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1、有关动点的定值问题有关动点的定值问题 教学目标: 1、通过对动点问题的探讨，明确有关动点的一类定值问题，能利用“一审、二探、三析、四解、五思”几个环节来解决。 2、让学生通过对动点问题的探讨，培养学生通过观察、实验、归纳等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性。 3、让学生通过对动点问题的探讨，培养学生善于灵活运用数学思想和数学方法的能力。 教学重点: 通过对动点问题的探讨，明确了有关动点的一类定值问题，能利用“一审、二试、三析、四解、五思”几个环节来解决。 教学难点: 能够善于灵活运用数学思想和数学方法 教学过程: 一、创设情境 现有一块等腰直角三角形的草坪，欲从斜边处任取一位置在草坪内修
2、葺分别平行于两腰并与两腰有一交点的两条鹅卵石小路，小明说：“取在斜边的中点处最能节省鹅卵石”，小慧说：“我认为取在斜边处任一位置都是用的一样多鹅卵石”。同学们，你认同谁的观点呢？说说你的理由。 B QM 二、讲授新课 一个动点问题 APC若这个三角形只是等腰三角形，结论还能成立吗？ 变式一：已知在ABC中,AB=AC，M为底边BC上一动点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q，当点M在BC上运动时，MQ与MP的和变化吗？为什么？ A解AB=AC PB=C 又QMAP QQMB=C BCQMB=B MQB=QM 又QMAP，MPAQ 四边形AQMP为平行四边形 MP=AQ MQ+
3、MP=AQ+BQ=AB MQ与MP的和为一腰的长，与底边的长度无关。 若这个三角形只为一般三角形，结论还能成立吗？ 如变式二：已知在ABC中，M边BC上一动点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q，当点M在BC上运动时，MQ与MP的和变化吗？A上题结论仍成立吗？ Q在探的过程中用特殊位置法、学生自画图测量一般位置、 PCB几何画板演示均可说明。 M回顾思维过程，可让学生总结解题一般步骤： 一、审：明确题意，分清条件和结论 二、探：探索未知的结论 由于定值与相关元素的位置无关，因此让元素运动到某个特殊的位置，便可获得定值的大小，这种探求定值的方法称为特殊位置法。 三、析：由“已
4、知”想“未知”，由“未知”想“需知”，把问题分解若干个基本题；把已知条件有等腰三角形、平行线会联系到角之间的转化，善于将原问题转化，以达到解决原问题的目的。 四、解： 五、思：反思解题的数学知识、数学思想方法、及可变式的结论。 在情境引入时我们知道若三角形为等腰直角三角形时，MQ与MP的和没有变化，此时MQ与MP的位置是很特殊的，它不仅是过点M分别平行于两腰的线段，而且与两腰还有什么特殊的位置关系？ 即现有一块等腰直角三角形的花园，欲从斜边处任取一位置在花园内修葺分别垂直于两腰并与两腰有一交点的两条鹅卵石小路，则取在斜边处任一位置都是用的一样多鹅卵石。 若这个三角形是等腰三角形，结论还能成立吗
5、？ 如变式三：如图, 已知在ABC中,AB=AC，M为底边BC上一动点，过点M分别作AB、AC的垂线交交AB于Q，AC于P，当点M在BC上运动时，MQ与AMP的和变化吗？为什么？ 在试的过程中用特殊位置法、学生自画图测量一般位置、 几何画板演示均可说明。 PQ CBM 分析时注意已知条件中垂直通常与高、面积进行定向分析。 方法一：面积法 连接AM，过点B作BDBC，垂足为D 则SABM + SACM = SABC A可得MQ+MP=BD 方法二(截长法) G过点B作BDBC，垂足为D，在BG上截取HG=MP PHQ CB M方法三(补短法) G过点B分别作BDBC，BHMP，垂足分别为G，H。
6、 P Q CBM H如变式三：已知在等边ABC中，M为三角形内一动点，过点M分别作AB、AC、BC的垂线段分别交三边于D、E、F， MD、ME、MF的和变化吗？为什么？ A 在试的过程中用特殊位置法、学生自画图测量一般位置、 几何画板演示均可说明。 EF M 分析时注意已知条件中垂直通常与高、面积进行定向分析。 CB方法一：面积法 D过点A作AGBC，垂足为G，连接AM、BM、CM， A 则SABM + SACM +SBCM= SABC 可得MD+ME+MF=AG E方法二 FMH过点A作AGBC，垂足为G，过点M作HKBC交两边于H、K KNCB GD例2、如图，在平面直角坐标系内，A，B，
7、C、D分别是OA、OB上的一个动点，且CD=4，点P为CD的中点，若点P的坐标为，则当C从点A运动到O时，x+y的值有变化吗？为什么？ 一、审：明确题意，分清条件和结论 二、探：探索未知的结论和探索解决问题的方法 三、析：经过探索出点P的轨迹，由未知想需知，只需说明OP为定值，再由整个过程中不变量COD=90,CD=4，可得解题思路。 四、解 过点P作PMx轴，PNy轴，垂足分别为M、N 在RtCOD，点P为CD的中点 AOP=CD=2 222又在RtPOM中，PM+OM=OP 22Ay543C即x+y=4 五、思：反思解题的数学知识、数学思想、数学方法。 反思：点P是在怎样的路线上运动？ 2
8、22N1O-1PxD4-2M2变式一: 如图，在平面直角坐标系内，A，B，C、D分别是OA、OB上的一个动点，且CD=4，Q为OCD与ODC角平分线的交点，当C从点A运动到O时， 点Q的横坐标与纵坐标有什么关系？ 点Q是在怎样的路线上运动？ 解 点Q的横坐标与纵坐标相等 在直线y=x上运动 A C 反思： 例2中的点P为RtCOD外心 变式中的点Q为RtCOD内心 Q OD三、课堂小结 1、今天我们通过研究有关动点的定值问题，能利用“一审、二试、三析、四解、五思”几个环节来解决。 2、 探索未知的结论的常用方法 由于定值与相关元素的位置无关，因此让元素运动到某个特殊的位置，便可获得定值的大小，这种探求定值的方法称为特殊位置法。 四、练习 1、点A、B为O上两点，且AOB=100，点P为异于A、B的O上的一动点，则AOB的度数为 。 2、如图，AB=4，P是线段AB上一动点，以PB为边作正方形PBCD，点E是直线AD与正方形PBCD的外接圆除点D以外的另一个交点，直线BE与直线PD相交于点F。当点P在线段AB上运动时，PF与PB的和有变化吗？为什么？ DC E F APB y54321x-224省教研室 送教下乡 课 题：动 点 问 题
