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1、梁的剪力方程和弯矩方程 常用弯矩图5-7试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 1、 解：首先求出支座反力。考虑梁的整体平衡 Me A 由 MB=0,FRAl+Me=0 l FRB 得 FRA=-Me lFRA 由 MA=0,FRBl-Me=0 得 FRB=Me/l Me l则距左端为x的任一横截面上的剪力和 剪力图 弯矩表达式为： FS(x)=FRA=-Me lMex lMe 弯矩图 M(x)=FRAx=-剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。(如图) 2、 解：首先求出支座反力。考虑梁的平衡 q l5A 由 Mc
2、=0,FRBl-ql=0 C B 245FRB FRC 0.5l l 得 FRB=ql 81由 MB=0,FRCl+ql2=0 20.125ql 1得 FRC=-ql 2则相应的剪力方程和弯矩方程为： 0.5ql lAB段： 剪力图 2FS(x1)=-qx10.125ql2 12 M(x1)=-qx12BC段： 225ql1ql-ql=8285qllllM(x2)=-qx2-+x2-2482FS(x2)=AB段剪力方程为x1的一次函数，弯矩方程为x1的二次函数，因此AB段的剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC段剪力方程为常数，弯矩方程为x2的一次函数，所以BC段剪力图为平行梁轴线的水平线段
3、，弯矩图为斜直线。 5-9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。 q =5KN/m Me =8KN.m 解：由梁的平衡求出支座反力： A B 4m C 2m FRA=8KN,FRB=12KN AB段作用有均布荷载，所以AB段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC段没有荷载作用，所以BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。 在B支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。 FRA FRB 8KN 12KN 剪力图 6.4KN.M 弯矩图 8KN.M 解：由梁的平衡求出支座反力： FRA=3.5KN,FRB=6.5KN F =2
4、KN q =4kN/m A B 1m 1m C 2m D FRA FRB AB与BC段没有外载作用，所以AB、BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD段作用均布荷载，所以CD段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。 3.5KN 1.5KN 6.5KN 剪力图 3.5KN.m 5.3KN.m 弯矩图 q A B C q a a qa 剪力图 qa2 弯矩图 5.14试用叠加法画下列各梁的弯矩图。 在B处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力F的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。 解：AB段作用有均布荷载，所以AB段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC段
5、作用有均布荷载，所以BC段的剪力图为上倾直线，弯矩图为上凸直线。 F =10KN Me =6KN.m Me =6KN.m A C = A B B 3m 3m 3m 3m 6KN.m 6KN.m = 12KN.m 弯矩图 F =0.25ql F =0.25ql q D A A B C B C = 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l 20.125ql = 0.0625ql2 弯矩图 题型：计算题 F =10KN C + A 3m B 3m C + 15KN.m q D + A 0.5l B 0.5l C 0.5l D 0.125ql2 + 题目：试作图所示悬臂梁AB的剪力图
6、和弯矩图。 1、列剪力方程和弯矩方程 取坐标原点与梁左端点A对应。选取距梁左端点A为x的任一截面，如图(a)所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达式，即可得到梁AB的剪力方程和弯矩方程为 上面两式后的括号内，表明方程适用范围。由于截面A,B处有集中力作用，则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。由于截面B有关于集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为这个问题，待后面作进一步说明。 2、作剪力图和弯矩图 剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。取直角坐标系x，画出梁的剪力图为一水平直线。因各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图所
7、示。 弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直线。可以确定其上两点，在x = 0处，M=0；在x=L处，M=PL。取直角坐标系OxM，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出梁的弯矩图，如图所示。由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上，其值为 常见问题题2 题型：计算题 题目：试作图所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。 1、求支座反力 由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为 2、列剪力方程和弯矩方程 取坐标原点与梁左端点A对应。列出梁AB的剪力方程和弯矩方程为 3、作剪力图和弯矩图 剪力方程表明，剪力是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。处, ；处，。画出梁的剪力图，
8、如图(b)所示。由剪力图可见，该梁最大剪力发生在支座内侧的横截面上，其值为 弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线。因此，只要确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。在处，M=0；在处，M=0；在处， 。画出弯矩图，如图6-12(c)所示。由弯矩图可见，该梁最大弯矩发生在梁的跨中截面处，其值为 在此截面上剪力为零。 常见问题题3 题型：计算题 题目：试作图(a)所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。 1、求支座反力 由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为 2、列剪力方程和弯矩方程 当作用在梁上的外力不连续时，通常不能角一个方程描述全梁的剪力或弯矩，必须分段研究。在该例题中，
9、集中力P把梁分成AC和CB两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为 AC段： CB段： 3、作剪力图和弯矩图 两段梁的剪力方程表明，两段梁的剪力图均为水平直线。画出梁的剪力图，如图(b)所示。由剪力图可见，在集中力P作用的C处，其左右两侧横截面上剪力的数值分别为和，剪力图发生突变，其突变值等于集中力P的大小。由此可得，在集中力作用处剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小。如果ba，则最大剪力发生在AC段梁的任一截面上，其值为 两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯矩图，如图 (c)所示。由弯矩图可见，AC和CB两段梁的弯攀图两直线斜率不同，在C处形成向下凸的“尖角”，
10、而剪力图在此处改变了正、负号。最大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值为 如果a=b，则最大弯矩的值为 常见问题题4 题型：计算题 题目：试作图(a)所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。 1、求支座反力 由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为 2、列剪力方程和弯矩方程 集中力偶Me把梁分成AC和CB两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为 AC段： CB段： 3、作剪力图和弯矩图 在集中力偶作用处的左、右梁段上，剪力方程相同，全梁剪力图为一水平直线。画出梁的剪力图，如图(b)所示示。由剪力图可见，在集中力偶作用处，剪力图并不发生突变，即集中力偶不影响剪力图。 两段梁的弯矩方程表明，两段梁
11、的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯矩图，如图(c)所示。由弯矩图可见，在集中力偶从作用的C处，其左右两侧横截面上弯矩的数值分别为和，弯矩图发生突变，其突变值等于集中力偶Me的大小。由此可得，在集中力偶作用处弯矩图发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。如果ba，则最大弯矩发生在集中力偶从作用处右侧横截面上，其值为 常见问题题5 题型：计算题 题目：试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。 1、求支座反力 由梁的静力平衡方程可知，支座A,B的反力为 2、列剪力方程和弯矩方程 当梁上荷载不连续，剪力或弯矩不能用一个统一的函数式表达时，必须分段列出剪力方程和弯矩方程。通常分段是以集中力、集中力偶和分布荷载的起点与终点分界。因此，该简支梁应分为AC,CD和DB三段，分别列出剪力方程和弯矩方程。 AC段： CD段： DB段： 3、作剪力图和弯矩图 按上述剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，如图(b)、所示。 在画AC段弯矩图时，由于弯矩方程是二次函数，弯矩图应是一条抛物线，至少需要确定其上三个点，才可绘出该梁的弯矩图。在处,M=0；在x3m处，M33kNm。在剪力为零处x=2.4m，该点处弯矩。用光滑曲线连接这三个点即可得AC段的弯矩M图。如图所示。
