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1、取一直角坐标系，原点在地球重心，z 轴和地球的平自转轴重合x 和y 轴按右手坐标系规定，或任意选定。为了方便，假设x 轴平行于格林尼治子午面(参阅2-4节）。若单位质量所受的离心力为,地球表面静止物体所受的作用力为引力和地球自转离心力的合力。,地球自转角速度,f 矢量的方向与 P=(2x,2y,0)的方向相同，则有 f=2P(2x,2y,0)(2-2),(2-4),为离心力位,图 2-1 离心力,重力位 W的矢量梯度,其分量为：,（2-8）,g 即为重力矢量，它是作用于单位质量上的全部力(引力和离心力之和)，方向为铅垂线方向，铅垂线又简称垂线,1伽=1cm/s2=1 10-2m/s2常用的单位
2、为毫伽(mgal),1 mgal=10-3gal=1 10-5m/s2,2-2-1 水准面的定义及性质重力位为常数的曲面称为重力等位面或水准面。即,（2-9）,对上式微分,=grad WdX=g dX(2-10),dX=(dx,dy,dz)(2-11),如果矢量dX沿等位面W=W0，则dW=0，(2-10)式变为g dX=0两个矢量的纯量积如果为零，这两个矢量一定互相正交，所以此方程式说明重力矢量与通过同一点的等位面正交。,2-2 水准面和铅垂线,但和等位面正交的线并不是直线而稍有弯曲(图22)，这些线称为力线或铅垂线，任何一点的重力矢量，均与该点的垂线相切，因此“重力矢量的方向”和“垂线”、
3、“铅垂线的方向”是同义语，有时，这些方向简单地表示为铅垂线。,一个点离海水面的高，是从大地水准面起沿铅垂线量取的，称为正高(图2-2)。沿铅垂线增高的方向取矢量 dX，它的长度为|dX|=dH它的方向与重力矢量相反，与等位面的外法线方向重合,这说明重力是位 W 的负垂直梯度，或者是grad W的垂直分量。上述公式确定了相邻水准面的位差（物理量）与高差（几何量）之间的关系。由于两个水准面的位差不会等于零，因此，高差dh也不会等于零。这说明两个水准面既不相交，也不相切。而且也不平行，在一般情况下，同一水准面上各处的重力是不等的，因此两个水准面之间的距离就不是常数。就地球来说，由于从赤道到两极重力增
4、加约5伽，因而水准面是在两极收敛的。两个贴近地面的水准面之间的距离，由赤道向两极相对减少约5，即在赤道上彼此相距为100米的两个水准面，到两极只有99.5米。,dX 与 g 的方向间的夹角为180，于是，,dW=-gdH(2-13)或(2-14),一般地曲线 y=f(x)的曲率公式为：为曲率，为曲率半径,当P点的切线平行于x 轴时，y=0，则有简化式,(2-15),(图2-4)局部坐标系 x,y,z,原点在 P 点，z 轴为垂线，它和 S面垂直(左手系）,设想 xz 平面与水准面相交，并且y=0现在是以 z 当做 y，因此，水准面和 xz面的交线的曲率，不是(2-15)式，而是,(2-16),
5、2-3 水准面弯曲、重力梯度,将W(x,y,z)=W0 对 x 微分，考虑到 y=0，z 为x 的函数，则有,因为 x 轴在 P 点切于水准面，故有，因而,因为 z 轴为垂线，从（2-14）式有,得水准面与 xz 平面的交线的曲率为,水准面与 yz 平面的交线的曲率为,(2-17),(2-18),在曲面上P点的平均曲率J，为过该点垂线的两个互相正交的面，与曲面相交的曲线的曲率的算术中数。故水准面平均曲率为,这个公式将垂直重力梯度（物理量）和水准面的平均曲率（几何量）联系起来了。,(g/x)和(g/y)称为重力的水平梯度，可以确定垂线的曲率。,描述了重力随高程的变化，称为垂直重力梯度，与水准面曲
6、率有关。,重力梯度张量,重力梯度,2-5 地球引力位的球谐函数展开,从重力位W的(2-5)式可以看出，在地球重力位中，离心力位是简单的解析函数，而引力位由于不知道边界面以及密度，不能直接计算。对于地球外部空间，可用球谐函数展开式近似表示。,引力位可用基本公式(1-11)表示,式中，质量元素以 dM 表示，对整个地球进行积分，在积分中引入(1-81)式：,r为定点P的矢径，r为质量元素dM的矢径，为r与r之间的夹角,根据公式(183)，将其代入（2-30）式,写成体球谐函数的级数,于是有,(2-34),普通谐函数形式：,地球重力位球谐函数展开式的收敛性：展开式是 1/r 的幂级数，因此，r 值愈
7、大收敛愈快；当 r 较小时就不会收敛。对任意一物体，可以证明以球谐函数展开的V，在一个包含该物体的最小球(r=r0)外是收敛的。球内一般是发散的。在某些情况下，r=r0 的球内也能收敛。,图2-10 V 球谐函数展开在 r=r0 的球外收敛,假设地球是一个均质椭球，那末 V 的级数在地球表面仍能收敛。由于地球的质量分布不规则，因此实际位 V 的级数在地球表面应是不收敛的。这多少降低了球谐函数在地面大地测量上的实用意义，但在卫星动力学中，不论在理论还是实用上都很重要。此外必须指出，球谐函数展开式只能用来表示吸引物体以外的位，不能用于它的内部位，因为对于内部空间，质体位不满足拉普拉斯方程。,2-7
8、 椭球水准面的重力场,司托克斯定理：如果已知一个物体的外水准面 S 及其内部物质的总质量 M，和整个物体绕一固定轴均匀旋转的角速度，则 S 面上及其外部空间的重力位都可唯一地确定，而无需知道物体内部质量的具体分布情况。但并不是说物体的外部重力场与物体内部质量的分布无关！,地球重力场被表示为：正常重力场+扰动重力场正常重力场：一个假想的、由形状和质量分布都很规则的物体所产生的重力场。此物体称为 正常地球旋转椭球正常重力场的等位面称为 正常水准面。由于正常位可以根据正常地球的参数求得，因此正常水准面的形状也是已知的。,如果设定了正常地球的长半径 a、扁率 f、旋转角速度 以及总质量 M，并要求椭球
9、表面就是它本身重力场的水准面。根据司托克斯定理，这个正常地球唯一地确定其外部空间的重力场。这时，我们称正常地球为水准椭球。进一步地，采用实际地球的 a、f、kM、作为椭球参数，就得到一个与大地水准面的几何形状和外部重力场符合得最好的水准椭球，称为平均地球椭球（参考椭球）。,正常重力位,已知椭球 S0设为,最后得正常重力位为,公式中的常数只有a、b、f、kM、。这和司托克斯理论完全符合，即水准椭球外部空间的重力位由a、b、f、kM、唯一地确定。,2-8 正常重力,正常重力矢量等于正常重力位U的梯度,沿椭球坐标曲线的分量为,其中设,（2-67）,(我们常常把 S0 的有关量用脚标0表示)。这也很明
10、显，因为在 S0 上的重力矢量和水准面S0 是垂直的，在参考椭球 u=b 上，正常重力 的 分量和 分量同样也为零。因在S0 面上有下列关系,故在椭球面S0 上的全部重力以 表示时，则有,(2-69),再引入下列简化符号,第二偏心率,(2-72),(2-72),上式是一个重要的近似公式，1738年由克莱劳提出，所以称为克莱劳理论。比较一下(2-73)式的 a 和(2-74)式的b，以及(2-72)式中括弧号的量，可以看出 有如下的对称的公式,若以大地纬度 代替归化纬度，则由于可以得到,这是正常重力的严格公式著名的索米里安公式。可见，只随大地纬度（或归化纬度）而变化。,2-9 正常引力位的球谐函
11、数展开式,由（2-62）式已经知道正常重力位的椭球谐函数表达式为,那么，正常形状的地球引力位的椭球谐函数表达式则为,且,下面要将这公式改为以球坐标r，表示,椭球和球坐标之间的关系式,采用间接推导方法（1）,（2-84）,将它们代入(2-83)式，并经符号代换，得,（2）再把位 V 展开为球谐函数的级数 分析：由于旋转对称，它只有带谐项。而且，由于对赤道面对称，它只有偶阶的带谐项。奇阶的带谐项对负纬度将变号，所以就不出现，据此，级数的形式将会是,（2-87）,（2-88）,（2-88）,上式中系数 A2n 为待定常系数，显然它们应与正常椭球的4个基本参数有关。为了找出这些关系，设想有一点在旋转轴
12、上，并在椭球之外。该点的 90，=0，u=r，于是(2-87)式变成,而（2-88）式则为,上述两式右边应当相等，因此得,（2-88）,将正常引力位的球谐函数展开写成一般常见形式,J2n为与正常椭球参数有关的常系数。,（2-92）,引进第一偏心率 e=E/a，在 n1 时，则得出重要公式,（2-92）,其中,（2-166）,（2-100）,这是克荣劳定理的原始形式，说明几何扁率f 可以从重力扁率 和m 求得，而 和m 又完全可以由重力测量得出。就是说地球椭球的扁率可以由重力测量求得。,正常重力场的实用公式（正常重力公式）,2-11 国际椭球的参数,在1979年堪培拉召开的第17届IUGG大会上，推荐了下列的1980年大地测量参考系统，并建议用它代替1967年系统：,GRS80系统正常重力在椭球面上的公式,精品课件！,精品课件！,
