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1、曲线拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路 第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) 其中 a1,a2, am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, am 的准则： 使n个点 r1(x1)其中R=r1(xn)rm(x1)a1y1,a=,y= rm(xn)amyn 定理：当RTR可逆时，超定方程组存在最小二乘解，且即为方程组 RTRa=RTy 的解：a=(RTR)-1RTy 线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中函数r1(x), rm(x)
2、的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)； 2. 将数据 (xi,yi) i=1, n 作图，通过直观判断确定 f(x)： 用MATLAB作线性最小二乘拟合 1. 作多项式f(x)=a1xm+ +amx+am+1拟合,可利用已有程序: 例 对下面一组数据作二次多项式拟合 xi yi 0.1 1.978 0.2 3.28 0.4 6.16 0.5 7.34 0.6 7.66 0.7 9.58 0.8 9.48 0.9 9.30 1 11.2 即要求 出二次多项式: f(x)=a1x2+a2x+a3 中 的A=(a1,a2,a3)使得:f(x)-y 最小 2iii=111解法1用解超
3、定方程的方法 x12此时 R=2x11x1x111 11）输入以下命令： x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; R=(x.2) x ones(11,1)； A=Ry 2）计算结果： = -9.8108 20.1293 -0.0317 f(x)=-9.8108x2+20.1293x-0.0317 解法2用多项式拟合的命令 1）输入以下命令： x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; A=po
4、lyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出数据点和拟合曲线的图形 2）计算结果： = -9.8108 20.1293 -0.0317 f(x)=-9.8108x2+20.1293x-0.0317 用MATLAB作非线性最小二乘拟合 Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit和lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可参考例题. 1. lsqcurvefit 已知数据点： xdata=， ydata= lsqcurvefit用以求
5、含参量x的向量值函数 F(x,xdata)=，F）T 中的参变量x(向量),使得 (F(x,xdata)-ydata)iii=1n2 最小 输入格式为: (1) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options); (3) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options,grad); (4) x, options = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,); (5) x, options,funval = l
6、sqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,); (6) x, options,funval, Jacob = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,); 2. lsqnonlin 已知数据点： xdata= ydata= lsqnonlin用以求含参量x的向量值函数 f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T 中的参量x，使得fT(x)f(x)=f1(x)2+f2(x)2+fn(x)2最小。 其中 fi=f =F(x,xdatai)-ydatai 输入格式为：1） x=lsqnonlin； 2） x= lsqnonlin ； 3） x= lsqnonlin ； 4） x，options= lsqnonlin ； 5） x，options，funval= lsqnonlin ；
