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1、期权价格计算公式期权价格计算公式 股票的价格变化遵循一维维纳过程，其微分方程如下 ds=a(s,t)dt+b(s,t)dz 式中：dz的差分DZ满足如下条件的正态分布 Dz=Dt在一般情况下，ds 可用下式表示： ds=msdt+ssdz- 或表示为： ds=mdt+sdz s式中：ms股票价格的期望漂移率，m 为一个恒定参数；(ss)2为股票价格波动的方差， s 为股票价格的波动率，可以通过观察股票价格的动态系列数据获得。 如果存在一个变量 G ，它是股票S的一种衍生证卷，它的价格是S 和 t 的函数，G(s,t)，那么，S和G都受到同一个基本的不确定性因素的影响。根据ITO定理，函数G的行
2、为遵循如下微分方程描述的过程： GG12G22GdG=(mS+sS)dt+sSdz 2St2SS- 函数G的漂移率为 GG12G22mS+sS 2St2S方差为 (G222)sS S如果G代表股票S的一种期权，我们想用S和G构造一组风险中性的证卷组合。为此，首先将公式、改写成对应的差分形式： DS=mSDt+sSDz - - GG12GGDG=(mS+)Dt+sSDz St2S2S由于公式、中的Dz(=Dt）是相同的维纳过程，只要证卷数量的搭配合理，整卷组合就可以消除Dz。 恰当的证卷组合是： -1； 卖空一个期权 +GS；买入期权价值变化对股票价格的敏感度，也就是他的偏微分那样多的股票。定义
3、这个证卷组合的价值为，表达式为 =-G+GS S - Dt时间后，这个证卷组合的价值变化为： D=-DG+GDS S - 将、带入，消去Dz，得： G12G22D=(-sS)Dt 2t2S - 由于这个证卷组合是风险中性的，所以，它的收益一定与任何一个无风险证卷的收益相同，就是 D=rDt - 将、带入，得： G12G22G(+sS)Dt=r(G-S)Dt t2S2S将上式进一步化简，得： GG1222G+rS+sS=rG 2tS2S - 这就是获得诺贝尔奖的Black-Scholes微分方程。这个微分方程的解，与它的边界条件有关。 欧式看涨期权的边界条件是， G=max(S-X,0) 当 t
4、=T时 欧式看跌期权的边界条件是： G=max(X-S,0) 当t=T时 在风险中性世界中，欧式看涨期权到期日的期望价值是： Emax(ST-X,0) Black-Scholes证明，欧式看涨期权的价格c是这个数学期望值的贴现结果，解析表达式为 c=SN(d1)-Xe-r(T-t)N(d2) - 其中： d1=ln(S/X)+(r+s2/2)(T-t)sT-tln(S/X)+(r-s2/2)(T-t)=d1-sT-td2=sT-t式中，N(x)表示标准正态分布变量的累积概率分布函数，所有小于x的随机变量出现的机会的总和。 同理，看跌期权价格的计算公式如下： p=Xe-r(T-t)N(-d2)-SN(-d1) - 返回
