有限元课程问题汇总.docx

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1、有限元课程问题汇总1、有限元方法与传统力学方法的比较，有限元的一般概念及基本思路。叙述有限元方法的基本步骤。 答：比较：运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而自行实现，这是常规解析方法无法实现的。即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。 概念：有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，是处理各种复杂工程问题的重要分析手段，也是进行科学研究的重要工具。该方法的应用和实施包括三个方面：计算原理、计算机软件、计算机硬件。 有

2、限元方法的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。 有限单元法解题步骤：结构的离散化，即单元网格划分；选择位移模式；分析单元的力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变，利用本构方程建立单元内任意一点的应力与应变的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程；集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程，包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载列阵；求解结点位移和计算单元应力，包括边界条件修正； 解方程，得到未知问题的节点值；后处理。 2、掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。 答：

3、位移函数：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。 形函数：是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。将外加分布力，转eu(x)=N(x)q换成集中力与弯矩，分别施加在各节点上。二者关系式： 掌握两者之间的关系就是会计算2维情况三角形单元以及四点矩形单元的形函数的计算与推导。 eu(x)=N(x)q二者关系式： 3、位移函数的概念，形函数的意义和

4、性质。 答：位移函数：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。 形函数：是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。将外加分布力，转eu(x)=N(x)q换成集中力与弯矩，分别施加在各节点上。二者关系式： 形函数的性质： 1、形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0； 2、在单元中任一点，所有形函数之和等于1； 3、在三角形单元的边界

5、ij上任一点，有 x-xix-xiNi(x,y)=1-Nj(x,y)=Nm(x,y)=0 xj-xixj-xi4、形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为 AANidxdy=31ijNidl=2ij式中ij为ij边的长度。 4、平面应力问题和平面应变问题有什么不同？ 答：设有很薄的等厚度板，所受外力全部作用在平面，且不随z变化，这种状况叫做平面应力。特点是轴向尺寸比横截面尺寸要小得多。 设有一无限长的等截面柱形体，所承受的外载不随z变化，这种状况叫做平面应变。特点是轴向尺寸比横截面尺寸要大得多。 不同：由两种平面问题的比较可知，除物理方程外，其他方程完全相同，若将平面应力问题的物理方程中

6、的E换成E/(1-u2),u换成u/(1-u)，则可得到平面应变问题的物理方程。 5、掌握迦辽金加权余量法的计算。 答：加权余量法求解流程：1）初步选取尝试函数、构造近似解；2）结合问题的边界条件对尝试函数进行修正，以简化求解；3）写出加权余数表达式；4）令权余数表达式在各尝试函数下为0，得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解。 6、掌握一般问题的变分，求解欧拉方程。 答：函数的变分就是任意小的变化，泛函就是自变量是函数的函数。在所有满足边界条件的这些解中，正确解使泛函取驻值，这就是变分原理。 7、欧拉伯努利梁和铁木辛科梁单元特点和区别？ 答：经典梁单元：忽略了剪切变形和转动惯量，认

7、为初始垂直于中性轴的截平面在变形时仍保持为平面，垂直于中性轴。适用于梁高度远小于跨度的情况。 铁木辛柯梁：位移挠度的一阶导数连续，如果对挠度函数和截面转角进行独立插值，并且考虑剪切变形的影响，这样所构造出来的梁单元。 区别：经典梁基于平截面假定，弯曲是主要变形，忽略剪切变形的影响。铁木辛柯梁考虑梁的剪切变形的影响，即梁变形后的横截面不再垂直于中性层的情况，而且挠度函数和截面转角都是独立插值的。 8、总刚存储都有哪些方法？半带宽的计算方法？ 答： 带宽：反应非零数据集中程度的一个指标。 1、全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮空间，很少采用。Ki,j 2、对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元素。

8、 3、半带宽存贮法 ：存贮上三角形半带宽以内的元素 。 4、一维压缩存贮法 ：半带宽存贮中仍包含了许多零元素。存贮每一行的第一个非零元素到主对角线元素。 半带宽计算：设结构单元网格中相邻结点编号的最大差值是d，则最大半带宽为UBW：UBW=(d+1)ndf,ndf为一个结点的自由度数 结点编号：欲使最大半带宽UBW最小，必须注意结点编号方法，使直接联系的相邻节点的最大点号差最小。 例如： B = 2(4-1+1) = 8 B = 2(6-1+1) = 12 半宽带的计算： di=(第i个单元中节点编号的最大差值+1)l 则整体刚度矩阵的最大半宽带为 d=maxdi (i=1,2,3,4,n)i

9、对于2D问题，l=2，对于3D问题，l=3 9、平面问题常用的单元形式有哪些？平面三角形单元的主要特征？与四边形单元相比精度如何？ 答：单元形式：3节点三角形单元，4节点矩形单元 特性： 1、平面三节点三角形单元的应变矩阵和应力矩阵为常系数矩阵，这种单元在单元内任意一点的应变和应力都相同，因此称为常应变单元； 2、单元的位移场为线性关系，为常系数。 与四边形比：平面三节点单元对于应变梯度较大的区域，单元划分应适当密集，否则不能反映出应变的真实变化，从而导致较大的误差。而四节点矩形单元为双线性位移模式，其应变和应力为一次线形变化，这种单元的位移模式是完备和协调的，因而比三节点常应变单元的精度高。

10、 10、掌握刚度矩阵的特性。 答：单元刚度矩阵k的性质：单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，kij表示单元第j个自由度产生单位位移(j=1)，其他自由度固定时，在第i个自由度产生的节点力Fi；每一行或每一列元素之和为零；对称矩阵；奇异矩阵，即k的行列式为零；常量矩阵。 Kij的物理意义：表示仅第j个自由度发生单位广义位移时所引起的第i个自由度广义力，它反应了单元抵抗变形的能力。由于刚体位移不引起内力，因此同一行或同一列的系数之和为零。 整体刚度矩阵K的特性：对称性；Kii 0；稀疏；带状矩阵；奇异；正定；各列相加等于零。 Kij的物理意义：结构第j个自由度发生单位广义位移而其他自由度位

11、移分量皆为零时所引起的第i个自由度结点位移方向上结点力的大小。 11、掌握单元的完备性和协调性准则？ 答：完备性准则：如果在泛函中所出现位移函数的最高阶导数是m阶，则有限元解答收敛的条件之一是选取单元内的位移场函数至少是m阶完全多项式。 协调性准则：如果在泛函中所出现位移函数的最高阶导数是m阶，则位移函数在单元交界面上必须具有直至阶的连续导数，即Cm-1连续性。 等参单元的概念，等效荷载计算。 答：等参单元：单元几何形状变换，单元内场函数采用相同数目节点参数及相同的插值函数进行变换。几何形状函数矩阵N中的插值阶次=位移形状函数矩阵N中的插值阶次。 m为坐标变换节点数，n为函数插值节点数 12、

12、有限元模型提高精度的方法有哪些？ 答：提高计算分析精度方法：h方法、p方法、r方法、自适应方法及组合方法h-p adaptive。 、h方法：通过细化网格来提高精度 、p方法：通过使用高阶单元来提高精度 h-p adaptive：综合使用以上两种方法来提高精度。 、r方法：不改变单元类型和单元数目，通过移动节点来减少离散误差，因而，单元的总自由度保持不变。 、自适应方法：运用反馈原理，利用上一步的计算结果来修改有限元模型，其计算量较小，计算精度却得到显著提高。 13、常用的实体单元有哪些？ 答：实体单元：SOLID 45，SOLID 95。 1）4节点四面体单元；2）8节点六面体单元；3）10

13、节点四面体二次单元；4）基于Lagrange插值的正六面体单元；5）20节点四面体三次单元；6）Serendipity正六面体单元。 14、实际工程中，举例说明有哪些计算分析需要应用有限元方法？ 答：1）结构的振动分析 例如结构的固有频率和振型，结构的稳定性分析； 2）弹塑性问题分析 例如确定金属在轧制时弹性变形和塑性变形及没有发生变形的区域； 3）传热与热力问题 例如反应堆结构的热核粘弹性分析。 15. 什么叫做剪切闭锁，可以采用什么方法处理和避免？ 答：1）挠度与转动采用了同阶的插值表示式。 2）dw/dx 与不同阶，因此，泛函中的第二项中的dw/dx-的积分，对于柔性梁会被严重放大。 3

14、）除非是常数，否则， dw/dx-不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 避免： 减缩积分：数值积分采用比精确积分要求少的积分点数 假设剪切应变 替代插值函数 16. 什么叫做零能模式？为什么会产生零能模式？ 答：在完全零位移状态下存在的附加变形能，即为零能模式。 既要使得Kse具有奇异性，以解决剪切自锁问题，又要保证整体刚度矩阵K是非奇异的，以避免出现零能模式。 原因：1、不同于刚体运动位移模式，采用缩减积分，使得应变能为零。 2、数学知识中, K 为奇异的，存在零能变形模式 d- 应变阶数 (nf), (=3 for plane problem; =4 axisymmetric solids;

15、=6 for 3D problem). ne - 结构单元数量 n f -每个单元的自由度数量 17 等参单元变换的必要条件是什么？ 答：对于两个坐标系，即物理坐标系和基准坐标系(,)，若要进行一对一的变换，其条件是雅可比行列式J0，等参单元的变换作为一种坐标变换也必须服从此条件。因为如果J=0，基准坐标系(,)中的面积微元将对应于物理坐标系的一个点，显然这种变换不是一一对应的。另外因为J=0，J-1将不成立，所以两个之间偏导数的变换式也就不可能实现。 18. 弹性力学三大方程分别应用了何种假定？ 答：1）连续性假定，即认定物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象； 2）均匀性假定，即认定为

16、物体内各个位置的物质具有相同特性，因此各个位置材料的描述是相同的； 3）各项同性假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的； 4）线弹性假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程； 5）小变形假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量。 19. 虚功原理的概念？ 答：变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零，即PADA-PBDB=0。 20. 什么是C0阶和Cn阶问题？ 答：如果在积分

17、中对未知函数的最高阶导数是一阶，在有限元之间试函数本身连续，一阶导数可存在有限间断，称为C0阶问题。 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是n阶，在有限元之间试函数本身及及直至阶导数连续，n阶导数可存在有限间断，称为Cn阶问题。 21. 等参单元的概念，等效荷载计算。 答：等参单元：单元几何形状变换，单元内场函数采用相同数目节点参数及相同的插值函数进行变换。几何形状函数矩阵N中的插值阶次=位移形状函数矩阵N中的插值阶次。 m为坐标变换节点数，n为函数插值节点数 替代插值函数 22.求解弹性问题，采用微分形式和积分形式有哪些不同之处？最常用的是哪种形式？ 求解过程、函数的要求及形式、泛函形式、技术

18、关键、难易程度、求解精度、方程的最后形式、方法的规范性、方法的通用性、解题范围不同。由于工程问题非常复杂，要求所采用的方法具有较好的规范性、较低的难度、较低的函数连续性要求、较明确的物理概念、较好的通用性。而基于最小势能原理的积分形式求解方法具有较明显的综合优势。 23.平面三节点三角形单元的特性？与四边形相比，其精度如何？ 特性： 1、平面三节点三角形单元的应变矩阵和应力矩阵为常系数矩阵 2、单元的位移场为线性关系，为常系数。 3、 B,S都为常系数矩阵，与X,Y无关。即这种单元在单元内任意一点的应变和应力都相同，因此称为常应变单元 与四边形比：平面三节点单元对于应变梯度较大的区域，单元划分

19、应适当密集，否则不能反映出应变的真实变化，从而导致较大的误差。而四节点矩形单元为双线性位移模式，其应变和应力为一次线形变化，这种单元的位移模式是完备和协调的，因而比三节点常应变单元的精度高。 24.选择单元位移函数需要满足的条件有哪些？ 选择单元位移函数应满足一下条件： 1）反映单元的刚体位移与常量应变。 2）相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能脱离 选取位移函数应考虑的问题 位移函数的个数 位移函数是坐标的函数 位移函数中待定常数个数 位移函数中必须包含单元的刚体位移。 位移函数中必须包含单元的常应变。 位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽量协调。 25.掌握基于自然坐标的矩形单元形函数的推导。 线性矩形单元，沿着 12 线性矩形单元，沿着 43, 沿着y轴平行线： 同理： 若原点坐标为，则有： 46.掌握等参变换的条件。 对于两个坐标系，即物理坐标系和基准坐标系(,)，若要进行一对一的变换，其条件是雅可比行列式J0，等参单元的变换作为一种坐标变换也必须服从此条件。因为如果J=0，基准坐标系(,)中的面积微元将对应于物理坐标系的一个点，显然这种变换不是一一对应的。另外因为J=0，J-1将不成立，所以两个之间偏导数的变换式也就不可能实现。