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1、理数课标版,第三节导数与函数的极值、最值,1.函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.,教材研读,(2)函数的极大值若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.注:极大值和极小值统称为极值.,2.函数的最值与导数一般地
2、,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.注:如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的极大值不一定比极小值大.(),(2)对可导函数f(x),f(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.()(3)函数的极大值一定是函数的最大值.()(4)开区间上的单调连续函数无最值.(),1.(2016四川,6,5分)已知a为函
3、数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2,答案D由题意可得f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f(x)=0,得x=-2或x=2,则f(x),f(x)随x的变化情况如下表:,函数f(x)在x=2处取得极小值,则a=2.故选D.,2.设函数f(x)=+ln x,则()A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点答案Df(x)=+ln x(x0),f(x)=-+=,当x2时,f(x)0,此时f(x)为增函数;当0 x2时,f(x)0,此时f(x)为减函数,据此知x=2为f(x)的极
4、小值点.,3.函数y=xex的最小值是()A.-1B.-eC.-D.不存在答案Cy=xex,y=ex+xex=(1+x)ex.当x-1时,y0;当x-1时,y0.当x=-1时函数取得最小值,且ymin=-.故选C.,4.函数f(x)=x-aln x(a0)的极小值为.答案a-aln a解析f(x)的定义域为(0,+),易知f(x)=1-.由f(x)=0,解得x=a(a0).又当x(0,a)时,f(x)0,函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a.,考点一运用导数解决函数的极值问题命题角度一求已知函数的极值,典例1(2017成都双流中学月考)设a0,函数f(x)=x2
5、-(a+1)x+a(1+ln x).求函数f(x)的极值.解析f(x)的定义域为(0,+).f(x)=x-(a+1)+=.当00,函数f(x)单调递增;若x(a,1),则f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+aln a,极小值是f(1)=-.,考点突破,当a=1时,f(x)=0,所以函数f(x)在定义域(0,+)内单调递增,此时f(x)没有极值点,故无极值.当a1时,若x(0,1),则f(x)0,函数f(x)单调递增;若x(1,a),则f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=1是f(x)的极大值点
6、,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+aln a.综上,当01时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+aln a.,命题角度二已知函数的极值情况求参数的值或范围典例2已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=xf(x)-ax+1,若g(x)在(0,+)上存在极值点,求实数a的取值范围.解析(1)f(x)=,x(-,0)(0,+),f(x)=.当f(x)=0时,x=1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表:,故f(x)的增区间为(1,+),减区间为(-,0)和(0,1).(2)易得g(x)=ex-ax+1,g(
7、x)=ex-a,当a1时,在(0,+)上,g(x)=ex-a0,即g(x)在(0,+)上递增,此时g(x)在(0,+)上无极值点.当a1时,令g(x)=ex-a=0,得x=ln a;令g(x)=ex-a0,得x(ln a,+);令g(x)=ex-a1.,方法技巧1.利用导数研究函数极值问题的一般流程,2.已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.,1-1已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,
8、则的值为()A.-B.-2C.-2或-D.不存在,答案Cf(x)=x3+ax2+bx-a2-7a,f(x)=3x2+2ax+b,由题意知f(1)=3+2a+b=0,b=-3-2a,又f(1)=1+a+b-a2-7a=10,将代入整理得a2+8a+12=0,解得a=-2或a=-6.当a=-2时,b=1;当a=-6时,b=9.=-2或=-,故选C.,1-2(2016河北石家庄一模)已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数,aR).求f(x)的单调区间与极值.解析由f(x)=ex-3x+3a知,f(x)=ex-3.令f(x)=0,得x=ln 3,于是当x变化时,f(x)和f(x)的变化
9、情况如下表:,故f(x)的单调递减区间是(-,ln 3,单调递增区间是ln 3,+),f(x)在x=ln 3处取得极小值,极小值为f(ln 3)=-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).,考点二运用导数解决函数的最值问题典例3已知函数f(x)=x2eax,其中a0,e为自然对数的底数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)求函数f(x)在区间0,1上的最大值.解析(1)f(x)=2xeax+x2aeax=x(ax+2)eax.当a=0时,由f(x)0得x0,由f(x)0得0-.故函数f(x)在上单调递增.在(-,0)与上单调递减.,(2)当a=0时,f(x)在区间0,1上单调递增,其最大值
10、为f(1)=1.当-21,f(x)在区间0,1上单调递增,其最大值是f(1)=ea.当a-2时,0-1,x=-是函数f(x)在区间0,1上唯一的极大值点,也就是最大值点,此时函数f(x)的最大值是f=.综上得当-2a0时,f(x)在0,1上的最大值是ea;当a-2时,f(x)在0,1上的最大值为.,规律总结求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a,b)内的极值;(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.2-1(2016湖北七市(州)协作体联考)设nN*,a,bR,函数
11、f(x)=+b,已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.(1)求a,b;(2)求f(x)的最大值.,解析(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=.f(1)=a,又切线斜率为1,故a=1.由曲线y=f(x)过点(1,0),有f(1)=b=0.故a=1,b=0.(2)由(1)知f(x)=,f(x)=.令f(x)=0,得1-nln x=0,解得x=.当00,得f(x)在(0,)上是增函数;当x时,有f(x)0,得f(x)在(,+)上是减函数.故f(x)在x=处取得最大值f()=.,考点三函数极值与最值的综合应用典例4已知函数f(x)=(a0)的导函数y=f(x)的两个零点为
12、-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间-5,+)上的最大值.解析(1)f(x)=,令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为ex0,所以y=f(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f(x)与g(x)符号相同.因为a0,所以由题意知:当-30,即f(x)0;,当x0时,g(x)0,即f(x)0,所以f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-,-3),(0,+).(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有=-e3,结合g(0)=b-c=0,g(-3)=-9a-3(2a-b
13、)+b-c=0,解得a=1,b=5,c=5,所以f(x)=.因为f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-,-3),(0,+),所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,且f(x)在区间-5,+)上的最大值为f(-5)和f(0)中的最大者.,而f(-5)=5e55=f(0),所以函数f(x)在区间-5,+)上的最大值是5e5.,方法技巧解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较才能下结论,即函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.,3-1(2016
14、云南统一检测)已知常数a0,f(x)=aln x+2x.(1)当a=-4时,求f(x)的极值;(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.解析(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+),f(x)=+2=.,当a=-4时,f(x)=.当02时,f(x)0,即f(x)单调递增.,f(x)只有极小值,且在x=2时,f(x)取得极小值f(2)=4-4ln 2.当a=-4时,f(x)只有极小值4-4ln 2.,(2)f(x)=,当a0,x(0,+)时,f(x)0,即f(x)在(0,+)上单调递增,没有最小值;当a0得,x-,f(x)在上单调递增;由f(x)0得,x-,f(x)在上单调递减.当a0时,f(x)的最小值为f=aln+2.根据题意得f=aln+2-a,即aln(-a)-ln 20.a0,ln(-a)-ln 20,解得a-2,实数a的取值范围是-2,0).,
