李正元高等数学强化讲义.docx

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1、李正元高等数学强化讲义第一讲 极限、无穷小与连续性 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是： 掌握求极限的各种方法 掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法 判断函数是否连续及确定间断点的类型 1 复合函数、分段函数及函数记号的运算 1 极限的重要性质 1不等式性质 limyn=B，且AB，则存在自然数N，使得当nN时有xnyn 设limxn=A，nnlimyn=B，且存在自然数N，当nN时有xnyn，则AB 设limxn=A，nn 作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设limxn=A，且A0，则存在自然数N，使n得当nN时有xn0设limxn=A，且存在自然数N，当nN时有xn0，则

2、A0 nlimg(x)=B，且AB，则存在 对各种函数极限有类似的性质例如：设limf(x)=A，xx0xx00，使得当0󰀀0)0+(B0)g(x) 2设limf(x) = A0，A1，limg(x) = + ，则 limf(x)xx0xx0xx00(0A1)(B0)(B0)g(x) 3设limf(x) = + ，limg(x)=B0，则 limf(x)=xxxxxx0000+ 设limxx0f(x)=A，又limg(x)=0，则limf(x)=_ xx0xx0g(x)f(x)g(x)=A0=0 g(x)nnn+ limf(x)lim(xx0xx0limbn=1，limcn=，

3、设an，bn，cn均为非负数列，且liman=0，则必有 3 anbn对任意n成立 bncn对任意n成立 极限limancn不存在 limbncn不存在 nn 用相消法求0或型极限 0x0 求I=lim1+tanx-1+sinxx(1-cosx) 作恒等变形，分子、分母同乘1+tanx+1+sinx得 I=limx0tanx-sinxx(1-cosx)1+tanx+1+sinx =lim11tanx(1-cosx)1=1= limx022x(1-cosx)x01+tanx+1+sinx求I=lim4x2+x-1+x+1x+sinx2x- 作恒等变形，分子、分母同除x2=-x(x0)得 4+ I

4、=limx0111-2-1-xxx=4+0-1-0=1 sinx1+01+2x 利用洛必达法则求极限 设f在x = 0有连续导数，又 I=limxf(x)sin+=2 2x0xx求f(0)与f(0) 1x 求limx0(1+cosx)ln(1+x)2sinx+x2cos 4 求I=lim(1+x)-e x0x1xex-esinx求I=lim x0x-sinx若lim6sinx+xf(x)6+f(x)=0lim=_ ，则x0x0x3x2ln(1-x)x0+求I=lim(tanx) 2a 设a0，b0为常数且I=lim(xx+x)-x2=b，则 = _ 1aa型极限 -1111aat=(1+t)a

5、ta-11aa(1+t)-1a=lim I=limx2(1+x-a)a-1xlim2t0+x+t0+2tt1-11aa =lim(1+t)ta-2t0+2101=2+(a2)(a=2) (0a2) 因此 = (2，) 分别求左、右极限的情形，分别求limx2n-1与limx2n的情形 n+n+12 设f(x)2+e1+e1x4x+sinxn+1，求limf(x)求I=limx0n+|x|n(-1)n 利用函数极限求数列极限 求I=limnann+1n2(a1)求I=lim(ntan) n+n I=lim1+(ntann+1-1)n11n2(ntan-1)1nntan-1n 5 tan 转化为求

6、limn2(ntann+1-1)=limn+n1n1n-11n2tanx-1tanx-xx =lim=limx0+x0+x2x311-cos2x1 =lim=I=e3 2+x03x3 用求指数型极限的一般方法 nln2tan1n1n I=limen+ 转化为求 tanlimln1n1nln1n2=limx0n+tanxtanx-1x=limx，余下同前 2x0x2x3 无穷小和它的阶 1无穷小、极限、无穷大及其联系 无穷小与无穷大的定义 极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系 (=)Afx(=)A+ax limfxxx0其中xx0lima(x)=0(f(x)=A+o(1)，xx0). 11是无穷大

7、量反之若u是无穷大量，则uuo表示无穷小量 在同一个极限过程中，u是无穷小量是无穷小量 2无穷小阶的概念 定义 同一极限过程中，a，b为无穷小， )bx(为同阶无穷小)l0为有限数，称a(x与)bx(为等价无穷小，记为)l=1时，称a(x与 设 lima(x)=la(x)b(x)(极限过程) b(x)l=0时，a(x)是比b(x)高阶的无穷小，记为a(x)=o(b(x)(极限过程)6 定义 设在同一极限过程中a，b均为无穷小，a为基本无穷小，若存在正数k与常数l使得limb(x)b(x) 称b是a的k阶无穷小，特别有=l0lim=l0，kkxxa(x)(x-x0)0称xx0时b是的k阶无穷小

8、重要的等价无穷小 x0时 sinx x，tanx x， x，ex1 x； ax1 xlna，arcsinx x， arctanx x；a1 ax，1cosx 等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1若a b，b ga g 2 a ba = b + o 3在求“12x 20”型与“0”型极限过程中等价无穷小因子可以替换 01 求I=lim3x0x2+cosxx-1 3ln1+设limx0f(x)sin2x=5，则limf(x)=_ x2x03-1x 由已知条件及 f(x)f(x)=0lim=0又在x = 0某空心邻域fx0x0x0sin2xsin2xf(x)f(x)f(x)(x0)，又3x1

9、 xln3于是 0ln(1+sin2xsin2x2xf(x)/2xf(x)f(x)lim=lim2=5lim2=10ln3 x0x02xln3x0xxln3lim(3x-1)=0limln(1+ 设x a时a，b分别是x a的n阶与m阶无穷小，又limh(x)=A0，xa则x a时 ah是x a的_阶无穷小 ab是x a的_阶无穷小 nm时，ab是x a的_阶无穷小 nm时a(x)是x a的_阶无穷小 b(x) k是正整数时，ak是x a的_阶无穷小 7 以上结论容易按定义证明。例如，已知limf(x)=A0， xa(x-a)nlimg(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fx）g是x =B0

10、lim=lim=AB0连续，x a时f是x a的n阶无穷小，求证：a的n + 1阶无穷小 af(t)dt是x x3(x+1) x 0时，是x的_阶无穷小；3x2-3x是x的_阶无21+xxsin3x2穷小；是x的_阶无穷小，sintdt是x的_阶无穷小 0ln(1+x) x 0时，下列无穷小中比其他三个的阶高， x2 1cosx 1-x2-1 x tanx 当x 0时，f(x)=sinx0sint2dt与g(x)=x3+x4比较是的无穷小 等价 同阶非等价 高阶 低阶 4 连续性及其判断 1连续性概念 连续的定义： 函数满足limf(x)=f(x0)，则称在点x = x0处连续；满足lim+f

11、(x)=f(x0)xx0xx0在x = x0处右连续 xx0 若f在内每一点连续，则称f在内连续；若f在内连续，且在x = a处右连续，在点x = b处左连续，则称f在a，b上连续 单双侧连续性 f在x = x0处连续 f在x = x0处既左连续，又右连续 间断点的分类： 设f在点x = x0的某一空心邻域内有定义，且x0是f的间断点 若f在点x = x0处的左、右极限f与f存在并相等，但不等于函数值f或f在x0无定义，则称点x0是可去间断点；若f在点x = x0处的左、右极限f与f存在但不等，则称点x0是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点 若f在点x = x0处的左、右极限f与f至少有一个不

12、存在，则称点x0为第二类间断点 2函数连续性与间断点类型的判断： 若f为初等函数，则f在其定义域区间D上连续，即当开区间 D，则f在内连续；当闭区间c，d D，则f在c，d上连续若f是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则来判断当f为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性 判断f的间断点的类型，就是求极限limf(x) xx00 3有界闭区间a，b上连续函数的性质： 最大值和最小值定理：设f在闭区间a，b上连续，则存在和a，b，使得 fff， 有界性定理：设f在闭区间a，b上连续，则存在M0，使得 fM， 介值定理：设函数f在闭区间a，b上连续，且

13、ff，则对f与f之间的任意一个数c，在内至少存在一点，使得 f = c 推论1：设f在闭区间a，b上连续，且ff0，则在内至少存在一点，使得 f = 0 推论2：设f在闭区间a，b上连续，且m和M分别是f在a，b上最小值和最大值，若mM，则f在a，b上的值域为m，M 函数f(x)=|x|sin(x-2)在下列哪个区间内有界 2x(x-1)(x-2) 这里xsin(x-2)有界只须考察g(x)=，g(x）是初等函数，它在定义|x|(x-1)(x-2)2域上连续，有界闭区间上连续函数有界，1，0 定义域，g(x）在1，0有界，选 设h(x）定义在上，若limh(x)=或limh(x)=，则h(x）

14、在无界因limf(x)=，limf(x)= f(x)在，均无界选 x1x2x2 设f(x)=1-xx，x1，g(x)=2(x-1)x1x+3x22x5 5x讨论y = f）的连续性，若有间断点并指出类型 9 先求f）的表达式 g2(x) f(g(x)=1-g(x)x2(g(x)1)1-xf(g(x)=(g(x)1)1-2(x-1)1-(x+3)(x1)(1x2)(2x5)(5x) 在，f）分别与初等函数相同，故连续x = 2或5时可添加等号，左、右连接起来，即左连续又右连续 f）在x = 2或5连续x = 1时 x1+0x1-0limf(g(x)=lim(1-x)=0x1+02limf(g(x

15、)=limx=1x1-0 x = 1是f）的第一类间断点 不必求出f）的表达式 g(x）的表达式中，x = 2或5处可添加等号，左、右连接起来g(x）在处处连续 u2 f(u)=1-uu1，u1时连续 u1 u = g = 1x = 1 因此，x1时由连续函数的复合函数是连续的f）连续.x = 1时 x1+0x1-0limf(g(x)=limf(x)=lim(1-x)=0x1+0x1+02limf(g(x)=limf(x)=limx=1x1-0x1-0 x = 1是f）的第一类间断点 10 第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简单应用 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是 导数与微分

16、的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导与连续的关系 按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分，求n阶导数表达式 11 求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率 导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等 1 一元函数微分学中的基本概念及其联系 1可导与可微的定义及其联系 f(x)在x0可导：xx0limf(x)-f(x0)f(x0+Dx)-f(x0)=lim=f(x0)Dx0x-x0Dxf(x0+Dx)-f(x0)=A+o(1)DxA=f(x0)(Dx0)，o(1)即无穷小量c f(x)在x0可微：f(x)在x=x0的微分df(x)x=x0=A

17、Dx=f(x0)Dx=f(x0)dxf f(x0+Dx)-f(x0)=ADx+o(Dx)(Dx0) 2几何意义与力学意义 f(x)在x=x0连续f(x)在x=x连续）处切线的斜率 f(x0)是曲线y = f在点 df(x)x=x0=f(x0)Dx是相应于Dx该切线上纵坐标的增量 质点作直线运动，t时刻质点的坐标为x = x(t），x(t0)是t = t0时刻的速度 3单侧导数与双侧导数 f在x = x0可导f+x0)，f-(x0)均存在且相等 此时 f(x0)=f+(x0)=f-(x0) f+(x0)=lim+Dx0f(x0+Dx)-f(x0)f(x0+Dx)-f(x0)，f-(x0)=lim

18、-. Dx0DxDx12 说明下列事实的几何意义f(x0)=g(x0)，f(x0)=g(x0) f(x)，g(x)在x= x0处有连续二阶导数，f(x0)=g(x0)，f(x0)=g(x0)，f(x0)=g(x0)0 f(x)-f(x0)=. xx0x-x0g(x)x0-xx0f(x)= ，d0为某常数设g(x0)=h(x0),g-(x0),h+(x0)h(x)x0x0，则存在d 0，使得 f(x)在内单调增加 f(x)在内单调减少 对任意的x有f(x)f对任意的x有f(x)f 2 一元函数求导法 反函数求导法： 设f在区间Ix可导，f(x)0，值域区间为Iy，则它的反函数x =j在Iy可导且

19、dx11j(y)=dy x=j(y)f(x)dydxd2x 设y =y满足y=2e，求它的反函数的二阶导数2 dyxdx11-xd2xd1-xdx1-2x =e，2=e=e dyy(x)2dx2dydy4 变限积分求导法： 设函数f在a，b上连续，则F(x)=xaf(t)dt在a，b上可导，且 14 F(x)=f(x)， 设f(x)在c，d上连续，当x a，b时函数u，v可导，且u(x)和v(x)的值域不超出c，d，则F(x)=u(x)v(x)f(t)dt在a，b上可导，且 F(x)=f(u(x)u(x)-f(v(x)u(x)， 设f在连续且(x)= 设f在连续，又(x)=xy2x0sn-1f

20、(xn-sn)ds，求(x) 1x2(x-t)f(t)dt，求(x)，(x) 02 设(x)=(00sint2dt)dy，求(x) 21+t 设f为连续函数，F(t)=dy1ttyf(x)dx，则F(2)等于 2f f f 0 先用分部积分法将F化为定积分 F(t)=(1ttyf(x)dx)dy=(yf(x)dx)yty=ty=1-yd(f(x)dx) 1ytt =-t1f(x)dx+yf(y)dy=(x-1)f(x)dx 11ttF(t)=(t-1)f(t)，F(2)=f(2)，选 转化为可以用变限积分求导公式的情形 F(t)= F(t)=t1(f(x)dx)dy+(f(x)dx)dy=(f

21、(x)dx)dy+(t-1)f(x)dx y111y111ttt1ttf(x)dx+f(x)dx+(t-1)f(t)=(t-1)f(t) 1t F(2)=f(2)选 交换积分顺序化为定积分 F(t)=f(x)dxdyD交换积t分顺序1dxf(x)dy 1x =(x-1)f(x)dx 1t 特殊选取法取f= 1 15 F(t)=t1dyty1f(x)dx=dy1dx=(t-y)dy=-(t-y)21y12tttt=y=11(t-1)2 2 F(t)=t-1，F(2)=1=f(2)选 隐函数求导法： y = y由sin(x2+y2)+ex-xy2=0所确定，则dy=_ dxdyd2y y = y由

22、下列方程确定，求，2 dxdx x + arctany = y； 对x求导1+1y=y， 21+y122(1+y2) 解出y得y=1+2再对x求导得y=-3y=- 5yyy xef(y)=ey，其中f(x)存在，f(x)1 对x求导得 ef(y)+xef(y)f(y)y=eyy 利用方程化简得11+f(y)y=y，y= xx(1-f(y)12+f(y)y+f(y)y=y 2x再将y的方程对x求导得-f(y)-(1-f(y)2 解出y，并代入y表达式 y= x2(1-f(y)3若先取对数得lnx + f=y 然后再求导，可简化计算 d2y 设y = y由方程yxe = 1确定，求2dxy的值 x

23、=0 原方程中令x = 0 y=1将方程对x求导得 y-e-xey=0 令x=0y(0)=e将上述方程两边再对x求导得 yyy-2eyy-x(eyy)x=0y(0)=2e2 分段函数求导法： 设f= x2x，则使f(n)(x)处处存在的最高阶数n为_ 16 113ln(1+x)sin，x0xx 设f(x)=0，x=0，则f(x)在x=0处 1x2sintdt，x00x 不连续 连续，但不可导 可导但导函数不连续 可导且导函数连续 先按定义讨论f在x = 0的可导性问题 f+(0)=limx0+f(x)-f(0)11=lim2ln(1+x3)sin=0 x0+xxxf(x)-f(0)1x2=li

24、m=li2m f-(0)x0-x0-xx0 f+(0)=f-(0)=0f(0)=0 进一步考察f(x)在x = 0的连续性 当x0时， tstin=dx0-s2ixnlim2xx2= 011f(x)=(ln1(+x3)sin)xxln1(+x3)13x21ln1(+x3)1=-sin+sin-cosxx(1+x3)xxx2x3由此可知， limf(x)不$f(x)在x = 0不连续 因此，选 x0+x2x3 求常数a，b使函数f(x)=处处可导，并求出导数 ax+b，x3 对常数a，b，x3时f均可导现要确定a，b使f(3)存在f在x = 3必须连续且f+(3)=f-(3)，由这两个条件求出a

25、与b limf(x)=lim(ax+b)=3a+b 由 limf(x)=limx=9，x3+0x3+0x3-0x3-02f在x = 3连续，a，b满足 f= f= f即 3a + b =9 x2在此条件下，f(x)=ax+bx3x3),f(x)=a(x3) f+(3)=2x17 x=3=6,f-(3)=a f(3)$f+(3)=f-(3)即a = 6 代入3a + b = 9 b = 9 因此，仅当a = 6，b = 9时 f处处可导且 f(x)=2x6(x3)(x3) 求解此类问题常犯以下错误 1没说明对常数a，b，x3时f均可导 2先由x = 3处可导求出a值，再由连续性求出b值请看以下错

26、误表达： “因 f+(3)=2xx=3=6，f-(3)=(ax+b)x=3=a 由f+(3)=f-(3)得a = 6再由连续性 f = f 即 9 = 3a + b，b=9” 错误在于当3a + b9时f-(3)不存在，也不可能有f-(3)=(ax+b)x=3 f= f不能保证f在x = 3连续仅当f = f= f时才能保证x = 3连续 必须先由连续性定出3a + b = 9，在此条件下就可得 f-(3)=a 高阶导数与n阶导数的求法 常见的五个函数的n阶导数公式： (eax+b)(n)=aneax+b (sin(ax+b)(n)=ansinax(+b+ (cos(ax+b) (ln|ax+

27、b|)(n)n) 2n=ancosax(+b+) 2(n)(-1)n-1(n-1)!an =(ax+b)n (ax+b)b(n)=b(b-1)L(b-n+1)an(ax+b)b-n 3 一元函数导数概念的简单应用 im(fx)n_=_. 设f(x)=xn,在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(xn,0)，则ln 18 若周期为4的函数f可导且limx0f(1)-f(1-x)=-1 2x则曲线y = f在点）处的切线斜率k = _ 设y = f由方程e2x+ycos= e1所确定，则曲线y = f在点处的法线方程为_ 已知曲线的极坐标方程为 = 2sin，点M0的极坐标为点M0在上，直角坐标为：

28、 ），则点M0处6x0=rcosq(1，)6=3y0=rsinq，2(1，)6=1 2x=2sinqcosq=sin2q 的参数方程为， y=2sinqsinq=1-cos2qdydx=2sin2q2cos2q=tan=3 3 在M0点处的切线的斜率：q=6q=6 在M0处的切线方程 y=13+3(x-)，即y=3x-1 22 的方程可化为r2 =2rsinq ，于是的隐式方程为x2 + y2 = 2y由隐函数求导法，得 2x+2yy=2y，y=x 1-y(x0，y0)=(313，)代入得y=3，于是切线方程为 222y=3x-1 y=13+3(x-)即2219 第三讲 一元函数积分学 一、知

29、识网络图 20 二、重点考核点 这部分的重点是： 不定积分、原函数及定积分概念，特别是定积分的主要性质 两个基本公式：牛顿莱布尼兹公式，变限积分及其导数公式 熟记基本积分表，掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分 反常积分敛散性概念与计算 定积分的应用 1 一元函数积分学的基本概念与基本定理 1原函数与不定积分的概念及性质： 定义 若F的导函数F(x)=f(x)在某区间上成立，则称F是f在该区间上的一个原函数：f的全体原函数称为f的不定积分，记为 原函数与不定积分的关系 f(x)dx 若已知F是f的一个原函数，则 f(x)dx=F(x)+C 其中C是任意常数 求不定积分与求导是互为逆运算的关系，即 (f(x)dx)=f(x)或df(x)dx=f(x)dx F(x)dx=F(x)+C或dF(x)=F(x)+C 其中C也是任意常数 不定积分的基本性质： kf(x)dx=kf(x)dx(常数k0) f(x)+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx 2定积分的概念与性质： 定义 设a=x0x1x2Lxn=b，令Dxi=xi-xi-1，l=maxDxi，若对任何 1inxixi-1,xi有limf(xi)Dx