《机电工业出社高等数学第3章习题解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机电工业出社高等数学第3章习题解.docx（47页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、机电工业出社高等数学第3章习题解习题解答 习 题 3-1 1. 解： 因为f(x)=x-x在区间0,1上连续, 在(0,1)内可导, 且f(0)=f(1), 所以由罗尔定理知, 至少存在一点x(0, 1), 使得f(x)=2x-3x=0。 由f(x)=2x-3x=0得 因此确有x=2. 证明： 因为函数f(x)=px+qx+r在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点x(a, b), 使得f(b)-f(a)=f(x)(b-a), 即 (pb2+qb+r)-(pa2+qa+r)=(2px+q)(b-a). 化简上式得： p(b-a)(b+a)=2p
2、x (b-a), 故x=a+b. 23. 证明 (1)设f(x)=arctanx, 则f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(a, b), 使 f(b)-f(a)=f (x)(b-a), 即arctanb-arctana=12(b-a), 1+x而 0222232(0, 1). 32(0, 1), 使f(x)=2x-3x2=0. 311, 所以 arctanb-arctanab-a 。 21+x设f(x)=xn, 则f(x)在b, a上连续, 在(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(b, a ), 使 f(a)-f(b)=f (x)(a-
3、b), 即an-bn=nx n-1(a-b). 因为 nbn-1(a-b)nx n-1(a-b) nan-1(a-b), 所以 nbn-1(a-b)an-bn nan-1(a-b) . 设f(x)=cosx, 则f(x)在以a, b为端点的闭区间上连续, 在以a, b为端点的开区间内可导，由拉格朗日中值定理, 存在x 介于a, b之间，使 f(b)-f(a)=f (x)(b-a), 即cosb-cosa=(-sinx)(b-a), 而 -1-sinx1, 所以cosa-cosba-b 。 4. 利用导数证明：arcsinx+arccosx= 证明 设f(x)= arcsin x+arccos
4、x. 因为 f(x)=p2 ； 1-10, 1-x21-x21 所以f (x)C, 其中C是一常数. 取x0=0，得到f(0)=arcsin0+arccos0=0+pp2=2； pp又f(-1)=arcsin(-1)+arccos(-1)=-p+p=p，f(1)=arcsin1+arccos1=+0= 222 因此 arcsinx+arccosx=p2 ； 习 题 3-2 1. =lim1+2x+3x2=1+21+312解：原式= 6 x1x1 解：原式=limcosx=a1cosa x 解：原式=lim2cos2xxpsec2x=2 解：原式=lim-xsinx-xxx03x2=lim=x0
5、3x2-13 1-1解：原式=lim1+x=x0-sinxlimx(1+x)sinx=limx=x0(1+x)x1 x0 解：原式=limcotx1-csc2x1xp=22(2x-p)24lim=- xp228 222ex(-22=ex解：原式-1=x2)ex(-2)=xlim1xlimlimx=2x-1x1 x2-x2 解：原式=limx=0tan3xlim1=1xx03sec23x3 解：原式=limx-2x+2)=x2(x-2)(lim1=1x2x+24解：原=limxlnx-x+1xlnxlnxx1(x-1)lnx=limlnx1=x1lim=x1xlnx+(x-1)lim+1=1ln
6、x+(x-1)x1lnx+1+12x解：原式=x-limtanxlnxxlim-tanxln0+e=ex0+ 2式，又2 1xlim0+tanxlnx=xlimlnx0+cotx=xlimx0+-csc2x sin2=-xlimx0+x=-2sinxcosxxlim0+1=0，所以，原式=e0=1 12lncosx解：原式=limx0ex=exlim10x2lncosx，又lim1-tanx0x2lncosx=limx x02x1=lim-sec2x=02-1-2，所以，原式=e2 x2. x2sin1解：原式=limxxx0sinxlimx0xsin1x=10=0，所以，极限limx0sin
7、x存在。 (x2sin1)11但是limx2xsin-cos=0(sinx)limxx 不存在，不能用罗必达法则。 xx0cosx 习 题 3-3 1. 解：因为f(3)=-44，f(3)=(4x3-15x2+2)|x=3=-25 f(3)=(12x2-30x)|x=3=18， f(3)=(2x4-3x=03)=|42，f(4)(3)=24 所以按x-3的幂展开的多项式为 x4-5x3+x2-3x+4 f(3)f(3)f(4) =f(3)+f(3)(x-3)+2!(x-3)2+3!(x-3)3+(3)4!(x-3)4 =-44-25(x-3)+9(x-3)2+7(x-3)3+(x-3)4 2.
8、 解：因为f(0)=1，f(0)=3(x2-3x+1)2(2x-3)|x=0=-9 f(0)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2|x=0=60， f(0)=6(2x-3)3+36(x2-3x+1)(2x-3)|x=0=-270， f(4)(0)=72(2x-3)2+72(x2-3x+1)|x=0=720， 3 f(5)(0)=288(2x-3)+72(2x-3)|x=0=-1080，f(6)(0)=720 所以按x的幂展开的多项式为 f(x)=(x-3x+1) 23f(0)2f(0)3f(4)(04)f(5)(05)f =f(0)+f(0x)+x+x+x+x+2!3!4
9、!5! =1-9x+30x3. 235 -4x5+3x40-x9+x6(6)6! x(60)解：因为f(x)=e+xe，f(x)=2e+xe，f(x)=3e+xe，L， xxxxxxf(n)(x)=nex+xex， 所以f(k)(0)=k (k=1,2L,n)，从而 f(0)2f(0)3f(n)(0)nf(n+1)(x)n+1xe=f(0)+f(0)x+x+x+L+x+x 2!3!n!(n+1)!x131(n+qx)eqxn+1n=x+x+x+L+x+x, (0q0 5 所以f (x)在(0, +)内是单调增加的，从而当x0时f (x)f (0)=0, 即 ex-x-10 x亦 e-x1. (
10、x0) 1设f(x)=2x-3+, 则f (x)在1, +)内连续。因为 x11f(x)=-20 xx所以f (x)在(1, +)内是单调增加的，从而当x1时f (x)f (1)=0, 即 10 x1亦 2x3-. (x0) x设f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx, 则f (x)在0, +)内连续。因为 2x-3+x2f(x)=ln(1+x)+0 1+x2所以f (x)在(0, +)内是单调增加的，从而当x0时f (x)f (0)=0, 即 (1+x)ln(1+x)-arctanx0 亦 ln(1+x) 3. 解： (1) 函数的定义域为(-, +), 且 y=6x-6x=6x
11、(x-1), 驻点为x1=0, x2=1 列表 x (-, 0) y y + 0 0 7极大值 (0, 1) - 32arctanx. (x0) 1+x1 0 6极小值 2(1, +) + 可见函数在x=0处取得极大值7, 在x=1处取得极小值6. (2) 函数的定义域为(-, +), 且 y=4x-4x=4x(1-x), 驻点为x=0, 1。又y=4-12x2。因为y(0)=40, y(-1)=-80, y(1)=-80, 所以y(0)=0是函数的极小值, y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值. (3) 函数的定义域为(-1, +), 且 y= 列表 x (-1, 0) y y 可见函
12、数在x=0处取得极小值0. (4) 函数的定义域为 (-, +), 且 y=- 列表 6 x。令y=0，驻点为x=0, 1+x0 0 0极小值 (0, +) + - 2。x=1为不可导点 331-xx (-, 1) y y 可见函数在x=1处取得极小值2. - 1 0 2极小值 (1, +) + (5) 函数的定义域为 (-, +), 且 y=2(x+1)(2x-1)。令y=0，得驻点为x=列表 x (-, -1) y y 可见函数在x=1处取得极小值-27. 21621 , -1，2-1 0 非极值 (-1, 1) 21 2(1, +) 2- - -0 27极小值 16+ 4sin2x， 3
13、a212pp 要使函数f(x)在x=处取得极值, 必有f=0, 即 +(-)=0， a=. 3332322p2p 当a=时, f=-30, 所以x=3为极小值点, 从而也是最小值点. 即当两数均为3时，两数的立方和为最小. 7. V. 于是容器表面积为： 2pr2V S=p r2+2p rh=pr2+ (0x03pr应的高为h=V=r. 底半径与高的比为r:h=1:1。 2p r0 8. 解：平均成本函数 25000+200+0.025x x2500050000，. C(x)=-+0.025C(x)=x2x3C(x)= 8 令C(x)=0,得驻点x=1000. 因为 C(1000)=50000
14、0,所以C(x)在驻点x=100010003处取得极小值。.因为驻点唯一, 所以这个极小值也就是最小值，即当生产1000件产品时，平均成本最小。 利润函数 L(x)=R(x)-C(x)=-25000+300x-0.025x2， L(x)=300-0.05x，L(x)=-0.05， 令L(x)=0,得驻点x=6000. 因为 L(6000)=-0.050,所以L(x)在驻点x=6000处取得极大值。.因为驻点唯一, 所以这个极大值也就是最大值，即当生产6000件产品时，利润达到最大。 9. 解：设漏斗的底周长为l、底半径为r、高为h ，那么 l=R(2p-a), r=漏斗的容积为 R(2p-a)
15、R, h=2p2p4pa-a2. 12R3(2p-a)224pa-a V=hrp= ( 0 a 2p ). 2324pV=(3a2-12pa+4p2)(2p-a)R324p24pa-a2，令V=0，得驻点为a=(2-26)p. 3由问题的实际意义, V 一定在(0, 2p)内取得最大值, 而V 在(0, 2p)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当j a=(2-26)p时, 漏斗的容积最大. 310. 解：槽的流量与槽的横截面面积有关，横截面面积 愈大，流量愈大。因此，求流量最大，也就是求槽的横截面面积最大。 设横截面面积为S，由于截面为梯形， 所以S=1(CD+AB)ED，在
16、直角三角形BED中，2BE=acosq，BD=asinq，又CD=a，于是AB=a(1+2cosq)，故 1pS=a+a(1+2cosq)asinq=a2sinq(1+cosq), (0q1000时, 9 R=50- R=-111(x-1000)x-50-(x-1000)100=-x2+72x-7000, 5050501x+72. 2510, 所以x=1800为极大值点, 25 令R=0得(1000, +)内唯一驻点x=1800. 因为R=-同时也是最大值点. 最大值为R=57800. 因此, 房租定为1800元可获最大收入 习 题 3-5 1. 解：函数的定义域为(-, +), 且y=6x-
17、6x-36，y=12x-6. 令y=0, 得x= 列表得 221. 2x y y (-, 1) 21 2(1, +) 2- 0 3 2+ 拐点 222所以曲线在(-,1内是凸的, 在1, +)内是凹的, 拐点为 (1,3). (2) 函数的定义域为(-, +), 且y=-2(x-1)(x+1)2xy=， .令y=0, 得(x2+1)2x2+1x1=-1, x2=1. 列表得 x y y (-, -1) - -1 0 ln2 拐点 (-1, 1) + 1 0 ln2 拐点 (1, +) - 可见曲线在(-, -1和1, +)内是凸的, 在-1, 1内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, l
18、n2). (3) 函数的定义域为(-, +), 且y=13x32，y=-29xx32 .当x=0时, y不存在。 列表得 x (-, 0) 0 (0, +) 0 y + - 0 y 拐点 可见曲线在(-,0内是凹的, 在0, +)内是凸的，拐点为 (0, 0)。 10 1-x22(x-2)(4) 函数的定义域为(-,-1)(-1,+), 且y=， .令y=0, y=(x+1)4(x+1)4得x=2. 列表得 x (-, -1) (-1, 2) 2 (2, +) 0 y - - + 2 9y 拐点 可见曲线在(-, -1)和(-1, 2内是凸的, 在2, +)内是凹的, 拐点为 (2, 2).
19、92. 解： y=3ax2+2bx, y=6ax+2b . 要使(1, 3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点, 必须y(1)=3且y(1)=0, 39即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程组得a=-, b=. 22习 题 3-6 1. xx，=0lim=， x(x+2)2x-2(x+2)2所以函数有水平渐近线y=0和铅直渐近线x=-2 2x22-xQ limxe=limx=limx=0， xxexe所以函数有水平渐近线y=0。 2Q limln(x-1)=， 解：Q limx1所以函数有铅直渐近线x=1。 Q limx+x2+1x2+1=lim=1， x+xx2x2+1x2+1x2+1 l
20、im=lim-=-1，lim=， 2x-x+x0xxx所以函数有水平渐近线y=1和铅直渐近线x=0。 2.作出下列函数的图形： y=x-x-x+1； 321-2x+1； 2xxy=； 21+x-(x-1)2y=e； y=解：略 习 题 3-7 1. 11 解：y=2x-2，y=2；y|x=1=0, y|x=1=2 所求曲率为 |y|2|=2. 23/223/2(1+y)(1+0)11曲率半径为 r=。 K2 K=y=1secxtanx=tanx，y=sec2x；y|x=0=0, y|x=0=1 secx在任意点(x, y)所求曲率为 |y|sec2x| K=|cosx|. 23/223/2(1
21、+y)(1+tanx)11曲率半径为 r=|secx|； K|coxs|在任意点(0, 0)所求曲率为 K=1，曲率半径为r=两边对x求导数得 1=1 Kx2+4y2xx +2yy=0, y=-, y=-. 16y34y2 y|(0,1)=0, y|(0,1)=-所求曲率为 K=2. 11解： y=, y=-2. 在任意点处的曲率 xx|2|y|xx= K=, 23/223/21(1+y)(1+2)3/2(1+x)x|-11. 4|y|(1+y2)3/21|-|14，曲率半径为r=4。 =(1+02)3/24在任意点处的曲率半径 r=1322(1+x)x, 其导数为 33(1+x2)22xx-
22、(1+x2)21+x2(2x2-1)2 r=. =22xx 令r =0, 得x= 因为当0x2. 2222时, r 时, r 0, 所以x=是r 的极小值点, 同时22212 也最小值点. 当x=33. 222ln2时, y=-ln2. 因此在曲线上点(, -)处曲率半径最小, 最小曲2222率半径为r= 习 题 3-8 1. 解：设f(x)=x3-3x2+6x-1，显然f(x)在0, 1内连续又因为f(0)=-10，且f(x)=3x-6x+6=3(x-1)+3在区间0, 1内大于零，故方程内有唯一实根0, 1就是一个根的隔离区间 f(x)=0在2计算得： x1=0.5，f(x1)=1.375
23、， 故a1=0，b1=0.5； x2=0.25，f(x2)=0.328， 故a2=0，b2=0.25； x3=0.13，f(x3)=-0.269， 故a3=0.13，b3=0.25； x4=0.19，f(x4)=0.039， 故a4=0.13，b4=0.19； x5=0.16，f(x5)=-0.113， 故a5=0.16，b5=0.19； x6=0.18，f(x6)=-0.011， 于是 0.18x0.19 即取0.18作为根的不足近似值，取0.19作为根的过剩近似值，其误差都小于10 2. 解：设f(x)=x-x-1，显然f(x)在(-, +)内连续因为f(1)=-10，所以1, 2就是一个
24、根的隔离区间，且在区间1, 2上f(x)=3x2-10，f(x)=6x0由于f(x)与f(2)同号，故取x=2的弧端作切线应用公式得 f(2)1.55； f(2)f(1.55)x2=1.55-1.36； f(1.55)f(1.36)x3=1.36-1.33； f(1.36)f(1.33)x4=1.33-1.325 f(1.33)f(1.325)x5=1.325-1.325 f(1.325)上述计算到此不能再继续，x4与x5相等，说明迭代已经趋于稳定，并且 x1=2-13 f(1.32)=-0.020，f(1.33)=0.023，于是 1.32x1.33 因此，以1.32或1.33作为根的近似值
25、，其误差都不超过10 3. 解：用牛顿切线法. 设f(x)=x+x-4，显然f(x)在(-, +)内连续因为3-2f(1)=-20，所以1, 2就是一个根的隔离区间，且在区间1, 2上f(x)=3x2+10，f(x)=6x0由于f(x)与f(2)同号，故取x=2的弧端作切线应用公式，得 f(2)1.538； f(2)f(1.538)x2=1.538-1.393； f(1.538)f(1.393)x3=1.393-1.379； f(1.393)f(1.379)x4=1.379-1.379 f(1.379)上述计算到此不能再继续，x4与x5相等，说明迭代已经趋于稳定，并且 x1=2- f(1.37
26、9)=1.36310-30，f(1.378)=-5.33810-30，于是 1.378x1.379 -3因此，以1.378或1.379作为根的近似值，其误差都不超过10 总习题3 1.选择题 设y=f(x)在x=x0可导，则f(x0)=0是f(x)在x=x0取得极值的 充分条件必要条件充要条件既非充分又非必要条件 设函数f(x)可导，且limf(x)=1，则对任意常数a，必有limf(x+a)-f(x)= xxa 0 -a 设y=f(x)满足方程y-2y-4y=0，且f(x0)0； 若函数f(x)和g(x)都在区间I内可导且f(x)g(x)，则f(x)g(x)； 若函数f(x)在x=x0处取得
27、极大值，则f(x)也在x=x0处取得极大值； 14 若函数f(x)和g(x)都在x=x0处取得极小值，则f(x)+g(x)也在x=x0处取得极小值。 x2+2x-3曲线y=3的铅直渐近线的条数是 2(x-x)(x+1)0 1 2 3 2.填空题 函数f(x)=1-lnx在区间1, e上使用拉格朗日中值定理成立的x= e-1 。 设函数f(x)有二阶连续导数，且f(0)=1，根据罗必达法则可得，limx0f(x)+f(-x)-2f(0)= 1 。 x2函数f(x)=x+ln(1-x)的单调减少区间为 0, 1) 。 函数f(x)=2x-9x+12x-3在区间0, 2上的最大值与最小值依次为 -3
28、、2 。 3. 32-x21-x2-e-xe-x-11limlim解：原式=lim= -422x0x0x0x2x2x2x-ln(1+x)x =lim=lim1x0xln(1+x)x0(1+x)ln(1+x)+xx0ln(1+x)+x1+x221-原式=lim11+x=lim11= x0ln(1+x)+1+12原式=limex+2 ln(3x+5x)x=limex+2 ln(3x+5x)x=ex2 ln(3x+5x)x+xlim， 3ln3+ln5xx23ln3+5ln55xx=2lim又limln(3+5)=2lim xx+x+xx+3x+5x3+15=2ln5，所以，原式=e22ln5=25
29、 4. 解：f(x)=3x+2ax+b，f(x)=6x+2a，依条件有 y(2)=44+4a+2b+c=0y(3)=0，即， 27+6a+b=0y(2)=06+a=015 解之得：a=-6, b=9, c=2。 5. 解：方程x-xy+y=3两边对x求导得 2x-y-xy+2yy=0 则y=22y-2x222。令y=0得到y=2x，代入x-xy+y=3得x=1，即x=1为椭圆2y-x方程确定的隐函数的两个驻点。由几何性质知: y的最大值、最小值是存在的，因此，x=1 对应y的最大值、最小值：y(1)=2, y(-1)=-2。从而纵坐标最大和最小的点分别是(1, 2)和(-1, -2)。 6.
30、lnx, 则f (x)在(0, +)内连续。因为 x1-lnxf(x)=e) x2所以f (x)在(e, +)内是单调减少的，从而当x2x1e时，有f(x2)f(x1)。即 lnx2lnx1 x1lnx2. 证明：设f(x)=设g(x)=1+xln(x+1+x)-1+x, 则g (x)在0, +)内连续。因为 22g(x)=ln(x+1+x2)0， (x0) 所以g (x)在(0, +)内是单调增加的，从而当x0时，有g(x)g(0)。即 1+xln(x+1+x2)-1+x20 亦 1+xln(x+1+x)1+x. 设h(x)=(1+x)-1-ax, 则h(x)在(-1, +)内连续。因为 a
31、22h(x)=a(1+x)a-1-1，h(x)=a(a-1)(1+x)a-2， 令h(x)=0，得x=0为唯一驻点。又h(0)=a(a-1)-1时，有h(x)h(0)。即 (1+x)a-1-ax0 亦 (1+x)1+ax. 7. 证明：令F(x)=f(x)g(x)，则F(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导， 且F(a)=f(a)g(a)=0=f(b)g(b)=F(b)。由罗尔定理知, 至少存在一点x(a, b), 使得F(x)=0。即f(x)g(x)+f(x)g(x)=0 a 16 8. 证明：由题意知：f(x)在x1, x2和x2, x3上均满足罗尔定理的条件。由罗尔定理知, 至少存
32、在一点x1(x1, x2), x2(x2, x3)使得f(x1)=0，f(x2)=0。这样f(x)在x1, x2上也满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知，至少存在一点x(x1, x2)(x1, x3)使得f(x)=0。 aa12a23x+x+L+nxn+1，则f(x)在0, 1上连续，23n+1aaa在(0, 1)内可导，且f(0)=0，f(1)=a0+1+2+L+n=0。所以f(x)满足罗尔23n+19.证明：作辅助函数f(x)=a0x+定理的条件。又f(x)=a0+a1x+a2x+L+anx，由罗尔定理知, 至少存在一点2nx(a, b)使得f(x)=0。即方程a0+a1x+a2x2+L+anxn=0在(0 , 1)内至少有一个实根。 10. 解：设圆的周长为x，则正方形的周长为a-x，两图形面积之和为 4+p2aa2a-xxA=x-x+， 0xa +
