有理数典型例题.docx

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1、有理数典型例题 数怎么不够用了 典型例题 例1 如果向东走8千米记作8千米，向西走5千米记作5千米，那么下列各数分别表示什么？ 4千米； 千米； 0千米 解：4千米表示向东走4千米 千米表示向西走 千米 0千米表示原地未动 说明：用正数和负数可以表示意义相反的量正数前面可以加上“”号，一般地，正数前面的“”号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上“”号0除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义 例 2用有理数表示下面各量 如果收入200元记作200元，则如何表示支出100元？ 如果海平面以下100米记作100米，则如何表示海平面以上1000米？ 如果

2、向南行100米记作100米，则向北行200米如何表示？ 如果比标准重量重10千克记作10千克，则比标准重量少5克应如何表示？ 分析 该题中每两个量都是意义相反的两个量，为了区别意义相反的量我们应用不同符号的数来表示 解 支出100元表示为100元；海平面以上1000米应表示为1000米；向北行200米表示为200米；比标准重量少5克表示为5克 注意 一个量是用正数表示，还是用负数表示是人们规定的，但在表示中也应尊重人们在多年生活中形成的习惯如：零上温度一般规定为正；海平面以上一般规定为正等；正数前面的“”号是可以省略不写的 例3 判断正误 -a一定是负数 零是自然数 没有最小的正有理数 解：

3、说明：应紧扣互为相反数、负数、零、正有理数的概念来解此类题，主要是应想到我们已经学到了代数领域了应时时注意到字母a可能为：负数、零、正数 例4 在知识竞赛中，如果10表示加10，那么扣20分怎样表示？某人转动转盘，如果用5表示沿用逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0. 02克记作0.02，那么0.03克表示什么？ 解：扣20分记作20分；顺时针方向转了12圈记作12圈；0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0. 03克 说明：通过三个实例说明如何用正负数表示这种具有相反意义的量 例5 把下列各数填在相应的括号内：-16，26，

4、-12，-0.92， ，0， ，0.1008，-4.95 正数集合 ； 负数集合 ； 整数集合 ； 正分数集合 ； 负分数集合 ； 分析：根据正数、负数、整数和分数的定义，严格区别注意零既不是正数，也不是负数，但是整数 解：正数集合26， ， ，0.1008，； 负数集合-16，-12，-0.92，-4.95，； 正分数集合 ， ，0.1008，； 负分数集合-0.92，-4.95， 说明：用大括号表示集合时，要注意省略号的使用如“正数集合”指的是包含所有正数的一个“集体”，因为是“所有的”，而具体填时仅能填写一部分，所以后面应加省略号 习题精选 一、选择题 1下面说法中正确的是 A一个数前面

5、加上“”号，这个数就是负数 B0既不是正数，也不是负数 C有理数是由负数和0组成 D正数和负数统称为有理数 2如果海平面以上200米记作200米，则海平面以上50米应记作 A50米 B50米 C可能是50米，也可能是50米 D以上都不对 3下面的说法错误的是 A0是最小的整数 B1是最小的正整数 C0是最小的自然数D自然数就是非负整数 二、填空题 1如果后退10米记作10米，则前进10米应记作_； 2如果一袋水泥的标准重量是50千克，如果比标准重量少2千克记作2千克，则比标准重量多1千克应记为_； 3车轮如果逆时针旋转一周记为1，则顺时针旋转两周应记为_. 三、判断题 0是有理数 有理数可以分

6、为正有理数和负有理数两类 一个有理数前面加上“”就是正数 0是最小的有理数 四、解答题 1写出5个数，同时满足下面三个条件 其中三个数是非正数；其中三个数是非负数；5个数都是有理数 2如果我们把海平面以上记为正，用有理数表示下面问题 一架飞机飞行高于海平面9630米；潜艇在水下60米深 3如果每年的12月海南岛的气温可以用正数去表示，则这时哈尔滨的气温应该用什么数来表示？ 4某种上市股票第一天跌0.71，第二天涨1.25，各应怎样表示？ 5如果海平面以上我们规定为正，地面的高度是否都可以用正数为表示？ 6一学生参加一次智力竞赛，其中考五个题，记分标准是这样定的，如果答对一题得1分，答错或不答都

7、扣1分，该生得了3分，问其答对了几个题？ 数轴 习题精选 一、选择题 1一个数的相反数是它本身，则这个数是 A正数 B负数 C0 D没有这样的数 2数轴上有两点E和F，且E在F的左侧，则E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的 A左侧 B右侧 C左侧或者右侧 D以上都不对 3如果一个数大于另一个数，则这个数的相反数 A小于另一个数的相反数 B大于另一个数的相反数 C等于另一个数的相反数 D大小不定 二、填空题 1如果数轴上表示某数的点在原点的左侧，则表示该数相反数的点一定在原点的_侧； 2任何有理数都可以用数轴上的_表示； 3与原点的距离是5个单位长度的点有_个，它们分别表示的有理数是_

8、和_； 4在数轴上表示的两个数左边的数总比右边的数_ 三、判断题 1在数轴离原点4个单位长度的数是4 2在数轴上离原点越远的数越大 3数轴就是规定了原点和正方向的直线 4表示互为相反数的两个点到原点的距离相等 四、解答题 1写出符合下列条件的数 大于 而小于1的整数； 大于4的负整数； 大于0.5的非正整数 2在数轴上表示下列各数，并把各数用“”连结起来 7，3.5，0，4.5，5，2，3.5； 500，250，0，300，450； 0.1， ，0.9， ，1，0 3找出下列各数的相反数 0.05 1000 4如图，说出数轴上A、B、C、D四点分别表示的数的相反数，并把它们分别用标在数轴上 5

9、在数轴上，点A表示的数是1，若点B也是数轴上的点，且AB的长是4个单位长度，则点B表示的数是多少？ 绝对数 典型例题 例1 求下列各数的绝对值，并把它们用“”连起来 ， ，0，1.2 分析 首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出 ，其他数的比较就容易了 解 说明： 利用绝对值只是比较两个负数 例2 求下列各数的绝对值： 38；0.15； ； 分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有

10、给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论 解：|-38|38；|+0.15|0.15； 0，|； b0，3b0，|3b|3b； 2，-20，|-2|-(-2)2-； 说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论 例3 一个数的绝对值是6，求这个数 分析 根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是 说明：互为相反数的两个数的绝对值相等 例4 计算下列各式的值 ； ； ； 分析 这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算 解 ； ； ； 说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要

11、简算，如题 例5 已知数 的绝对值大于 ，则在数轴上表示数 的点应在原点的哪侧？ 是正数还是负数由于负数的绝对值是 分析 确定表示 的点在原点的哪侧，其关键是确定 是负数 它的相反数正数，所以可确定 解 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以 是负数，故表示数 的点应在原点的左侧 说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值 绝对数 习题精选 一、选择题 1如果 ，则 A B C D 2下面说法中正确的是 A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 3下面说法中正确的是 A若 和 都是负数，且有 ，则 B若 和

12、都是负数，且有 ，则 C若 ，且 ，则 D若 都是正数，且 ，则 4数轴上有一点到原点的距离是5，则 A这一点表示的数的相反数是5 B这一点表示的数的绝对值是5 C这一点表示的数是5 D这一点表示的数是5 二、填空题 1已知某数的绝对值是 ，则 是_或_； 2绝对值最小的有理数是_； 3一个数的相反数是8，则这个数的绝对值是_； 4已知数轴上有一点到原点的距离是3，则这点所表示的数的绝对值是_，这点所表示的数是_ 三、判断题 1有理数的绝对值总是正数 2有理数的绝对值就等于这个有理数的相反数 3两个有理数，绝对值大的数反而小 4两个正有理数，绝对值大的数较小 5 四、解答题 1求下列各数的绝对

13、值，并把它们用“”连起来 2.37，0， ，385.7 2把下列一组数用“”连起来 999， ， ，0.01， 3计算下列各式的值 ； ； ； 4如图，比较 和 的绝对值的大小 5计算下面各式的值 ； 水位的变化 典型例题 例1 小明业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表： 正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降 问本周哪一天的平均成绩最高，它是多少环？ 问本周哪一天的平均成绩最低，它是多少环？ 本周日的成绩和上周日的成绩比是提高了，还是下降了，其变动的环数是多少？ 分析 这题的关键问题是求出本周每天训练的平均环数，而要求出一天的平均环数只需

14、知道前一天的平均环数，而上周日的平均环数已知。 解 本周训练每天的平均环数如下： 周一：8.519.5； 周二：9.50.29.9； 周三：9.79.2； 周四：9.20.39.5； 周五：9.50.29.7； 周六：9.79； 周日：98.9。 由此可知本周二和本周五训练的平均成绩最高，是9.7环，本周日训练的平均成绩最低，是8.9环，本周日的平均成绩和上周日的平均成绩比是提高了，提高了0.4环。 说明： 本题中正数和负数的标准是以前一天的平均环数为标准，而不是都以上周日的平均环数为标准；注意在计算类似于这样的题时首先要把正、负的标准弄清楚。 例2 下表是一个水文站在雨季在某条河一周内水位变

15、化情况的记录其中，水位上升用正数表示，水位下降用负数表示 注：表中记录的数据为每天12时的水位与前一天12时水位的变化量 上周日12时的水位高度为2米 请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了 用折线图表示本周每天的水位，并根据折线图说明水位在本周内的升降趋势 分析 计算这七天水位变化量的和，看结果是正、还是负，若是正，说明周末水位上升了；若是负；说明水位下降了 解 本周末水位下降了 如图所示 说明：本例是有理数的加法和统计图知识交汇综合题 水位的变化 习题精选 1小胖去年年末称体重是75千克，今年一月份小胖开始减肥，下面是小胖今年上半年体重的变化情况： 负数表示比上月减少，正数表示比上月

16、增加 小胖16月中哪个月的体重最重，是多少？ 小胖16月中哪个月的体重最轻，是多少？ 小胖6月份的体重较比去年年末是增加了还是减少了，是多少？ 2某校初一抽出5名同学测量体重，小明体重是55千克，其他4名同学的体重和小明体重的差数如下表： 比小明重记为正，比小明轻记为负 哪几名同学的体重比小明重，重多少？ 哪几名同学的体重比小明轻，轻多少？ 写出最重和最轻的两个同学的体重，并说明这两名同学之间的体重相差多少？ 3某百货商场的某种商品预计在今年平均每月售出500千克，一月份比预计平均月售出额多10千克记为10千克，以后每月销售量和其前一个月销售量比较，其变化如下表： 每月的销售量是多少？ 前11

17、个月的平均销售是多少？ 要达到预计的月平均销售量，12月份还需销售多少千克？ 有理数的乘法 典型例题 例1 计算： ； 分析 和都是两个有理数相乘，我们根据法则先来确定乘积的符号，再把绝对值相乘 解 14 说明：为了使结果不出现差错，初学者做题时，中间的步骤是必要的我们不必死记法则，只需知道两个数相乘如何确定符号，其他就和小学的乘法一样了 例2 计算： A把小数化为分数，或者把分数化为小数 B利用符号法则确定乘积的符号 C把带分数化为假分数 D考虑怎样使用乘法结合律或者交换律 时，应首先 分析 有理数乘法与小学所学乘法的区别在于符号，初学者进行有理数乘法运算最容易出现的错误也在于符号，发生错误

18、的同学往往并不是没记住有理数乘法的运算法则，而在于重视符号的意识不强，所以初学者一定要把确定乘积的符号作为大事，放在首位，也就是说，完成有理数乘法运算要分两步走：先是确定乘积的符号，然后再计算乘积的绝对值 解 选B 说明 进行两个以上有理数相乘的运算，首先确定乘积的符号，这样做不但有减少运算错误使运算简化的作用，与此同时，也能起到培养良好的学习习惯的作用 就本题来讲，如果不先确定乘积的符号，可能在运算过程中就必须确定三次符号，这样就增加了运算步骤 例3 计算： 分析 这类题目只不过比小学做过的题目多了一个符号问题，应该先确定乘积的符号，之后再考虑怎样运算更简便些本题中，由于“81”是9的倍数，

19、“72”是12的倍数，可以使用乘法交换律与结合律简化运算 解 说明：如果运算基础较好，则完全可以不使用交换律与结合律，而把带分数化为假分数，把小数化为分数形式后进行约分 上面约分过程中没有把分母中的100与某个分子约分，是为了把结果化为小数时方便，这是思维灵活性的表现 概括以上内容，就是“符号正负先定好，灵活准确做计算” 例4 计算： 17.6 ； 分析 和是三个以上有理数相乘，我们可以根据乘法法则两个两个相乘，最后求出结果，在进行有理数的乘法时，过去学过的结合律和交换律仍是适用的 解 17.6 176 88 说明：乘法法则是对两个数相乘而言的，当三个数以上相乘时我们可以依法则两两相乘；由该题

20、我们可以发现，当三个以上非零有理数相乘时，积的正负由负因数的个数而定，当积中有偶数个负因数时积为正；当积中有奇数个负因数时积为负 例5 计算： ； 解 说明：在应用乘法对加法的分配律时，应注意符号的变化初学者中间分别相乘的步骤是为避免出错而设的，熟练之后可以省略 习题精选 一、选择题 1下面说法中正确的是 A因为同号相乘得正，所以6 B任何数和0相乘都等于0 C若，则 D以上说法都不正确 2已知，其中有三个负数，则 A大于0 B小于0 C大于或等于0 D小于或等于0 ，其a、b、c 3若 A都大于0 B都小于0 C至少有一个大于0 D至少有一个小于0 二、填空题 1两个数相乘，同号得_，异号得_，并把_相乘； 2一个数和任何数相乘都得0，则这个数是_； 3若干个有理数相乘，其积是负数，则积中负因数的个数是_数 4先填空，然后补写一个有同样特点的式子 11_， 91_， 122_， 982_， 1233_ 9873_ _ _