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1、主 要 内 容最大熵谱估计的基本原理最大熵谱估计与AR模型谱估计、预测误差滤波法等效最大熵功率谱的计算(AR模型参数的计算）最大熵谱估计（AR模型）的稳定性和阶数的确定 有附加噪声的AR过程的谱估计最大熵谱估计的特点,最大熵的基本思想：就是根据已知数据信息，在 不进行任何新的假设(不增加任何虚假信息)的情 况下，合理地预测未知延迟离散时间上的相关函 数。即在根据已知信息外推相关函数时，每一步 都保持未知事件的不确定性或熵为最大。信息量 可见熵是消息源发出每个消息的平均信息量。,对于高斯分布的随机变量，布卡乔夫证明了其熵和 自协方差矩阵间存在关系：当时间序列为零均值时，熵和自相关函数之间存在 关
2、系：当过程为无限长时，用熵率作为信息的度量 时间序列功率谱密度和熵率的关系：时间序列的频率范围是-fc，fc,从最大熵原理出发进行谱估计 若已知自相关函数Rx(m)的前2M+1个序列值，则选择 未知自相关函数要使：从而可以外推出Rx(M+1)。并依此类推得到其它自相 关函数值。于是功率谱,若选择 可以得到 令 整理后得到【最小相位(其零点都在单位圆之内)最大相位】令，最大熵谱估计,AR谱和最大熵谱估计等价,对于M阶AR模型：x(n)的估值 估计误差 输入视为e(n)，输出视为x(n)，则系统函数为：设激励信号e(n)为零均值，方差为 的白噪声序列，功率谱密度为Pn，则数据序列x(n)的功率谱为
3、：而 即AR谱估计为：,可见，序列的最大熵功率谱和AR模型拟合所对应的 功率谱是等价的，并且 由于，所以AR参数和自相关函数Rx(m)之间的关系为：即Yule-Walker方程。AR模型谱估计实质是模型参数 的辨识问题。,预测误差滤波法和最大熵谱估计等价,预测：由随机序列x(n)过去和现在的M个值来预测下 一个取样值x(n+1)。即 通过合理选择预测系数，使预测均方误差达到最小 确定出的M阶FlR滤波器，称为数字预测滤波器。,预测误差为：当估值均方误差达到最小时，满足正交原理。即 简化后，得：最小预测误差功率为：,合并整理，得到：可见，对同一数据列用AR模型和预测误差滤波所解 得的参数值是完全
4、相同的。预测误差滤波器是一个白化滤波器，滤波器的系统 函数为：x(n)的功率谱可求得：,利用Yule-Walker方程求解系数 很困难，因为要 进行矩阵求逆运算。改进方法包括：Levinson-Durbin递推算法；（需要从时间序列x(n)的有限个数据得到其自相关函数的估计值，可 能在计算AR参数时引入很大误差，导致谱线分裂与 谱峰偏移等现象。）Burg算法；（提出利用前、后向预测误差功率之和最小的方法来求得反射系数，进而求得预测误差滤波器系数。对应于格形滤波器。）,最大熵（AR模型）谱估计的稳定性和阶数确定,阶数确定：必须正确选择模型的阶数。阶数M估计得太小，对序列长度N的序列的最大熵谱估计
5、会过分平滑，不能给出足够的分辨率，结果可能仅出现被测信号中最易预测，变化最缓慢的频率点的峰值。阶数M估计得太大，拟合会产生急剧变化和振荡，所得的谱估计具有虚假的细节。在低噪声或无噪声时，AR模型的阶数过分大，将会发生谱线分裂现象。,阶数最优(用Mopt表示)的选取准则：1最终预测误差(FPE)准则 零均值情况下，Akaike给出使FPE最小的估值公式 M为AR模型的阶数，N为信号采样点数，P(M)为预测误差功率。非零均值情况下，,2.信息论(AIC)准则 Akaike提出最佳阶次的选择应使下式为最小值：AIC准则和FPE（最终预测误差）准则的关系是：3自回归(CAT)传递函数准则 parzen
6、提出最佳阶数的选择应使得精确预测滤波 器和近似预测滤波器输出的预测误差之差的估值 为最小。即使 最小。,结论：信噪比较高时，上述三种方法确定的阶数M基本一 致。当信噪比较低时，三种方法结果不同，给出的 M值偏低，其中以FPE方法较为正确。最优阶数的计算：上述各准则所确定的阶数，都可以在计算预测滤波 器参数（、）的每一次递推中求出。由于最 大熵谱估计与预测滤波器等价，而对于预测滤波器 中的，存在，因此在算出新值后 与以前的值作比较，若新值比以前的值大，则终止 迭代，得到最优阶数Mopt。,AR模型谱估计的稳定性,AR模型稳定的充要条件是其转移函数 的 极点都在单位圆内，即 的根在单位 圆内。可以
7、证明，此时Yule-Walker方程中系数矩阵（自相关矩阵）是正定的。AR模型对应的预测滤波器中反射系数,有附加噪声的AR过程的谱估计,在原有AR(p)过程 上附加均值 为0，方差为，并与 无关的白噪声。即 这时x(n)不再是严格意义上的AR过程，其自相关函 数为 功率谱为 令，则,因此可以将x(n)看成一ARMA过程，其等效的白噪声 驱动源的平均功率为，既不等于，也不等于 等效的MA分支为B(z)，与A(z)同阶数但不同参数，因此x(n)是一个ARMA(p,p)过程。若仍对x(n)数据按AR(p)模型进行谱估计，结果将 偏离真实谱，得到一个趋于平坦化的谱。这种 平滑现象与 的大小有关，越小，
8、越接近原来 的AR功率谱；越小，功率谱越平滑。可见，AR谱估计的分辨率随着信噪比的减小而减小。,当信噪比给定时，AR谱估计的分辨率需要用增大模型阶次的方法来改善。克服AR谱技术在实际应用中限制的方法包括：(1)改用ARMA(p,p)模型；(2)噪声补偿法：估计出，删去 缺点是可能使自相关矩阵失去正定性，从而增 大谱估计的方差。(3)用维纳滤波器对数据滤波，增强噪声中的信号；(4)采用更高阶的AR模型，以降低模型失配引起的 偏差。取最大阶次为P=N/2。,最大熵谱估计的特点,优点：1.最大熵谱估计的分辨率与序列长度N2成反比，序 列长度越长，分辨率越高。相比之下，传统谱估 计的分辨率与观察时间（序列长度N）成反比；2.解决了旁瓣泄漏问题。缺点：1.运算的非线性性质；2.对信噪比非常敏感。有噪声时最大熵谱估计不再是 全极点模型。在低信噪比下，分辨率较差。传统谱 估计的分辨率与信噪比无关。,
