曾瑾言第四课后习题第.docx

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1、曾瑾言第四课后习题第5.15参考7.17 5.15证明schrdinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系K的速度u相对于惯性参照系K运动，空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系： x=x+vt,y=y,z=z,t=t。 势能在两个参照系中的表示式有下列关系 V(x,t)=V(x-ut,t)=V(x,t) t证明schrdinger方程在K参照系中表为 ihyh22=-2mx2+Vy h22-+V 在K参照系中表为 ihy=2t2mx2mumu其中 y=expihx-2hy ty(x-ut,t) 证：由波函数的统计解释，y和y的意义完全相同。 y(x,t)2=w(x

2、,t)， 是t时刻在x点找到粒子的几率密度； 2y(x,t)=wx,t()，是t时刻在x点找到粒子的几率密度。 但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 w(x,t)=w(x,t) 从式有 w(x-ut,t)=w(x,t) 由此可以得出， y和y两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以 y(x,t)=eyiS(x,t)=eiS(x,t)y(x-ut,t) y(x-ut,t)=e-iS(x,t)y(x,t) x2由式， =x, t=vx+t, x22=22x式变为：-h22mxy2(x,t)+V(x,t)y(x,t) =ihuxy(x,t)+iht

3、y(x,t) 将代入式，可得 -h2y222mx2222hShSSShSy+ih-u+V(x,t)+i+-hu-hy22mt2mxxtmxx=ihyt选择适当的S(x,t)，使得， hSmx-u=0 。 ih22mSx22SSS+-h=0 -hu2mxxthx+f(t) 。 22从可得 S=muh，可得 f(t)是t的任意函数，将代入ftmu2hmu2h22=- 积分，得 f(t)=-t+C 。 C为积分常数，但u=0时，K系和K系重合，y应等于y，即S应等于0，故应取C=0，从而得到 muhmu2h2S=x-t 代入式，最后得到波函数的变换规律： y=yexp112mux-mut 2ih逆变

4、换为 y=yeiSi12=yexpmux+mut 2h“，”的量和不带“，”的量互换。 相当于式中的u-u，带讨论：S(x,t)的函数形式也可用下法求出： 因S(x,t)和势能V无关，所以只需要比较平面波在K和K系中的表现形式，即可确定S(x,t). 沿x方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为 P=P-mu E=P22m=P22m-uP+12mu2=E-uP+12mu 2据此，K系和K系中相应的平面波波函数为 y=ei(Px-Et)h， y=ei(Px-Et)h 、代入，即得 y=yexp112mux-mut 2ih此即式，由于这个变换关系仅取决于K和K系的相对速度u，而与

5、粒子的动量P无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。 5.15证明在伽利略变换下薛定谔方程具有不变性，即设惯系K以速度v相对于惯性系K运动时，空间任何一点，两座标系中的坐标满足： x=x+vt y=y z=z t=t 势能在KK两坐标系中的表示式有下列关系 V=V(x-vt,t)=V(x,t) 证明若在K中薛定谔方程式是 hiyt=(-h2222mx+V)y 则在K中：hiv2yt=(-h2222mx+V)y 其中：y(x,t)=ei(vhx-2ht)y(x-vt,t) 证明从伽利略变换定义可知，在式中当t=0时，x=x，t=t，因此在时刻t=0一点的波函数y(x,t)与y(x

6、,t)相重合，这个关系和5.1的海森伯，薛定谔表象变换: j(r,t)=ert/h-iHy(r,0) r(x,t)表示。关于这一点也可以用变换前后的几率相为普遍起见,我们假设K,K间的变换用一未知的么正算符U等来解释y(x,t)2=y(x,t)。 2(x,t)y(x,t) y(x,t)=U逆变换 y(x,t)=U-1(x,t)y(x,t) 从知道：x=xxx=xt=ttt+xtx=t+vx 已知在K描写态的波函数y(x,t)满足： yth22 hi=-2mxy(x,t)+V(x,t)y(x,t) 将和的关系代入；并注意势能V是变换的不变量 hi(t+vxy(x,t)=-)Uh2222mxy(x

7、,t)+V(x,t)Uy(x,t) UyUy) y+U+vy+vU展开得：hi(ttxxU22yyUUUy =-(U+2+y)+V222mxxxxh式子中的变换算符没有单一解，但是，假定象题中指定的，要求另一座标系K中，薛定谔方程式有完全相同的形式，即下式成立的话： hiyt=-h2222mxy(x,t)+V(x,t)y(x,t) yx需要受到限制，即必需化简为，为此比较式左右方y,那末式中U的系数，容易看出，下面二式满足时化为的形式： hi(Ut+vUx2)=-h22U22mx=hhivUUmx将积分，得到： (x,t)=c(t)eU-mvihx(t)cti(t)是个与t有关的算符，再将代入

8、c，得到：=mvi2hx)2(t) cmvi2(t)积分得：c(0)e=c2htmv2(x,t)=c(0)e U2ht-mnh逆变换是：U-1+(x,t)=c(0)-1e=Ui(uvhx-uv22ht)5.15证明schrdinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系K的速度u相对于惯性参照系K运动，空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系： x=x+vt,y=y,z=z,t=t。 势能在两个参照系中的表示式有下列关系 V(x,t)=V(x-ut,t)=V(x,t) t证明schrdinger方程在K参照系中表为 ih yh22=-2mx2+Vy h22 在K参照系中表

9、为 ihy=-2mx2+Vt2mumu其中 y=expihx-2hy ty(x-ut,t) 证：由波函数的统计解释，y和y的意义完全相同。 y(x,t)2=w(x,t)， 是t时刻在x点找到粒子的几率密度； 2y(x,t)=wx,t()，是t时刻在x点找到粒子的几率密度。 但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 w(x,t)=w(x,t) 从式有 w(x-ut,t)=w(x,t) 由此可以得出， y和y两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以 y(x,t)=eyiS(x,t)=eiS(x,t)y(x-ut,t) y(x-ut,t)=e-iS(x

10、,t)y(x,t) x2由式， =x, t=vx+t, x22=22x式变为：-h222mxy(x,t)+V(x,t)y(x,t) =ihu将代入式，可得 -h2xy(x,t)+ihty(x,t) y222mx2222hShSSShSy+ih-u+V(x,t)+i+-h-huy2mxx2m2mxxtt=ihyt选择适当的S(x,t)，使得， hSmx-u=0 。 ih22mSx22SSS+-hu-h=0 2mxxthx+f(t) 。 22从可得 S=muh，可得 f(t)是t的任意函数，将代入ftmu2hmu2h22=- 积分，得 f(t)=-t+C 。 C为积分常数，但u=0时，K系和K系重

11、合，y应等于y，即S应等于0，故应取C=0，从而得到 muhmu2h2S=x-t 代入式，最后得到波函数的变换规律： y=yexp112mux-mut 2ih12mux+mut 2逆变换为 y=yeiSi=yexph“，”的量和不带“，”的量互换。 相当于式中的u-u，带讨论：S(x,t)的函数形式也可用下法求出： 因S(x,t)和势能V无关，所以只需要比较平面波在K和K系中的表现形式，即可确定S(x,t). 沿x方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为 P=P-mu E=P22m=P22m-uP+12mu2=E-uP+12mu 2据此，K系和K系中相应的平面波波函数为 y=

12、ei(Px-Et)h， y=ei(Px-Et)h 、代入，即得 y=yexp112mux-mut 2ih此即式，由于这个变换关系仅取决于K和K系的相对速度u，而与粒子的动量P无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。 5.162.1 5.172.2 5.17设Hamilton量H=P22u+Vr。证明求和规则(En-Em)xnmn()2=h22ux是r的一个分量， 是对一切定态求和，En是相应于n态的能量本征值，Hn=Enn。 n证： x,H=A=12ux,p=2x212u2ihpx=ihupx =(Enn-Em)xnm=nmxnn(Enx-xEm)mnmxnnHxm-nxHm

13、=-mxnnnx,Hm(D)=-2un1mxnnx,Px2m=-ihunmxnnPxm =-ihumxPxm m(xEn-Emx)nnxm又A=n=nmx,Hnnxm(D)=-ihumPxxn 2A=ihum(Pxx-xPx)m=-2ihumx,Pxm=-ihuih=h2u， A=(Enn-Em)xnm2=h2u。 不难得出，对于Y,Z分量，亦有同样的结论，证毕。 5.182.4 5.18设Fr,p为厄米算符，证明能量表象中求和规则为 ()n(En令-Ek)Fnk2=12kF,H,Fk 证：式左端=A=(Enn-Ek)kFnnFk=nkFnn(HF-FH)k =kF,H,Fk 计算中用到了公式

14、 nn=1。 n由于H,F是厄米算符，有下列算符关系： *H,F+=(HF-FH)+=F+H+-H+F+=FH-HF=-H,F 式取共轭(+)，得到 A=A+=kF,H,Fk+=kH,F+F+k(=3)-kH,FFk 结合式和，得 A=(En-E2k)Fnk=1,H,Fk证毕。 n2kF5.192.5 5.19）设F(r,p)为厄米算符，证明能量表象中求和规则为 (En-Ek)F2nk=1H,Fk n2kF,证：式左端令=A=(En-Ek)kFnnFk=kFnn(HF-FH)knn=kF,H,Fk 计算中用到了公式 nn=1。 n由于H,F是厄米算符，有下列算符关系： *H,F+=(HF-FH

15、)+=F+H+-H+F+=FH-HF=-H,F 式取共轭(+)，得到 A=A+=kF,H,Fk+=kH,F+F+k(=3)-kH,FFk 结合式和，得 3） 4） 3） 4） 是守恒量。 自由粒子 无限的均匀柱对称场 无限均匀平面场 中心力场 均匀交变场 椭球场 ,H等是否是零,但,P 宇称量等表示成适宜的形式,再考察A,l,H解要判断哪些力学量守恒,需要将力学量prr,l的分量或其平方, H是该力学量,若该交换式是零就说明A是个守恒量,下面各种场的分析中, p,P等逐个A立式考虑, =0 H自由粒子 V2p2m2=px,Hx,a p12mx+py+pz)=0 (p22=0 =0 pz,Hy,

16、H同理 p11222=h(ypx-zy),x+py+pz)=ypx-pzpy)=0 pb lx,H(p(pi2m2m=0 l,H=0 同理ly,Hz为宇称，对任意波涵数y(r,t) c设PrrHy=P-h(+)y(rP,t) 2222mxyz2222=-h22m(-x)(22+22(-y)+22(-z)r)y(-r,t) rry(-rPy(r=H,t)=H,t) H=HP 或 P,H=0 P,P守恒。 ,l,H此外H不显含时间，故总的说p无限均匀柱对称场 柱对称场若用柱面座标(R,j,z)表示势能时,形式为V(R),是对称的哈氏算符,凡以z轴为对称轴的柱面上各点，势能V(R)相同。 H=-h2

17、2m1RR(RR)+1R222j+22(z)+V(R) x=a动量算符 phihi(cosjRR-sinjRj)， y= p(sinj+cosjRj)， z= phiz直截代入相应的对易式，得： =0 0 p0 pz,Hy,Hx,Hphzb角动量分量 lx=-zsinj-cosj+Rcosj iRRjzhz ly=zcosj-sinj-Rcosj iRRjzh lz= ij直截代入相应的交换式，得： 0 l,H=0 0 l,Hlx,Hyzrrr1Hy(r1p2+V(r)y(r,t)=2+V(-r)y(-r,t) c P,t)=Pp2m2m柱面对称性的表示式V(r)=V(-r) rrrrHy(r

18、Py(r,H=0 故前式成为 P,t)=H,t) P也不显含时间t，总的说来p,P四力学量守恒。Z是柱面对称轴方向的座标。 z,lz,H此外H无限均匀的平面场 均匀平面场在一平面内势能不为零,并且处处相等,而与该点的座标无关,记作V0. 22=1p=1(p 2+Vx+py)+VH002m2m=px,Hx,a p12m12m22 x+py)+V(p0x, =p22)=0 x+py)+(px,V(p0=0 y,H同理prpy-ypx b角动量l系沿着z轴,故lx=0 ,ly=0, lz=x=0 =0 l,Hlx,Hy122=x py-ypx,x+py)+V lz,H(p02m12m=ypx-hip

19、xpy)=0 (hiprlz,H=0 Hy=P-c P(2+)+V0y(x,y,t) 22mxy2h222 =-,H=0 Ph2m(-x)(22+22(-y)Py )+V0y(-x,-y,t)=HrrH不显含t,总起来说p,lz,H,P守恒. 本题和三维自由场类似,差别在于均匀二维势场,但它不影响力学量的守恒. 中心力场 这种场的势能V(r),哈氏算符 H=-2(r)-22+V(r) 2mrrrhrh2122l动量算符如下: x=phixhiyhiz=hihihisinqcosjrr+cosqcosjrq-sinjrsinqjcosj y=p=sinqsinjr+cosqsinjr q-rsi

20、nqj z=p=cosq-sinqrq由于x中所含V(r)对易,因而各分量p对易,即p0等式成立， x等都不和Hx,H等不能与H2p2=-h1r2r22(r2r)-12rsinqq22(sinqq)-1rsin2222qj =-h(2x+22y+z对易。即p0 2,H)和V对易，也不与Hb角动量算符是： lx=hisinj+ctgqcosj qjly=-hicosj-ctgqsinj qj lz=-hijl=-h2i1sinqq(sinqq)+1sin222qj r2 l及其分量仅与角度(q,j)有关，与r无关，因而lx等和l和势能V对易直接看出：2lz,l=0 22直接代入能证：lx,l=0

21、 ly,l=0 =-hi,-h1(r2)-1l2=0 lz,H222j2mrrrhr2同理关于lx，ly。 h112222l,H=l,-2(r)-22l=0 2mrrrhr2c中心力场是球对称势场，即在同一球面上势能相等V(-r)=V(r) 对任意波函数y(r,t)，有 2rrrrpPH(r)y(r,t)=P+V(r)y(r,t) 2m2rrrrrpPy(r=+V(-r)y(-r,t)=+V(r)y(-r,t)=H,t)， 2m2m2prrr,H=0 Pr,P。 中心力场的守恒量是l,l2,H均匀交变场 这种势场可以是三维的，但既是均匀的，则势能不应依赖于座标，而只依赖于时间，例如写成标量场形

22、式 V=V0coswt rr这样，在每一个指定时间t就是一个空间中的均匀场，其性质就和三维自由粒子场相仿。k,l,H ,P守恒量。但若这种场是矢量场，例如一个电场沿z轴，随时间作交变，这样对称性要减低。 rrV=V0coswtk ,P x,py,lx,H则守恒量是p椭球场 这种势场的对称性,在于场的等势面是一群椭球面,因而势场写作: rx2y2z2V(r)=+ abc这可以用直角坐标形式的算符来讨论: =-h(+)+(x)2+(y)2+(z)2 H2222mxabcyzhix2222x=动量算符是：py= ，phiyz= ，phiz另两个轮换对称。 x,x=由于直角坐标与其共轭动量不对易，即p

23、hi等 =x,Hphix,-h22mx(22+22y+22z)+(y2z22)+ abcxx,x0，所以动量不守恒，同理 一式中p2=lx,Hhi(yz-zy),-h22mx(22+22y+22z)+(y2z22)+ abcx两部分都不能够对易，因而角动量也不守恒。 此式之中lx与T，V和P两种。 椭球形势场中粒子的守恒只会有Hc.f.D.特哈尔：量子力学习题集：3。31题p154p。160。 2.对于平面转子，设：y(j,0)=Asin2j 试求y(j,t) 解平面转子的定位坐标是转角j，这种坐标相当于球面极坐标中r=常数，q=p2，j=自变量的情形。 首先推出哈氏算符，在经典力学中，若刚体

24、对旋转轴转动惯量I，角动量lx和动量T的关系是T= 根据本章5.1的状态的波函数采用海森伯表象时记作j(r,0)，采用薛定谔表象时是y(r,0),则二者有函数变换关系是： rr j(r,t)=e-iHt/hy(r,0) rr12Ilx，转子的势能是零，又在球面极座标中导得lz=2hij=-，故转子哈氏算符：Hh2222Ij本题是该公式的典型用法的示例，本题情形，所用变换算符不显含时间，根据式有： iht/h22 将式运算于题给的海森伯表象波函数 e=et/h-iH2Ijy(r,t)=j(j,t)=e2riht/h2I22j(1-cos2j2)=n=01hitnn1-cos2j2n!2I2j注意到： jcos2j=2cos(2j+p)=-2sin2j 22jcos2j=-2cos2j 22n2njcos2j=22ncos(2j+np)=(-4)cos2jny(j,t)=n=01-2hitn1-cos2j1=-n!I22n=01-2hitncos2jn!I2=1212-n=01-2hitncos2jn!I2-2hitI=1-ecos2j-(4)还是非归一化的波函，要将y(r,t)归一化，应乘常数 r43p。