,-x2y具有一阶连续偏导数，并注意到L的方向，根据格林公式得 5 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 6 页 共 40 页 I=y2xdy-x2ydxL=-222y-(-x)dxdy22x+ya12pa2=-0dq0rrdr=-a4p。210计算I=(12xy+ey)dx-(cosy-xey)dy，其中L从点(-1,1)沿曲线y=x2到L点(0,0)，再沿直线y=0到点(2,0)。 解1 设L1从点(-1,1)沿曲线y=x2到点(0,0)；L2从点(0,0)

11、沿直线y=0到点(2,0)。则 I=(12xy+ey)dx-(cosy-xey)dy+(12xy+ey)dx-(cosy-xey)dyL1L2=03-1(12x22+e)-(cosx-xe)2xdx+0dx22x2x20x=-+2x2ex)dx+sin1-11(e1x=0(e+2x2ex)dx+sin1-1，12x2exdx=xex由于 02222101x1x-0edx，所以 0(e+2x2ex)dx=e，从而 222I=sin1+e-1。 解2 设L1从点(-2,0)沿直线x=2到点(2,1)；L2从点(2,1)沿直线y=1到点(-1,1)，L与L1和L2围成的区域记为D。根据格林公式得 I

12、=L+L1+L2L1yy(12xy+e)dx-(cosy-xe)dy-(12xy+ey)dx-(cosy-xey)dy-(12xy+ey)dx-(cosy-xey)dyL2D1-1=(ey-12x-ey)dxdy+0(cosy-2ey)dy-2(12x+e)dx=-21+(sin1+2-2e)-(-3e-18)=sin1+e-1。11计算I=(x-y)dx+(x+y)dyx2+y2，其中L是曲线y=x2-2从点A(-2,2)到点LB(2,2)的一段。 6 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 7 页 共 40 页 解1 记X(x,y)=x-yx+y22,Y(x,y)=x+yx+y22，当(x,y)

13、(0,0)时，有 Y(x,y)y2-x2-2xyX(x,y)。 =222xy(x+y)令L1是折线段A(-2,2)C(-2,-2)D(2,-2)B(2,2)，则根据格林公式易知 I=-2=2(x-y)dx+(x+y)dyx2+y2(x-y)dx+(x+y)dyLL1x2+y22dy+-2-2+y2x+2x+42=6-24+y122dx+-22+y4+y2dy3dy=p。224+y解2 令L1是直线段A(-2,2)B(2,2)，L2是圆周x2+y2=r2，r足够小。由于当(x,y)(0,0)时，有 y2-x2-2xyx-yx+y=， =2222222xx+yyx+y(x+y)所以根据格林公式得

14、I=(x-y)dx+(x+y)dy(x-y)dx+(x+y)dyx2+y2x2+y2(x-y)dx+(x+y)dyLL12x2+y2x-2x+4dx+1r2L2+L22=-2(x-y)dx+(x+y)dy=-p3+2p=p。22uvuv=,=-，xyyx12设u(x,y),v(x,y)在全平面内有连续的一阶偏导数，且满足记C为包围原点的正向简单闭曲线，计算 I=C(xv-yu)dx+(xu+yv)dyx+y22。 7 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 8 页 共 40 页 解 记I=CX(x,y)dx+Y(x,y)dy，其中X(x,y)=于 xv-yux+y22,Y(x,y)=xu+yvx+y

15、22。由22X(x,y)(xvy-yuy-u)(x+y)-2y(xv-yu)= 222y(x+y)=(xvy-yuy)(x2+y2)+(y2-x2)u-2xyv(x+y)222， Y(x,y)(xux+yvx)(x2+y2)+(y2-x2)u-2xyv=， 222x(x+y)且 ux=vy,uy=-vx，所以当 x2+y20时， X(x,y)Y(x,y)=。 yx任取r0充分小，记Cr为圆周x2+y2=r2，并取逆时针方向，根据格林公式可知，C-CX(x,y)dx+Y(x,y)dy=0，故I=CX(x,y)dx+Y(x,y)dy。 rrx=rcosq令Cr：,q：02p，则 y=rsinqI=

16、2p01rcosqv-rsinqu)(-sinq)r+(rcosqu+rsinqv)rcosqdq 2r2p=0u(rcosq,rsinq)dq=2pu(rcosx,rsinx),0x2p。 由于I与r的值无关，令r0+，得 I=2pu(0,0)。 13计算I=eycosx-aydx+eysinx-b(x+y)dy，其中L为4x2+9y2=36在L第一象限中的部分，方向为从点(3,0)到(0,2)。 解1 由于曲线积分I1=eycosx-bydx+eysinx-b(x+y)dy与路径无关，所L以 02I1=3cosxdx+0(-by)dy=-sin3-2b。 3又ydx=022sint(-3s

17、int)dt=-p，所以 2Lp3I=I1+(b-a)ydx=p(a-b)-2b-sin3。 2L8 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 9 页 共 40 页 解2 取L1是从点(0,2)经点(0,0)到点(3,0)，根据格林公式，得 I=eycosx-aydx+eysinx-b(x+y)dyL+L1-eycosx-aydx+eysinx-b(x+y)dyL1D03=(a-b)dxdy-2(-by)dy-0cosxdx132p(a-b)-2b-sin343=p(a-b)-2b-sin3。2=14设L是右半平面(x0)内的有向分段光滑曲线，起点为(a,b)，终点为(c,d)。1y证明曲线积分I=1

18、+x2sin(xy)dy+2x2sin(xy)-1dx与路径无关，并求I的xxL值。 解1 因为 11y221+xsin(xy)=sin(xy)-+xycos(xy)=xsin(xy)-1 22xxyxx在右半平面内处处成立，所以曲线积分I在右半平面内与路径无关。 取L为从点(a,b)经过点(c,b)到点(c,d)的折线段，得 1yI=1+x2sin(xy)dy+2x2sin(xy)-1dxxLxcbd122=axsin(bx)-1dx+1+csin(cy)dyb2cx byd=-cos(bx)c+-cos(cy)baxcdb=-+cos(ab)-cos(cd)。ca解2 因为 9 第六部分

19、曲线积分与曲面积分 第 10 页 共 40 页 1y1+x2sin(xy)dy+2x2sin(xy)-1dxxxxdy-ydx=sin(xy)(ydx+xdy)+x2y=sin(xy)d(xy)+dxy=d-cos(xy)，x所以1yy-cos(xy)是1+x2sin(xy)dy+2x2sin(xy)-1dx在右半平面上的一个xxx原函数，所以曲线积分I在右半平面内与路径无关，且 1yI=1+x2sin(xy)dy+2x2sin(xy)-1dxxLxyc,d) =-cos(xy)(a,b)xdb=-+cos(ab)-cos(cd)。cax2+y2=115计算I=Lydx-(x+y+z)dz,L

20、是曲线在第一卦限中的部分,z=2x+4222从点(0,1,4)到点(1,0,6). x=x解1 取L的参数方程为 y=1-x2，参数x从0变到1，则 z=2x+4I=ydx-(x2+y2+z2)dzL1=01-x2-(1+(2x+4)2)2dx8=-2-16-3243p158=-。43Lp16 计算I=ydx+zdy+xdz，其中L是球面x2+y2+z2=4z与平面x+z=2的交线，从z轴正向看去为逆时针方向。 解1 曲线L在xOy平面上的投影的方程为 2x2+y2=4，这是一个椭圆。取L的参数方程为 10 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 11 页 共 40 页 x=2cost,y=2sin

21、t, z=2-2cost,参数t从0到2p，从而 I=ydx+zdy+xdzL2p=02sint(-2sint)+(2-2cost)2cost+2cost2sintdt =-42p。解2 由于曲线L在xOy平面上的投影曲线为 L1：2x2+y2=4，所以 I=ydx+zdy+xdzL=ydx+(2-x)dy+x(-dx)L1L1=(y-x)dx+(2-x)dy=2x2+y24(-1-1)dxdy=-2p22=-42p。解3 取S为曲线L在平面x+z=2上围成的半径是2圆盘，上侧为正。根据斯托克斯公式得 I=ydx+zdy+xdzL=(0-1)dydz+(0-1)dzdx+(0-1)dxdyS=

22、-(S12+0+12)dS=-2dS=-42p。S17计算I=x2ydx+y2zdy+z2xdz，其中L为z=x2+y2与x2+y2+z2=6的L交线，方向为从z轴的正向往负向看去是顺时针。 z=x2+y2z=2解1 求解x2+y2+z2=6，得z=2，所以L的方程为2，其参数方2x+y=2z0程为 x=2costy=2sint，参数t从0变到2p。因此 z=2 11 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 12 页 共 40 页 I=x2ydx+y2zdy+z2xdzL2p=02cos2t2sint(-2sint)+4sin2t2cost+0dt 2p=0(-sin22t+42sin2tcost)

23、dt=-p。z=x2+y2z=2解2 求解x2+y2+z2=6，得z=2，所以L的方程为2。 2x+y=2z0z=2取S：，上侧为正，根据斯托克斯公式，得 22x+y2I=x2ydx+y2zdy+z2xdzL=(0-y2)dydz+(0-z2)dzdx+(0-x2)dxdyS122=-xdxdy=-(x+y)dxdy2x2+y22x2+y22212p=-0dq02r2rdr=-p。218计算I=(y2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)dz,其中L是用平面L3x+y+z=2a切立方体W=(x,y,z)0x,y,za所得的切痕,从ox轴正向看去为逆时针方向. 3a上由L围成的边长是解

24、 取S为平面x+y+z=22a的正六边形，方向向上。2根据斯托克斯公式，得 I=(y2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)dz L=(-2y-2z)dydz+(-2z-2x)dzdx+(-2x-2y)dxdyS=-2S13S(y+z)+13(z+x)+13(x+y)dS =-23adS=-23a6a2=-62a3。19计算I=(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz，其中L是平面L 12 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 13 页 共 40 页 x+y+z=2与柱面x+y=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。 解1 记L1、L2、L3、L4分别为L在第一

25、、第二、第三和第四卦限中的部分，则 I=L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz=L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz1+L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz 2+L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz3+L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz4=(1-x)2+x2-3dx+3(1+x)2+(1-2x)2-7x2dx+(1+x)2+x2-27dx+3(x-1)2+(3-2x)2-7x2dx0-11001-10=779-3-+3=-24。33解2 记L为L在xOy平

26、面上的投影，则L的方程是x+y=1，所以 I=y2-(2-x-y)2dx+2(2-x-y)2-x2dyL+3x2-y2(-dx-dy)=2y2-(2-x-y)2-3x2dx+2(2-x-y)2-4x2+y2dyL=-2(6+x-y)dxdyx+y1=-24。解3 取S为x+y+z=2上由L围成的平面区域，上侧为正。根据斯托克斯公式，得 13 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 14 页 共 40 页 I=(-2y-4z)dydz+(2z-6x)dzdx+(-2x-2y)dxdyS=-=-223(4x+2y+3z)dSSx+y1(6+x-y)dxdy=-12dxdy=-24。x+y1解4 根据斯托

27、克斯公式，得 I=(-2y-4z)dydz+(2z-6x)dzdx+(-2x-2y)dxdy。 S而 (y+2z)dydzS=(y+2z)dydz(Dyz是S在y-z平面上的投影)Dyz3=1dz(3-z)/2(1-z)/2(y+2z)dy(化二重积分为二次积分）=8；(z+3x)dzdxS=(z+3x)dzdx(Dxz是S在x-z平面上的投影)Dxz3=1dz(3-z)/2(1-z)/2(z+3x)dx=4；(x+y)dxdyS=x+y1(x+y)dxdy=0。所以 I=-2(8+4+0)=-24。 20已知曲线积分 I=(xz+ay2+bz2)dx+(xy+az2+bx2)dy+(yz+a

28、x2+by2)dz L与路径无关，求a,b的值，并求从A(0,0,0)到B(1,1,1)的积分值。 解 因为函数 14 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 15 页 共 40 页 X(x,y,z)=xz+ay2+bz2,Y(x,y,z)=xy+az2+bx2, Z(x,y,z)=yz+ax2+by2都在L整个空间上具有连续偏导数，所以I=X(x,y,z)dx+Y(x,y,z)dy+Z(x,y,z)dz与路径无关的充要条件是 ZYXZYX=,=,=， yzzxxy即 z+2by-2az=0,x+2bz-2ax=0, y+2bx-2ay=0对任意的x,y,z都成立。因此必有 a= 1,b=0。 2取

29、L是由平行于坐标轴直线构成的折线段，则 (1,1,1)L(0,0,0)(xz+1211y)dx+(xy+z2)dy+(yz+x2)dz22213111=00dx+0ydy+0(z+)dz=。2221判断(excosy+2xy2)dx+(2x2y-exsiny)dy是否是全微分式，若是，求它的原函数。 解 因为函数excosy+2xy2,2x2y-exsiny在R2上存在一阶连续偏导数，且 (excosy+2xy2)(2x2y-exsiny)x， =4xy-esiny=yx所以微分形式(excosy+2xy2)dx+(2x2y-exsiny)dy是一个全微分式。它的所有原函数是 u(x,y)=(

30、excosy+2xy2)dx+(2x2y-exsiny)dy+C(0,0)xx=0edx+0y(2x2y-exsiny)dy+C(x,y)=ex-1+x2y2+excosy-ex+C=x2y2+excosy+C。 15 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 16 页 共 40 页 另解 利用不定积分法求原函数的过程如下：设 du(x,y)=(excosy+2xy2)dx+(2x2y-exsiny)dy， 则 u(x,y)=excosy+2xy2,xu(x,y)=2x2y-exsiny， y由第一式得 u(x,y)=excosy+x2y2+g(y)， 所以 u(x,y)=2x2y-exsiny+g(

31、y)， y比较u(x,y)的两个表达式，得 g(y)=0，即g(y)=C，故 yu(x,y)=excosy+x2y2+g(y)=excosy+x2y2+C。 22已知曲线积分xy2dx+yf(x)dy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，L且f(0)=0。求(1,1)(0,0)xy2dx+yf(x)dy的值。 L解1 根据曲线积分xy2dx+yf(x)dy与路径无关，取积分路径为从点(0,0)经过点(0,1)到点(1,1)的折线段，得 (1,1)2(0,0)xydx+yf(x)dy11=0yf(0)dy+0xdx =1。2(yf(x)(xy2)解2 因为曲线积分xydx+yf(x)dy与路

32、径无关，所以，故 =Lxy2yf(x)=2xy，考虑到f(0)=0，得 f(x)=x2。从而 (1,1)2(0,0)xydx+yf(x)dy1,1)22=(0xydx+yxdy ,0)=122xy2(1,1)(0,0)=1。2L23设函数f(x,y)在R2内具有一阶连续偏导数，曲线积分2xydx+f(x,y)dy与 16 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 17 页 共 40 页 路径无关，且对任意的t恒有f(x,y)的表达式。 (t,1)(0,0)2xydx+f(x,y)dy=(1,t)(0,0)2xydx+f(x,y)dy，求解 因为曲线积分2xydx+f(x,y)dy与路径无关，所以 Lf

33、(x,y)(2xy)=2x， xy因此 f(x,y)=x2+g(y)。 从而 (t,1)(0,0)2xydx+f(x,y)dyt12=00dx+0(t+g(y)dy 1=t2+0g(y)dy,(1,t)(0,0)2xydx+f(x,y)dy1t=00dx+0(1+g(y)dy t=t+0g(y)dy,1t所以 t2+0g(y)dy=t+0g(y)dy对任意t成立。由此得 g(t)=2t-1，所以 f(x,y)=x2+g(y)=x2+2y-1。 24已知11fC,f(1)=1,L是绕原点一周的任意(xdy-ydx)=A，其中2f(x)+yL正向闭曲线，试求f(x)及A. 解 根据题中条件，可以证

34、明 C1f(x)+y2(xdy-ydx)=0， 其中C是任意一条不包围原点的封闭曲线。因此 x-y=， 22xf(x)+yyf(x)+y从而 2f(x)-xf(x)=0， 17 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 18 页 共 40 页 故 f(x)2=0， x考虑到 f(1)=1，得 f(x)=x2。 取L为 x2+y2=1，得 f(x)+y1=L2(xdy-ydx)2 x+y=Lxdy-ydx=2L12(xdy-ydx)x+y21(1+1)dxdy=2p。r25设在变力F(x,y,z)=yz,zx,xy的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面x22abcrF(x,y,z)作的功W最大，并求出功

35、的最大值。 +y22+z22=1上第一挂限中的点P(u,v,w)处，问当点P(u,v,w)在何处时，力x=ut,01，则 解 设从原点到点P(u,v,w)的直线的参数方程为 y=vt,t：z=wt1W=yzdx+zxdy+xydz=0(vwut2+wuvt2+uvwt2)dt=uvw。 L 考虑条件极值问题 maxuvw,2 v2w2u+=1,a2b2c2u2v2w2令 L(u,v,w,l)=uvw+l2+2+2-1，求解 bca 18 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 19 页 共 40 页 uL=vw+2l=0,u2avLv=uw+2l=0,2b w=uv+2l=0,Lw2c22uvw2=

36、+2+2-1=0Ll2abc得 u=a3,v=b3,=c3。 a3b3c3r)处时，力F(x,y,z)对质 根据实际情况可知，当点P(u,v,w)在(abc33,点所作的功W最大，功的最大值是。 r26设函数f(x,y)在有界闭域D上具有二阶连续偏导数，n是D的外向单位法向量。 证明 Df(x,y)f(x,y)dlnf(x,y)x222=f(x,y)D+f(x,y)y222f(x,y)f(x,y)dxdy+ydxdy；xD22当2f(x,y)x+2f(x,y)y=0,(x,y)D，且f(x,y)=0,(x,y)D时，证明f(x,y)=0,(x,y)D。 证明 根据方向导数的计算公式，得 f(x

37、,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)rdl=f(x,y),ndl， nxyDD利用格林公式，得 f(x,y)f(x,y)rf(x,y),ndlxyD=Df(x,y)f(x,y)+xxy19 f(x,y)dxdy，f(x,y)y第六部分 曲线积分与曲面积分 第 20 页 共 40 页 所以 Df(x,y)f(x,y)dlnf(x,y)x222=f(x,y)D+f(x,y)y222f(x,y)f(x,y)dxdy+dxdy。+xyD22当2f(x,y)x+2f(x,y)y=0,(x,y)D，且f(x,y)=0,(x,y)D时，根据的结果得 f(x,y)f(x,y)+dxdy=0。 xyDf(

38、x,y)f(x,y)由于在D上式非负连续函数，所以 +xyf(x,y)f(x,y)+y=0,(x,y)D， x222222从而 f(x,y)=C,(x,y)D。 考虑到函数f(x,y)在D上的连续性和f(x,y)=0,(x,y)D，得 C=0，故f(x,y)=0,(x,y)D。 27设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，证明对上半平面y0中的任意封闭曲线c都有ydx-xdy=0成立的充要条件是：f(tx,ty)=t2f(x,y)对任意的t0及f(x,y)c上半平面中的任意点(x,y)都成立。 证明 设c是上半平面y0中的任意一条封闭曲线，记Dc是c为成的平面域。根据格林公式，得 (x,y)f(

39、x,y)-xfx(x,y)f(x,y)-yfyydx-xdy=-dxdy22f(x,y)f(x,y)cf(x,y)Dc(x,y)+yfy(x,y)-2f(x,y)xfx=dxdy，2f(x,y)Dc 20 第六部分 曲线积分与曲面积分 第 21 页 共 40 页 (x,y)+yfy(x,y)-2f(x,y)xfxydx-xdy=0因此 dxdy=0。 2f(x,y)cf(x,y)Dc 考虑到上述积分域的任意性和被积函数的连续性，可得 (x,y)+yfy(x,y)-2f(x,y)xfxydx-xdy=0=0， 2f(x,y)f(x,y)c即 ydx-xdy(x,y)+yfy(x,y)-2f(x,y)=0。 =0xfxf(x,y)c当f(tx,ty)=t2f(x,y)对任意的t0及上半平面中的任意点(x,y)都成立时，在等式两端关于t求导，得 (tx,ty)=2tf(x,y)， xf1(tx,ty)+yf2故 (tx,ty)=2t2f(x,y)=2f(tx,ty)， txf1(tx,ty)+tyf2(x,y)+yfy(x,y)-2f(x,y)=0。 xfx所以 (x,y)+yfy(x,y)-2f(x,y)=0时，令g(t)