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1、最小拍设计4-7 什么是最少拍系统？设计最少拍系统必须满足哪些要求？ 答： 最少拍设计法是一种直接设计法。直接设计法是指先对被控对象G(s)离散化，得到对应的G(z)，再直接按照动态指标要求，进行离散时间动态设计，直接得到对应的调节器传递函数D(z)。针对某一特定的输入R(z)，求得一个调节器D(z)，使得误差E(z)为有限N项，称为有限拍设计法；如果N取得可能的最小值，则称为最小拍设计法。 设计最小拍系统，为了满足误差E(z)仅有有限N项非零，调节器D(z)至少应满足以下约束条件： 1） 2） 3） 设计的闭环系统是稳定的； 调节器D(z)本身是稳定的； 调节器D(z)本身是可以实现的。 4
2、-8 最少拍系统有哪些局限性？对输入函数的适应性如何？ 答： 局限性： 1）针对某一特定输入设计的有限拍系统，其调节器D(z)对于该特定输入是最小拍无差；但是，对于其它不同类型的输入，其输出特性可能会变得很差，这是有限拍设计法的最大缺点。 2）有限拍设计法是基于严格的被控对象G(z)的数学模型的。当G(z)的数学模型有偏差时，“最小拍无差”就会失效。 3）对于闭环动态系统，无论是内环还是外环，一般很难限定其输入函数为哪种典型类型；加上G(z)的数学模型总会有误差。因此，其工程应用受到很大限制。 4）最少拍系统受最大输出功率的限制，因此往往只能是有限拍。 对输入函数的适应性： 见上局限性。 4-
3、9 已知被控对象的传递函数G(s)=馈系统。要求： 10采样周期T=0.1s，采用零阶保持器，单位反s(0.1s+1)针对单位阶跃输入信号设计最少拍系统的D(z)，并计算输出相应y(kT)、控制信号u(kT)和误差e(kT)序列，画出它们随时间变化的波形。 针对单位阶跃输入信号设计最少拍无纹波系统的D(z)，并计算输出相应y(kT)、控制信号u(kT)和误差e(kT)序列，画出它们随时间变化的波形。 解： 求被控对象G(z)， 1-e-Ts10G(z)=Zss0.1s+1()10-1=(1-z)Z2s0.1s+1()1101=(1-z-1)Z2-+ss+10sz-110Tzzz=-+2-10T
4、zz-1z-e(z-1)1z-1-1+z-1z-0.3680.368z+0.264=(z-1)(z-0.368)=0.368z-1(1+0.717z-1)(1-z)(1-0.368z)-1-1设单位圆外极点个数为i，圆内外所有零点个数为j，延时因子个数z-1为r，输入函数阶次为p。 最少拍有纹波系统 广义被控对象零极点的分布 单位圆外极点，无，i=0 单位圆外零点，无，j=0 延时因子，z-1，r=1 输入阶跃函数R(z)的阶次，p=1 确定期望的闭环结构 闭环传递函数Gc(z)：Gc(z)=z-rTl(z-1) 误差传递函数Ge(z)：Ge(z)=(1-z-1)Bq(z-1) 因为Gc(z)
5、和Ge(z)的阶数要相同 所以l+r=1+q 按最小拍设计，又因延时因子r=1 所以l=q=0 所以：Gc(z)=z-1T0(z-1) Ge(z)=(1-z-1)B0(z-1) 于是令 ： T0(z-1)=a0B0(z-1)=b0代入上式，得：Gc(z)=z-1a0 Gz-1e(z)=(1-)0b 根据Gc(z)+Ge(z)=1，得： a0=1，b0=1 所以可得： Gc(z)=-z1 Ge(z)=1-z1 确定控制器结构 D(z)=Gc(z)Ge(z)G(z)z-1=-1(1-z1)0.368z(1+0.717z-1)(1-z-1)(1-0.368z-1) =1-0.368z-10.368(
6、1+0.717z-1)=2.717(z-0.368)(z+0.717) 检验控制序列的收敛性 U(z)=D(z)E(z)=Gc(z)G(z)R(z)=z-110.368z-1(1+0.717z-1-1()1-z1-z-1)(1-0.368z-1)1-0.368z-1=0.368+0.264z-1=2.717-2.948z-1+2.114z-2-1.516z-3+1.087z-4u(kT)=2.717d(k)-2.948d(k-1)+2.114d(k-2)-1.156d(k-3)+1.087d(k-4)刻起的值为2.717，-2.948, 2.114，-1.516, 1.087，故是收敛的。 检
7、验输出响应的跟踪性能 (z)=Gz)R(z)=z-1Yc(1-z-1=z-1+z-2+z-3+ 即控制量从零时y(kT)=d(k-1)+d(k-2)+d(k-3)+输出序列为1，1，1,，从第二拍起可得稳定的系统输出。 误差信号 E(z)=Ap-1(z)Bq(z)=1 e(kT)=d(k) 从第二拍起误差为0且保持不变。 在Simulink环境下系统仿真模型如图1所示： 图1 系统仿真模型 有纹波仿真结果如图2所示： 图2 有纹波系统仿真波形 注：黄色误差 紫色连续输出 青色离散输出 红色输出控制序列 由图可见，各变量均与上述分析完全一致。 最少拍无纹波系统 广义被控对象零极点的分布 圆外极点
8、 无， i=0 圆内外零点有一个 p1=-0.71，7 j=1 延时因子 z-1 r=1 输入阶跃函数R(z)的阶次 p=1 确定期望的闭环结构 闭环传递函数Gc(z)：Gc(z)=z-r(1+0.717z-1)Tl(z-1) 误差传递函数Ge(z)：Ge(z)=(1-z-1)Bq(z-1) p因为Gc(z)和Ge(z)的阶数要相同 所以l+r+1=q+p l+2= q+1 按最小拍设计 所以l=0，q=1 所以：Gc(z)=z-1(1+0.717z-1)T0(z-1) Ge(z)=(1-z-1)B1(z-1) 于是令 ： T0(z-1)=a0B1(z-1)=b0+b1z-1代入上式，得：Gc
9、(z)=z-1(1+0.717z-1)a0 Ge(z)=(1-z-1)(b0+b1z-1) 根据Gc(z)+Ge(z)=1，得： a0=0.582，b0=1，b1=0.418 所以可得： Gc(z)=0.582z-1(1+0.717z-1) Ge(z)=(1-z-1)(1+0.418z-1) 确定控制器结构 Gc(z)D(z)=Ge(z)G(z)=0.582z-1(1+0.717z-1)-1-1-1-10.368z(1+0.717z)(1-z)(1+0.48z)(1-z-1)(1-0.368z-1)1.582(1-0.368z-1)=1+0.418z-1 检验控制序列的收敛性 U(z)=D(z
10、)E(z)=Gc(z)R(z)G(z)11-z-1 0.582z-1(1+0.717z-1)0.368z-1(1+0.717z-1)-1-1-1(1-z)(1-0.368z)=1.582(1-0.368z)=1.582-0.582z-1u(kT)=1.582d(k)-0.582d(k-1) U(z)为有限序列，从第三拍起U(z)=0且保持不变。 检验输出响应的跟踪性能 Y(z)=Gc(z)R(z)=0.582z-1(1+0.717z-1)0.582z-1+0.417z-2=1-z-1=0.582z-1+0.999z-2+0.999z-3+11-z-1y(kT)=0.582d(k-1)+0.999d(k-2)+0.999d(k-3)+输出序列为0，0.582，0.999,0.999.从第三拍起可得稳定的系统输出。 误差信号 E(z)=Ap-1(z)Bq(z)=Ge(z)R(z)=1+0.418z-1e(kT)=d(k)+0.418d(k-1) 从第三拍起误差为0且保持不变。 在Simulink环境下系统仿真模型如图3所示： 图3 系统仿真模型 仿真结果如图4所示： 图4 无纹波系统仿真波形 注：黄色误差 紫色连续输出 绿色离散输出 红色输出控制序列 由图可见，各变量均与上述分析完全一致。
