《梯形常见辅助线作法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《梯形常见辅助线作法.docx（9页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、梯形常见辅助线作法梯形常见辅助线作法 1、平移法 梯形内平移一腰(过一顶点做腰的平行线) 例1如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABCD，C60，AD15cm， BC49cm，求CD的长 解：过D作DEAB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形 ADBE15cm，ABDE ECBCBEBCAD491534cm 又ABCD， DECD 又C60， CDE是等边三角形， 即CDEC34cm 梯形外平移一腰(过一顶点做腰的平行线) 例2如图,在梯形ABCD中，ABCD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F. 求证：EF=FB E 证明：过点B作BGAD,交DC的延长线于G 四边形AB
2、GD是平行四边形 AD=BG FCDGYACED中，ADCE AD=CE CEBG且CE=BG CEF=GBF 又CFE=GFB ABECFBGF( ASA) EF=FB 点评：过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形和三角形。 梯形内平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。 例3如图，已知：梯形ABCD中，ADBC， C+B=90，M，N分别是AD，BC的中点 1求证：MN(BC-AD) 2BGFHCAED证明：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H , 则四边形ABGE,EDCH为平行四边形 AE=BG，
3、ED=HC ABEG B=EGF 又DCEH C=EHF 1 则EGHEHG=BC=90，EGH是直角三角形 E、F分别是AD、BC的中点 AE=ED，BF=CF GF=FH 111则有EF=GH=(BC-BG-HC)=(BC-AD) 222平移对角线(过一顶点做对角线的平行线） 例4求证：对角线相等的梯形是等腰梯形 已知：在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC=BD A求证：AB=DC 证明：过点D作DEAC交BC的延长线于点E 则四边形ACED是平行四边形 AC=DE BCEDDE=AC=DB DBC=E ACB=E DBC=ACB 又BD=CA BC=CB ABCDCB(SAS) AB=
4、DC 点评：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将对角线的有关条件转化到一个三角形中。 2、作梯形的高 作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形 例6如图，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90， AB=2DC，对角线ACBD，垂足为F，过点F作EF/AB， 交AD于点E 求证：四边形ABFE是等腰梯形 AGBEDFC证明：过点D作DGAB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG AB=2DC AG=GB DA=DB DAB=DBA 又EF/AB 四边形ABFE是等腰梯形。 作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角
5、三角形和一个矩形 例7如图，在梯形ABCD中，DCAB，AD=BC，若AD=5，CD=2，AB=8,求梯形ABCD的面积。 解：过点D、C分别作DEAB于E，CFAB于F. CDDCAB, DEAB,CFAB 四边形CDEF是矩形 DC=EF，DE=CF 2 AEFB易证ADEDCF(HL) AE=BF 11AE=(AB-EF)=(AB-CD)=3 22 DE=AD2-AB2=52-32=4 3、延长两腰交于一点，可使梯形转化为三角形 例5如图，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50，C=80，AD=2，BC=5， 求CD的长。 解：延长BA、CD交于点E 在BCE中，B=50，C=80 E=
6、50 BC=EC=5 又AD/BC EAD =B=50 AD=ED=2 CD=EC-ED=5-2=3 4、中位线法 已知梯形一腰中点，作梯形的中位线 例10如图，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中点， AOD=90，求证：ABCD=AD 证明：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线 OE= 在AOD中，AOD=90，AE=DE OE=12DEOABC1AD ABCD=AD 2点评：已知梯形一腰中点，作梯形的中位线，既可轻松解决计算问题，也可以在证明中将梯形转化为三角形。 已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中
7、位线 例11如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是BD、AC的中点， 求证：EF/AD；EF=(BC-AD) 证明：连接DF，并延长交BC于点G，易证AFDCFG 则AD=CG，DF=GF 3 12AEDFBGCDE=BE，EF是BDG的中位线 EF/BG且EF=BG 又AD/BG，BG=BC-CG=BC-AD EF/AD，EF=(BC-AD) 5、构造全等三角形 连接梯形一顶点及一腰的中点 例8(梯形中位线的性质) 如图，已知在梯形ABCD中，AD/BC，M、N为腰AB、DC的中点， 求证：MNADBC，MN=1(BC+AD) 2AMBDN1212证明：连结AN并延长，交BC的延长
8、线于点E AD/BC， D=DCE 易证ADNECN(ASA) AN=EN，AD=CE 又AM=MB EFAD / BC MN=111BE=(三角形中位线性质) 222CE过一腰的中点作另一腰的平行线 例9(梯形的中位线性质) 如图，已知在梯形ABCD中，AD/BC，M、N为腰AB、DC的中点， 求证：MNADBC，MN=1(BC+AD) 2证明：过F作AB的平行线，交AD的延长线于点N，交BC于M 则四边形ANMB为平行四边形 E4 ADFNBMCAN=BM ，AB=MN，AB/NM AD/BC， N=CMF 易证DNFCMF(ASA) DN=CM，DF=CF 又AE=EB AE=NF且AE/NF 四边形AEFN为平行四边形 EFAD / BC EF=AN=BM 111=EF= 2226、作对角线，使梯形转化为三角形 例12如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC， ABAD，BC=CD，BECD于点E，求证：AD=DE 证明：连结BD AD/BC ADB=DBE 又BC=CD DBC=BDC ADB=BDE 又BAD=DEB=90，BD=BD RtBADRtBED(AAS) AD=DE CEDAB以上的一些常用辅助线，实际上都体现了数学中的转化的数学思想，即将梯形的问题转化为三角形或平行四边形，在学习过程中希望同学们能细心体会并加以灵活运用。 5
