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1、根轨迹法习题和答案第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 K* G(s)H(s)= (s+1)(s+2)(s+4)试证明s1=-1+j3在根轨迹上,并求出相应的根轨迹增益K和开环增益K。 解 若点s1在根轨迹上,则点s1应满足相角条件 *G(s)H(s)=(2k+1)p,如图所示。 对于s=-1+j3,由相角条件 G(s1)H(s1)=0-(-1+j3+1)- (-1+j3+2)-(-1+j3+4)= ppp0-=-p 236满足相角条件,因此s1=-1+j3在根轨迹上。 将s1代入幅值条件: G(s1)H1=K*-1+j3+1-1+j3+2-1+j3+4=1 K*3= 解出
2、 : K=12 , K=82*4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下,试求参数b从零变化到无穷大时的根轨迹方程,并写出b=2时系统的闭环传递函数。 G(s)=2010(s+2b) G(s)= (s+4)(s+b)s(s+2)(s+b)b(s+4)b(s+4)= 2(s+2+j4)(s+2-j4)s+4s+20解 (1) G(s)= F(s)=G(s)20=2 1+G(s)s+6s+28b(s2+2s+20)b(s+1+j19)(s+1-j19) (2) G(s)= 2s(s+1+j3)(s+1-j3)s(s+2s+10) F(s)=G(s)10(s+4) =321+G(s)s+4s+14s
3、+402s,试绘制参数b从零变(s+4)(s+b)4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)=化到无穷大时的根轨迹,并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 G(s)=b(s+4)s(s+6) 根轨迹如图。 s=-2时b=4, F(s)= 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数,试概略绘出系统根轨迹。 G(s)=2s2s =s2+10s+16(s+2)(s+8)k(s+1)k (2) G(s)= s(2s+1)s(0.2s+1)(0.5s+1)k*(s+1)(s+2)k*(s+5)(3) G(s)= (4) G(s)= s(s-1)s(s+2)(s+3)解 G(s)=K10K= s(0
4、.2s+1)(0.5s+1)s(s+5)(s+2)三个开环极点:p1=0,p2=-2,p3=-5 实轴上的根轨迹:(-,-5, -2,0 0-2-57s=-a33 渐近线: (2k+1)ppj=,pa33 分离点: 111+=0 dd+5d+2解之得:d1=-0.88,d2-3.7863(舍去)。 与虚轴的交点: 特征方程为 D(s)=s3+7s2+10s+10k=0 ReD(jw)=-7w2+10k=0令 3ImD(jw)=-w+10w=0 解得w=10k=7与虚轴的交点。 根轨迹如图所示。 G(s)=K(s+1)K(s+1) =1s(2s+1)2s(s+)2根轨迹绘制如下: 实轴上的根轨迹
5、:(-,-1, -0.5,0 分离点: 111+= dd+0.5d+1,d=-1.707。 解之得:d=-0.293根轨迹如图所示。 根轨迹绘制如下: 实轴上的根轨迹:-5,-3, -2,0 0-2-3-(-5)s=0a2 渐近线: (2k+1)ppj=a22 分离点: 1111+= dd+2d+3d+5用试探法可得 d=-0.886。 根轨迹如图所示。 (4) 根轨迹绘制如下: 实轴上的根轨迹:0, 1,-1,-2 分离点:1111+=+ dd-1d+1d+2 求解得:d1=0.37,d2=-1.37 根轨迹如图所示。 4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)=ks(0.02s+1
6、)(0.01s+1)要求:(1) 绘制系统的根轨迹;(2) 确定系统临界稳定时开环增益k的值; (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k的值。 解 (1) G(s)=k5000k= s(0.02s+1)(0.01s+1)s(s+50)(s+100) 实轴上的根轨迹:0, -50,-100,- 分离点:111+=0 dd+50d+100 求解得d1=-21.13,d2=-78.87 渐近线:sa=-50,ja=60o,180o 根轨迹如图所示。 *,k=150 (2) 系统临界稳定时k=750000.5,k=9.62 (3) 系统临界阻尼比时k=48112*k*4-6 已知系统的开环传递函数为G(
7、s)H(s)=,要求绘制根轨迹并确2s(s+8s+20)定系统阶跃响应无超调时开环增益k的取值范围。 K*解 G(s)H(s)= 2s(s+8s+20) 实轴上的根轨迹: (-,0 渐近线: 0+(-4+j2)+(-4-j2)8s=-a33 j=(2k+1)p=p,pa33 分离点: 111+=0 dd+4+j2d+4-j2解之得:d=-2,d=-3.33。 与虚轴交点:D(s)=s3+8s2+20s+k* 把s=jw代入上方程,整理,令其实、虚部分别为零得: Re(D(jw)=k*-8w2=0 3Im(D(jw)=20w-w=0解得:起始角: 由相角条件qp2=-63,qp3=63。 根轨迹
8、如图所示。 oow=0k=0* w=25*k=160*,所有根为负实根时阶跃响应无超调,此时14.8k16 所以0.74k0.8 4-7 单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=k(2s+1), 24(s+1)(s-1)7 试绘制系统根轨迹,并确定使系统稳定的k值范围。 解 :根轨迹绘制如下: 实轴上的根轨迹: -0.5,7/4 渐近线: -1-1+7/4-(-0.5)1s=a28 (2k+1)ppj=a22 与虚轴交点:闭环特征方程为 D(s)=431210s+s+(2k-)s+k-1=0 777把s=jw代入上方程, 12Re(D(jw)=K-1-w=07令 1043Im(D(jw)=(2K
9、-)w-w=077w=0解得: , K=1w=29 K=7根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K值范围为 1K0G(s)=,;(2) ,T0 s(0.1s+1)(Ts+1)s2(s+1)解 (1) G(s)=a/4 2s(s+0.5)0) 实轴上的根轨迹: (-, 渐近线:sa=-1/3,ja=60o,180o 分离点:d=-1/6 根轨迹如图所示。 Ts2(s+10)(2) G(s)=2 s+10s+26 实轴上的根轨迹: (-,0) 起始角终止角: 112(180o-tg-1)+tg-1-(qp+90o)=180o 55 解得起始角qp=78.7o 2qz+0-(-tgo-111+tg-1
10、)=180o 55o 解得终止角qz=90 根轨迹如图所示。 4-10 已知系统的开环传递函数如下,试概略绘出相应的根轨迹, 并求出所有根为负实根时开环增益k的取值范围及系统稳定时k的值。 k*(s+1) G(s)H(s)=(s-1)2(s+18)解 ,-1 实轴上的根轨迹: -18 分离点:d1=-4.22,d2=-6.28 渐近线:sa=-7.5,ja=90o 与虚轴交点:s1,2=1.86j,k=37.7 根轨迹如图所示。 *d1处k*=116.6,d2处k*=117.6,k=k*/18 结论:6.48k2.095时系统稳定。 4-11 已知系统结构图如图所示,试绘制时间常数T变化时系统
11、的根轨迹,并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。 解:G(s)=100Ts3+s2+20s*1T(s2+20s+100)作等效开环传递函数G(s)= s3根轨迹绘制如下: (注意:k*=1/T) 实轴上的根轨迹:(-,-10,-10,0 分离点: 32= 解得d=-30。 dd+10根据幅值条件,对应的T=0.015。 虚轴交点:闭环特征方程为 D(s)=Ts3+s2+20s+100=0 把s=jw代入上方程,整理,令实虚部分别为零得: 2Re(D(jw)=100-w=0 3Im(D(jw)=20w-Tw=0w=10解得: T=0.2 起始角:qp1=60 参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如
12、图所示。(请注意根轨迹的方向!) 从根轨迹图可以看出,当0T0.015时,系统阶跃响应为单调收敛过程;0.015T0.2时,有两支根轨迹在s右半平面,此时系统不稳定。 若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下: Ts3G(s)=2 s+20s+100 三条根轨迹中两条起于-10,一条起于-,均终止于原点 实轴上的根轨迹:(-,-10,-10,0 分离点: 32= 解得d=-30。 dd+10 其余步骤与上基本相同,根轨迹相同,只是-10处为两个开环极点,原点处为3个开环零点,根轨迹方向与图中一样。 4-12 控制系统的结构如图所示,试概略绘制其根轨迹(k0)。 *解 此系统为正反馈系统,应绘
13、零度根轨迹。 实轴上的根轨迹:-,-2,-1,+ 分离点: 31= d+2d+1解得 d=-0.5 起始角:根据相角条件, j-qii=1j=1mnj=2kp oo得 qp1=60,qp2=-60,qp3=180。 根轨迹如图所示。 ok*(1-s)4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=,试绘制其根轨迹,并求出s(s+2)使系统产生重实根和纯虚根的k值。 解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。 实轴上的根轨迹: -2,0, 1,+); 分离点: o*111+= dd+2d-1解得:d1=-0.732 , d2=2.732 将s=d1=-0.732, s=d2=2.732代入幅值条件得: *K*d1=0.54, Kd2=7.46 与虚轴交点:闭环特征方程为 D(s)=s(s+2)+K*(1-s)=0 把s=jw代入上方程,整理,令实虚部分别为零得: 2*Re(D(jw)=-w+K=0 *Im(D(jw)=(2-K)w=0w=0解得: * K=0w=1.41 *K=2根轨迹如图所示,复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心,开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的K为0.54,7.46,产生纯虚根的K为2。 *Ok
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